Tìm M để Bất Phương Trình Có Nghiệm Ôn Tập Toán 10

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tìm m để bất phương trình có nghiệm sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 2 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm tổng hợp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo 9 bài tập có đáp án giải chi tiết và 21 bài tập tự luyện. Qua bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm giúp các bạn học sinh lớp 10 củng cố kiến thức cơ bản biết vận dụng vào giải các bài toán tìm m để bất phương trình có nghiệm. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu tìm m để phương trình vô nghiệm, công thức tính độ dài trung tuyến.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

• 1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm
• 2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm
• 3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm
• 4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

• f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\) . Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.\)
• f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.\)
• f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
• f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ \(x > \frac{3}{2}\) (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.\)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array}} \right.\)

Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)

b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\)

Vậy \(m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn \({{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.\)

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} m>\sqrt{2} \\ -2 < m <-\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

Vậy với |m| < \(\sqrt{2}\) thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành \(x<\frac{1}{m^{2}-m}\) luôn có nghiệm là \(x<\frac{1}{m^{2}-m}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:\(\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.\)

⇔ -1 ≤ m ≤ \(\sqrt 6\) - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; \(\sqrt{6}\) - 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với \(\left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ a.f(0)\ge 0 \\ \dfrac{S}{2}<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \\ m\ge 0 \\ -m<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1\)

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8: Tìm m để bất phương trình \((m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0\) có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: \(8x - 14 < 0,\forall x\) (loại)

Với \(m \ne - 4\) thì \(f(x) < 0,\forall x\)