Tim Hieu Sau Them định Lí Mê Nê La Uýt - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (9 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Trung học cơ sở - phổ thông

Tim hieu sau them định lí Mê nê la uýt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.99 KB, 9 trang )

IV/ ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN.Dưới đây là nội dung Định lý và các bài toán được giải theo hai cách nhằm giúpta thấy được cái ưu khi sử dụng định lý. Đây cũng là biện pháp chính của sáng kiến phương pháp suy nghĩ sâu sắc và sáng tạo ( được giới thiệu theo cấp độ từ dễ đến khođể bạn đọc tiện theo dõi ), luyện tập thoi quen tò mò, thích khám phá ra những cái mới,cái đo cần thiết để chúng ta chẳng những trở thành một học sinh giỏi toán mà còn giỏiở bất kì một môn học nào khác.1/ Định lí Mê-nê-la-uyt:Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA,AB sao cho: hoặc cả ba điểm nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; hoặc một điểm nằmtrên phần kéo dài của một cạnh, còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điềukiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:MB NC PA..=1MC NA PB(1)Chứng minh:Trường hợp 1: Trong ba điểm M, N, P co đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác, giảsử N và P.Phần thuận: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Ta chứngAminh (1).PA AN MB BD=;=PB BD MC NCMB NC PA BD NC AN..=..= 1 ( đpcm).Suy ra:MC NA PB NC NA BDNKẽ BD // AC ( D ∈ MN). Ta co:PDMPhần đảo: Ngược lại, giả sử N, P nằm trên hai cạnhCBAC và AB của tam giác ABC; M nằm trên phần kéodài của BC. Gọi M' là giao điểm của NP và BC, suy ra M' nằm trên phần kéo dài củaBC. (1)Vì M' , N, P thẳng hàng nên ta co:M ' B NC PAMB NC PAM ' B MB..=1=..⇒=. (2)M ' C NA PBMC NA PBM ' C MCTừ (1) và (2) suy ra M ' ≡ M . Hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.Trường hợp 2: Cả ba điểm M, N, P đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh chứng minhtương tự.2/ Bài tập vận dụng:Bài toán 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD ( D ∈ AC). Trên tia AB lấy một14điểm E sao cho AE = 2BE; CE cắt BD tại F. Chứng minh EF = CE .Lời giải:Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt).Gọi M là trung điểm của AE, suy ra DM là đường trung bình của tam giác AEC1EC⇒ EF // MD ⇒ F là trung điểm2của BD ⇒ EF là đường trung bình của tam giác BMD ⇒MD CEEF ==. (đpcm)24⇒ DM // EC và DM =Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt).Xét tam giác EAC với ba điểm B, F, D thẳng hàng.Ta co:FE DC BAFE BE 1FE 1..=1⇒== ⇒=(đpcm).FC DA BEFC BA 3EC 4BEFMCDABài toán 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M vàsong song với phân giác của goc BAC cắt AC, AB lần lượt ở E và F. Chứng minh rằngCE = BF.Lời giải:Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt). Ta giải vắn tắt nhưsau:Từ AD // FM và ME // AD⇒BA BF=BD BM(1);CECA=CM CDFAE(2)Mặt khác theo tính chất đường phân giác co:BA CA=BD CD(3)BFCE=⇒ BF = CETừ (1), (2) và (3) suy raBM CMBDCM(do BM = CM ).Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)Xét tam giác ABC với ba điểm F, E, M thẳng hàng ta co:EA MC FB..= 1 (1)EC MB FA^Do AFE = AEF = BAC nên ∆ AEF cân ở A. Suy ra AE = AF (2)2^^Từ (1) và (2) suy ra FB = EC. (đpcm)Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB , AC lần lượt lấy các điểm E và F sao1445cho BE = BA; AF = AC . Gọi M là giao điểm của BF và CE, cho biết S AMB = 2 ( đơn vịdiện tích). Tính SABC ?( Kí hiệu SXYZ là diện tích của tam giác XYZ).Lời giải:Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt).AGọi A', C' là chân đường vuông goc hạ từ A, C xuống BF.Ta co:S EMB BE 11== ⇒ S EMB =(đvdt)S AMB BA 42E2A'BMF C'CS BMC CC ' CF 11=== ⇒ S BMC =(đvdt)S AMBAA' FA 42⇒ SBEC = SEMB + SBMC = 1 (đvdt)⇒ S ABC = 4 S BEC = 4 (đvdt)Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt).Gọi N, P là chân đường vuông goc hạ từ M, C xuống AB.Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác AEC với cáttuyến BMF ta co:BE FA MC1 MC..= 1 ⇒ .4.= 1 ⇒ MC = MEBA FC ME4 MESMN EM 1⇒ AMB === ⇒ S ABC = 2 S AMB = 4S ABCCPEC 2APNEMFB(đvdt).Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng về phía ngoài các hình vuông ABEF;ACPQ. Đường thẳng BP cắt đường cao AH của tam giác ABC tại O. Chứng minh rằngba điểm C, O, E thẳng hàng.Lời giải:BECách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt)HDựng hình chữ nhật AFMQ. Khi đo ∆ ABC = ∆ FAM^^^^^O(c-g-c) ⇒ ABC = FAM ⇒ FAM + FAB + BAH = 180 0 . Suy raFCA3 điểm M, A, H thẳng hàng. (1)Ta co: ∆ EBC = ∆ BAM (c-g-c)^^⇒ BEC = MBA ⇒ EC ⊥ BM (2).Tương tự ta cũng co BP ⊥ MC (3).PTừ (1), (2) và (3) suy ra EC, MH, BP là ba đường cao MQcủa tam giác BMC nên chúng đồng quy tại trực tâm củatam giác BMC. Nhưng BP cắt AH tại O hay O là trực tâm của tam giác BMC. Suy raC, E, O thẳng hàng. (đpcm)BNEHCách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt) Dựng hình chữ nhậtKABNC.OCGọi K là giao điểm của EC và AB, lúc đo co: FAEB BK PO PCEB CN OP BK CN PC=;=⇒..=..= 1.ENNC OBBKEN CP OBNC CP BKHay ba điểm C, O, E thẳng hàng (đpcm)P* Lời bàn:Q1/ Để vận dụng Định lý Mê-nê-la-uyt, ta cần phảitìm ra một tam giác sao cho 2 trong 3 điểm E, O, C nằm trên hai cạnh, 1 điểm còn lạinằm trên phần kéo dài. Nhờ đo ta nghĩ đến việc dựng hình chữ nhật ABNC.2/ Nếu hay suy xét bài toán bằng con mắt nhạy bén, nhìn bài toán ở nhiều goc độkhác nhau ta co hai cách phát biểu khác cho bài toán trên như sau:Bài toán 1: Cho tam giác ABC, về phía ngoài dựng các tam giác vuông cân ABE(tại E); ACF (tại F). Chứng minh rằng CE, BF và đường cao AH của tam giác ABCđồng quy tại một điểm.3CBài toán 2: Cho hình vuông ABCD. I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua Ikẽ các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông cắt AB, BC, CD và DA lầnlượt ở M, N, P, Q . Chứng minh rằng AN, CM và ID đồng quy tại một điểm.Điều này đơn giản bạn đọc tự kiểm tra.* Tuy trong 4 ví dụ trên chưa co cái gì là sáng tạo cho lắm, co thể chưa làm bạnthuyết phục với cách giải bằng Mê-nê-la-uyt. Nhưng nếu bạn rèn luyện như vậy thìchắc chắn bạn sẽ trở nên thân thuộc, biết quan sát, co cái nhìn nhạy bén hơn Định lýMê-nê-la-uyt khi giải các bài toán hình học. Hãy tiếp tục vận dụng để giải các bài toánsau:Bài toán 5: (Tạp chí toán học và tuổi trẻ - số 362)Giả sử O là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. AO cắt BC tại M, BO cắt AC tạiN, CO cắt AB tại P. Chứng minh rằng giá trị của OA. AP  OB.BM  OC.CN  không phụ OP  OM  ON Abiểu thức thuộc vào vị trí của điểm O.Lời giải :Cách 1: (không dùng Mê-nêo Tố Tuổi Trẻ)SAPSAPAOPAOPTa co: S = BP ⇒ S + S = ABBOPAOPBOPNP(1)BOCS AOP + S BOPOAM=(2)S BOMOMS AOPOA. AP=Từ (1) và (2) thu được: S(3)AB.OMBOMS BOM OB.BM=Tương tự cũng co:(4)S CONBC.ONS CON OC.CN=(5)S AOPAC.OP OA. AP  OB.BM  OC.CN  =1Nhân (3), (4) và (5) ta được:  AB.OM  BC.ON  AC.OP  OA. AP  OB.BM  OC.CN  = AB.BC. AC không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.Vậy  OP  OM  ON Mặt khác:Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt lần lượt vào tam giác AMC với cát tuyến BON; tam giácBNC với cát tuyến AOM; tam giác BPC với cát tuyến AOM. Ta co:OA BM NC..=1OM BC NAAN MC OBOA BM NC AN OB OC AP+..=1⇒......=1AC MB ONOM BC NA AC ON OP ABOC AP MB+..=1OP AB MC OA. AP  OB.BM  OC.CN  = AB.BC. AC không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.Vậy  OP  OM  ON +4* Lời bàn:1/ Việc sử dụng tỉ số diện tích tuy khá quen thuộc đối với học sinh lớp 8 nhưngvận dụng no để tạo thành các đẳng thức (1), (2) và (3) liệu co dễ dàng không? Bêncạnh đo ta đối chiếu giả thiết thì cần tạo ra các tỉ sốOA OB OC;;mà từ đo nghĩ sẽOM ON OPdùng đến Mê-nê-la-uyt.2/ Tiếp theo tôi bác bỏ ý kiến cho rằng: Một bài toán đã được giải bằng hình họcthuần túy rồi thì không cần giải bằng định lý Mê-nê-la-uyt (vì gây kho cho học sinh).Tôi nào co ép học sinh nhất thiết phải sử dụng định lý Mê-nê-la-uyt để giải. Ý tưởngmà tôi nêu ra qua bài viết này ngoài mục đích như đã giới thiệu còn nhằm mục đíchkhuyến khích học sinh vận dụng định lý Mê-nê-la-uyt để giải các bài toán đã được giải.Nếu không làm được như vậy thì ít ra kiến thức và bộ não của các em đã được huyđộng, đưa các em tiến gần đến tập dược sáng tạo, từ đo tiến đến nghiên cứu khoa học.Để bảo vệ ý tưởng đo tôi xin giới thiệu cùng bạn đọc các bài tập sau nhằm:+ Tập vận dụng Định lý Mê-nê-la-uyt.+ Khai thác bài toán cũ để phát hiện kiến thức mới.Bài toán 6: Cho hình thoi ABCD cạnh a. Gọi R1, R2 lần lược là bán kính đường tròn114ngoại tiếp tam giác ABC và ABD. Chứng minh hệ thức R 2 + R 2 = a 2 .12Lời giải:AGiả sử trung trực các cạnh AB cắt AC tại O 2, cắtBD tại O1. suy ra O1 và O2 là tâm đường trònKngoại tiếp tam giác ABD và ABC. Ta co O1A = R1;O2B = R2.OBCách 1: (Không dùng Mê-nê-la-uyt)O A AKRa∆BAO ⇒ 1 =⇒ 1 =ABAOa 2 AOO B BKRa∆O2 BK∆ABO ⇒ 2 =⇒ 2 =ABBOa2 BO 11 114⇒ 4( AO 2 + BO 2 ) = a 4  2 + 2  ⇒ 2 + 2 = 2 .R1 R2 a R1 R2 ∆O1 AKaDO2O1C( Với lưu ý OA2 + OB2 = a2 ).Đến đây ta đã co thể dừng lại, nhưng với một người yêu toán thì không. Hãy đặt vấn đềrằng co thể giải bài toán trên kia bằng định lý Mê-nê-la-uyt không? Và tôi đã dễ dàngtìm ra lời giải như sau:Cách 2: (Dùng Mê-nê-la-uyt)Áp dụng Định lý Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABO với cát tuyến KO2O1 ta co:R2R − OAKA O2 B O1O..=1⇒. 1=1KB O2 O O1 AOB − R2R1RR − OA 2 R1 − OA 2 R1 OA⇒ 1 = 1==−(1)R2 OB − R2OBOB OBMặt khác để ý BKOO1 và AKO2O là các tứ giác nội tiếp nên co:5a2= R2 .OB (2)2R1 4 R1 R2 R2114Từ (1) và (2) ⇒ R = a 2 − R ⇒ R 2 + R 2 = a 2 (đpcm).2112R1 .OA =• Lời bàn:1/ Bài toán trên nếu giải cách thông thường (cách 1) trông đơn giản hơn (chỉdùng qua hai tam giác đồng dạng) nhưng giải bằng Mê-nê-la-úy ta thấy cái hay ở chôbộ oc ta đã hoạt động tích cực hơn, nghiên cứu bài toán sâu hơn, giúp ta co cách nhìntoàn diện, tổng hợp được các kiến thức với nhau: đo là sự kết hợp giữa Định lí Mê-nêla-uyt + Dãy tỉ số bằng nhau + Hệ thức lượng trong đường tròn. Vậy là ta đang tập làmcông việc "to tác" là sáng tạo và ngiên cứu khoa học?2/ Phát hiện kiến thức mới từ bài toán 6: Cho tam giác ABC co µA = 600 , H là trựctâm của tam giác ABC và nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi R 1 và R2 lần lượt là bán kính11124đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHO và AOD. Chứng minh rằng R2 + R2 = R2 .Lời giải vắn tắt:Đường thẳng OH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Tia phângiác của goc A cắt đường tròn (O) tại D.+ Dễ chứng minh BHOC nột tiếp được, từ đo suy ra·MHB = ·OCB = 300 ⇒ ∆AMN đều.AM HMặtkhác: ·OAC = (1800 −·AOC): 2 = 900 −·ABC = ·MAH⇒ ∆AMH = ∆ANO (g-c-g). ⇒ AH = AO ⇒ AHDO là hìnhthoi.1112ONBCD4+ Áp dụng bài toán 6 ta co ngay R2 + R2 = R2 .Bài toán 7: (Đường thẳng Sim-Sơn).Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M thuộc đường tròn (O). GọiA', B', C' lần lượt là hình chiếu vuông goc của M xuống BC, CA, AB. Chứng minhrằng A', B', C' thuộc một đường thẳng. ( Đường thẳng đo được gọi là đường thẳng SimSơn ).Lời giải:ACách 1: ( Không dùng Mê-nê-la-uyt)+ Nếu M trùng với một đỉnh của ∆ ABC ta co đpcm.+ Nếu M thuộc cung nhỏ BC ( không chứa A ).Sử dụng các tứ giác ABMC, BA'MC', CB'A'M nội tiếpO^^^^B'được ta co: BA' C ' = BMC '; CA' B' = CMB'Mà^^^^^^^nên. Do B, A', C thẳng hàngBMC '+ BMB'+ BAC = 180 0 = BMB'+ BAC + CMB '^^^BMC ' = CMB ' ⇒ BA' C ' = CA' B'BC'A'CMnên C', A', B' thẳng hàng (đpcm).• Lời bàn:1/ Xin hỏi co bao giờ bạn nghĩ rằng sẽ giải bài toán trên bằng định lý Mê-nê-lauýt? Co bạn nào thử dùng định lý Mê-nê-la-uýt để giải lại không? Nếu co tôi xin bắt6tay hoan nghênh, em đã co tính tò mò cần thiết để trở thành một học sinh giỏi toán.Bây giờ ta thử giải lại bài toán trên bằng Mê-nê-la-uyt. Đây là vấn đề kho vì co thể takhông giải được (vì đâu phải bài toán nào cũng giải được bằng Mê-nê-la-úyt), nhưngmục đích là tập nghiên cứu, tập sáng tạo nên ta không dừng lại, tiếp tục phân tích vớihy vọng sẽ giải được bài toán bằng Mê-nê-la-uyt. Thật vậy, kiên trì đến cùng và đi đếnthành công. Xin giới thiệu cùng bạn đọc cách giải như sau:Cách2: ( dùng Mê-nê-la-uyt) Hãy để ý các cặp tam giác đồng dạng: ∆ MA'C∆MC'A; ∆ MBA'∆ MAB' ; ∆ MC'B∆ MB'C từ đo co:A' C MC B ' A MA BC ' MBA' C B ' A BC 'A' C C ' B B ' A=;=;=⇒..=1⇒..=1C ' A MA BA' MB B' C MCC ' A BA' B ' CA' B C ' A B ' CTheo định lý đảo của Mê-nê-la-uyt ta co A', B', C' thẳng hàng (đpcm).2/ Vốn quen nhìn bài toán ở nhiều goc độ khác nhau, tôi cho “ tam giác ABC cốđịnh còn M thay đổi trên cung nhỏ BC không chứa A thì MB và MC thay đổi”. Khi đota co bài toán :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm di động trên cungnhỏ BC không chứa điểm A. Hạ AE, AF lần lượt vuông goc với MB, MC. Chứng minhEF luôn đi qua một điểm cố định. ( Theo kết quả ở bài toán trên thì điểm cố định làchân đường cao hạ từ A xuống BC. Bạn đọc tự chứng minh ).* Tom lại, là người yêu toán hãy co ý thức và tự đặt ra cho mình câu hỏi sau lầngiải môi bài toán: "Bài toán này co thể giải bằng Mê-nê-la-uyt được không? hoặc nếugiải bằng Mê-nê-la-uyt được rồi thì co thể giải bằng hình học thuần túy thông thườngđược không? " (*). Bẵng đi một thời gian tôi lại tìm thấy bài toán tổng quát của bàitoán 7, nhân đây xin giới thiệu cùng bạn đọc.Bài toán 8: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao chohình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.Lời giải:Gọi M là điểm thuộc tập hợp ( S ) phải tìm và C', A', B' theo thứ tự là hình chiếu của Mlên AB, BC, CA. ( xem hình trên )^^Ta co: M ∈ ( S ) ⇔ A', B', C' thẳng hàng ⇔ A'1 = A' 2 .^^^^^^⇔ BMC ' = B ' MC ⇔ BMC = B ' MC ' ⇔ BMC + A = 180 0 ⇔ Tứ giác ABMC nội tiếp ⇔ Mthuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Từ bài tập 7 và 8 ta sẽ giải được bài tập nổi tiếngsau:Bài toán 9: ( Điểm Miquel )Bốn đường thẳng cắt nhau tại 6 điểm tạo thành 4 tam giác.Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác này co một điểm chung.( Điểm chung đo được gọi là điểm Miquel ).BLời giải:Giả sử 4 đường thẳng đôi một cắt nhau tạo thành 4Ltam giác ( xem hình vẽ ). Gọi M là giao điểm khác EFDcủa các đường tròn ngoại tiếp ∆ ADE và ∆ CEF.KJChiếu M xuống các đoạn AD, AE, DE, CF theo thứEAtự là I, J, K và L.ICTheo bài 7 ta co: I, J, K thẳng hàng.MJ, K, L thẳng hàng.⇒ I, J, K, L thẳng hàng.7Theo bài toán 8 ta suy ra M cũng nằm trên các đường tròn ngoại tiếp ∆ ABF và ∆CBD. Vậy các đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác ADE, CFE, ABF và CBD đồng quy tạiđiểm M.Bài toán 10: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AA', BB' và CC' cắt nhau tại O.Đường thẳng d đi qua O và song song với AC cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N. Chứngminh OM = ON.Lời giải:Để cho gọn trước hết ta co bổ đề quen thuộc sau:Bổ đề: Các đường cao AA', BB', CC' của tam giác ABC là 3 đường phân giác trongcủa các goc A', B', C' của tam giác A'B'C'. ( A'B'C' gọi là tam giác trực tâm ).Chứng minh:dA+ Nếu là tam giác vuông thì ∆ A'B'C' suy biến thành đoạnB'thẳng, ta co đpcm.NC'+ Nếu là tam giác nhọn:OCách 1: Sử dụng kiến thức lớp 8 chứng minh qua hai tamM^^giác đồng dạng từ đo co OB' A' = OB' C ' ⇒ đpcm.B( việc chứng minh xin nhường cho bạn đọc).A'Cách 2: Sử dụng kiến thức lớp 9 về tứ giác nội tiếp, ( xemhình vẽ ) Ta co: OA'CB' và OB'AC' là các tứ giác nội tiếp^^^^được nên: OB' A' = OCA'; OB' C ' = OAC '^^^^Mà OCA' = OAC ' nên co OB' A' = OB' C ' . Tương tự ta thu được đpcm.+ Tam giác tù chứng minh tương tự.Áp dụng Bổ đề kết hợp với MN song song với AC nên B'O vừa là đường cao vừa làđường phân giác, vậy ta co OM = ON.(đpcm)Nhận xét rằng nếu đường thẳng d' cũng đi qua O và cho song song với AB, cắt B'C' vàC'A' lần lượt ở E, F thì tương tự ta cũng co OE = OF. Vậy ta co bài toán :Bài toán 11: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AA', BB' và CC' cắt nhau tại O.Đường thẳng d qua O và song song với AC cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N; đườngthẳng d' qua O và song song với AB, cắt B'C' và C'A' lần lượt ở E, F. Chứng minhMENF là hình bình hành.Lời giải:Hình vẽ tương tự như hình bài 10.Áp dụng Bổ đề và theo kết quả bài tập 10 ta co: OM = ON và OE = OF. Vậy NEMF làhình bình hành (đpcm).* Lời bàn: Vấn đề hợp logic mà ta dễ dàng đặt ra là AA', BB' và CC' là cácđường đồng quy bất kì (tức là ta đã bỏ bớt đi giả thiết vuông goc ba cạnh ) thì liệu kếtquả trên còn đúng? (tức là OM = ON ?; hình NEMF co là hình bình hành nữa không? )Nếu không thì no sẽ thay đổi như thế nào nhỉ ? Và tôi bắt tay giải quyết vấn đề. Nhưngxoay xở mãi với Ta let vẫn không giải được. Nhờ co (*) tôi tự hỏi: Không giải đượcbằng hình học thuần túy sao ta không thử giải bằng Mê-nê-la-úy nhỉ ? Và tôi dùng Mênê-la-uyt giải lại vấn đề mở rộng trên một cách cẩn thận thì thật may mắn, tôi đã tìm ralời giải. Hẳn bạn cũng biết là tôi vui mừng đến mức nào, và tôi muốn gặp ai đo để giới8Cthiệu ngay bài toán mở rộng cùng với cách giải của no mà tôi vừa tìm ra. Và hôm naytrong chuyên đề này được chia xẻ cùng bạn đọc. Xin phát biểu lại bài toán mở rộng:Bài toán 12: (Mở rộng bài toán 10)Cho tam giác nhọn ABC. Các đường AA', BB' và CC' cắt nhau tại O. Đường thẳng d điqua O và song song với AC cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N. Chứng minh OM = ON.Lời giải:Gọi I,K lần lượt là giao điểm của AA' và B'C';KA'N và đường thẳng AC.Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt ta co:+ ∆ AOB với cát tuyến C'IB':C ' A B ' B IO..=1C ' B B ' O IAA(1)d+ ∆ AOB' với cát tuyến BCA':BO CB ' A' A..=1BB ' CA A' OC'(2)NIB'OLấy (1) nhân (2) ta được:MCBC ' A OB CB ' IO AA'... .=1(3)A'C ' B OB' CA IA AOC ' A OB CB '..= 1 ( do xét ∆ ABB' vớiMặt khácC ' B OB' CAIO A' OA' O ON IO ON=;=cát tuyến C'OC ) nên =. (4).Mà theo TaLet thì(5).IA A' AA' A AK IA AB 'Từ (4) và (5) suy ra AK = AB' suy ra OM = ON.Sau đây là một số bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng định lí Mê-nê-la-uyt.Bài toán 13: Cho tam giác ABC và các đường AA', BB' và CC' cắt nhau tại O. Đườngthẳng d, d' đi qua O và song song với AC, AB cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N, E, F.Khi đo MENF là hình bình hành.Bài toán 14: Cho tam giác ABC, ba điểm A' , B' , C' theo thứ tự trên BC, CA, AB. Biếtrằng B' chia đoạn AC theo tỉ sốAB ' 3= . Các điểm A' và C' phải chia BC, AB theo tỉ sốB' C 2nào để cho diện tích tam giác A'B'C' nhỏ nhất.Giải vắn tắt:Tam giác A'B'C' co diện tích nhỏ nhất khi no suy biến thành đường thẳng. Khi đo ápdụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABC với cát tuyến A'C'B' .Bài toán 15: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tại các điểm M, N, P, Q theo thứtự trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng PN, QM và đường chéo BD đồngquy.Giải vắn tắt:Giả sử MQ cắt BD tại O. Ta chứng minh N, P, O thẳng hàng. Áp dụng Định lí Mê-nêla-uyt vào tam giác ABD với cát tuyến MQO (với chú ý: AM = AQ; BM = BN; CN =CP; DP = DQ).9

Tài liệu liên quan

• Tìm hiểu sâu thêm về định luật bảo toàn động lượng
  • 11
  • 4
  • 16
• Tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp
  • 108
  • 817
  • 8
• Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago:
  • 18
  • 2
  • 21
• Tìm hiểu sâu thêm ĐL Mê-Nê-La-Uýt (C. N)
  • 14
  • 656
  • 12
• một số tìm hiểu sâu thêm về lớp các vành nguyên tố
  • 49
  • 322
  • 0
• Tìm hiểu sâu thêm về A giao (Kỳ 1) pot
  • 5
  • 222
  • 0
• Tìm hiểu sâu thêm về A giao (Kỳ 2) pps
  • 6
  • 269
  • 0
• TÌM HIỂU SÂU THÊM VỀ NHUNG HƯƠU (Kỳ 3) pdf
  • 5
  • 398
  • 0
• TÌM HIỂU SÂU THÊM VỀ NHUNG HƯƠU (Kỳ 1) ppsx
  • 5
  • 263
  • 0
• TÌM HIỂU SÂU THÊM VỀ NHUNG HƯƠU (Kỳ 2) pptx
  • 5
  • 341
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(262 KB - 9 trang) - Tim hieu sau them định lí Mê nê la uýt Tải bản đầy đủ ngay ×