Tìm M để Bất Phương Trình Vô Nghiệm

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm là tài liêu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp, điều kiện, ví dụ và các dạng bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Công thức tính độ dài đường trung tuyến.

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

I. Điều kiện để bất phương trình vô nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c:\)

\(f(x)<0\) vô nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)\ge 0\) có nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\)

\(f(x)>0\) vô nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)\le 0\) có nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\)

\(f(x)\le 0\) vô nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)>0\) có nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta <0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\)

\(f(x)\ge 0\) vô nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)<0\) có nghiệm với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta <0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\)

II. Ví dụ tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình \(x^{2}-2 m x+4 m-3 \leq 0\) vô nghiệm.

\(A.m \in(1 ;+\infty) \begin{array}{ll}\text { B. } m \in(-\infty ; 1) \cup(3 ;+\infty) . & \text { C.m } \in[1 ; 3] \text {. }\end{array}\)

\(D. m \in(1 ; 3).\)

Lời giải :

Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi

\(x^{2}-2 m x+4 m-3>0, \forall x \in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1>0 \text { (luôn đúng) } \\ \triangle^{\prime}=m^{2}-1(4 m- 3)<0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^{2}-4 m+3<0\)

⇒1<m<3.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình \((m-1) x^{2}-2(m-2) x+3 m-4 \geq 0\) vô nghiệm.

A.\(m \in(0 ; 1) . \quad\)

B. \(m \in(1 ;+\infty).\)

C.\(m \in(-\infty ; 0).\)

D. \(m \in(-\infty ; 1).\)

Lời giải :

Vì hệ số của \(x^{2}\) còn phụ thuộc m nên ta xét hai trường hợp sau :

+ Trường hợp 1: \(m-1=0 \Leftrightarrow m=1\) bất phương trình đã cho trở thành \(2 x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}.\) Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \geq \frac{1}{2}\). Do đó m=1 không tỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\begin{aligned} &\text { + Trường hợp 2: } m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1 \text {.Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi }\\ &(m-1) x^{2}-2(m-2) x+3 m-4<0, \forall x \in \mathbb{R}\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=m-1<0 \\ \Delta^{\prime}=(m-2)^{2}-(m-1)(3 m-4)<0 \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<1 \\ m^{2}-4 m+4-3 m^{2}+4 m+3 m-4<0 \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<1 \\ -3 m^{2}+3 m<0 \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<1 \\ m \in(-\infty ; 0) \cup(1 ;+\infty) \end{array} \Leftrightarrow m \in(-\infty ; 0) .\right. \text { Chọn C. } \end{aligned}\)

Ví dụ 3: Tìm m để BPT \(\left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-m>0\) vô nghiệm với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

Lời giải

TH1: \(m+2=0\Leftrightarrow m=-2 \Leftrightarrow -x+2>0\)

Vậy m = -2 thì bất phương trình có nghiệm

TH2: \(m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2\)

Để bất phương trình \(f(x)>0\) vô nghiệm \(x\in \mathbb{R}\) thì \(f(x)\le 0\) có nghiệm với \(x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m+2<0 \\ {{(m+3)}^{2}}+4\left( m+2 \right)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<-2 \\ 5{{m}^{2}}+14m+9\le 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m <-2 \\ m\in [\dfrac{-9}{5};-1] \\ \end{matrix}\right.\)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Cho bất phương trình \(m{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-mx+4>0\). Tìm m để bất phương trình vô nghiệm \(\forall x\in \mathbb{R}\)

Lời giải

TH1: \(m=0\Leftrightarrow 4>0\) (loại)

TH2: \(m\ne 0\)

Để bất phương trình \(f(x)>0\) vô nghiệm \(x\in \mathbb{R}\) thì \(f(x)\le 0\) có nghiệm với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<0 \\ {{m}^{2}}-4m\left( 4-{{m}^{2}} \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m\in (-\infty ,\frac{-1-\sqrt{257}}{8}] \right.$\)

Vậy BPT vô nghiệm khi \(m\in (-\infty ,\frac{-1-\sqrt{257}}{8}]\)

Ví dụ 5: Cho bất phương trình \(m{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m+7\le 0\). Tìm m để bất phương trình vô nghiệm \(\forall x\in \mathbb{R}\)

Lời giải

TH1: \(m=0\Leftrightarrow 7\le 0\) (loại)

TH2: \(m\ne 0\)

Để bất phương trình \(f(x)\le 0\) vô nghiệm \(x\in \mathbb{R}\) thì \(f(x)>0\) có nghiệm với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta <0 \\ \end{matrix} \right.\)