Tìm M để Bất Phương Trình Nghiệm đúng Với Mọi X

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x Bất phương trình chứa tham số lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 10 Môn: Toán Dạng tài liệu: Chuyên đề Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R

• A. Cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
• B. Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
• C. Bài tập tự rèn luyện tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Bạn đang học chương trình Toán lớp 10 và gặp phải bài toán liên quan đến bất phương trình chứa tham số? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x – một dạng bài quen thuộc nhưng cũng rất dễ gây nhầm lẫn nếu không nắm vững phương pháp. Đây là nội dung thuộc chuyên đề bất phương trình chứa tham số lớp 10, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi học kỳ. Hãy cùng khám phá cách giải nhanh, chính xác và tối ưu nhất để chinh phục dạng toán này nhé!

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại

A. Cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

• f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\) . Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.\)
• f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.\)
• f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
• f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

B. Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực?

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ \(x > \frac{3}{2}\) (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.\)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 2: Xác định tất cả các giá trị tham số m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

a) (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0

b) (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array}} \right.\)

Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)

b. Đặt  (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right.\)\(\Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\)

Vậy \(m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3: Cho bất phương trình: \(\frac{{2m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} \geqslant 1\). Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} \geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} - 1 \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9 - \left( x^{2} + 1 \right) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow (2m - 1)x^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 8 \geq 0(*)\)

Nếu m = 1/2 thì (*) trở thành \(- x + \frac{23}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{23}{2}\)

Suy ra (*) không thỏa mãn với mọi x thuộc R

Nếu m khác 1/2 (*) đúng với mọi x thuộc R