Tìm M để Hàm Số Có Tiệm Cận Ngang - Giải Toán 12

Trang chủ » Hàm Số Có 2 Tiệm Cận Ngang Khi Nào » Tìm M để Hàm Số Có Tiệm Cận Ngang - Giải Toán 12

Có thể bạn quan tâm

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang Giải toán 12 Đường tiệm cận Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 12 Môn: Toán Dạng tài liệu: Chuyên đề Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận

  • A. Cách tìm tiệm cận ngang 
  • B. Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang
  • C. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ
  • D. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ
  • D. Bài tập tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Một trong những dạng bài hay gặp chính là yêu cầu tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang. Đây là dạng toán vừa kiểm tra khả năng nắm vững kiến thức lý thuyết, vừa đánh giá kỹ năng biến đổi đại số và tư duy phân tích của học sinh.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách nhận biết tiệm cận ngang, điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang và đặc biệt là cách tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang một cách nhanh chóng và chính xác. Bên cạnh đó, bài viết còn cung cấp ví dụ minh họa chi tiết và hướng dẫn từng bước giải để giúp bạn nắm vững dạng toán này.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Cách tìm tiệm cận ngang 

  • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.

B. Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang

  • Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}\(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}\)

  • Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d}\(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) thì \left\{ \begin{matrix} c \neq 0 \\ ad - bc \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} c \neq 0 \\ ad - bc \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\)
  • Khi đó phương trình đường tiệm cận ngang là y = \frac{a}{c}\(y = \frac{a}{c}\).
  • Điều kiện để đồ thị hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)}\(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) có tiệm cận ngang là bậc f(x) không lớn hơn bậc của g(x).

C. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

D. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

D. Bài tập tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\(y = \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\) có đúng hai tiệm cận ngang.

A. m \in \left[ {1;4} \right]\(m \in \left[ {1;4} \right]\) B. m > 1\(m > 1\)
C. m < 1\(m < 1\) D. m \in \left( {1;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\(m \in \left( {1;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Hướng dẫn giải

Để hàm số xác định trên \left( { - \infty ; + \infty } \right)\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1\(m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1\)

Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\)= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 - \sqrt {m - 1}\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 - \sqrt {m - 1}\)

\Rightarrow y = 2 - \sqrt {m - 1}\(\Rightarrow y = 2 - \sqrt {m - 1}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\)= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 + \sqrt {m - 1}\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 + \sqrt {m - 1}\)

\Rightarrow y = 2 + \sqrt {m - 1}\(\Rightarrow y = 2 + \sqrt {m - 1}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị có hai tiệm cận ngang \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\(\Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Vậy m > 1

Đáp án D

Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\(y = \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\) có đúng một tiệm cận ngang.

A. m > 1\(m > 1\) B. m < 1\(m < 1\)
C. m = \pm 1\(m = \pm 1\) D. \forall m \in \mathbb{R}\(\forall m \in \mathbb{R}\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\)

Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\)= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \sqrt {{m^2} - 1}\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \sqrt {{m^2} - 1}\)

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\)= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = - \sqrt {{m^2} - 1}\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = - \sqrt {{m^2} - 1}\)

Để đồ thị có duy nhất một tiệm cận ngang

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = - \sqrt {{m^2} - 1} \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm 1 \hfill \\ \end{matrix}\(\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = - \sqrt {{m^2} - 1} \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm 1 \hfill \\ \end{matrix}\)

Đáp án C

Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x\(y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x\). Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

A. m > 0\(m > 0\) B. m = - 2\(m = - 2\)
C. m = \pm 1\(m = \pm 1\) D. m = \left\{ {1; - 2} \right\}\(m = \left\{ {1; - 2} \right\}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x = \frac{{m{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}\(y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x = \frac{{m{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}\)= \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}\(= \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m - 1 = 0} \end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m - 1 = 0} \end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.\)

Đáp án A

Bài tập 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{(2m - 1)x + 1}{x - m}\(y = \frac{(2m - 1)x + 1}{x - m}\) có đường tiệm cận ngang là y = 3\(y = 3\) ?

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

- m(2m - 1) - 1 \neq 0 \Rightarrow 2m^{2} - m + 1 \neq 0\(- m(2m - 1) - 1 \neq 0 \Rightarrow 2m^{2} - m + 1 \neq 0\) luôn đúng với \forall x\mathbb{\in R}\(\forall x\mathbb{\in R}\)

Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m - 1\(y = 2m - 1\) nên ta có 2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2\(2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2\)

Bài tập 5: Cho hàm số y = 2x + \sqrt{mx^{2} - x + 1} + 1\(y = 2x + \sqrt{mx^{2} - x + 1} + 1\) . Tìm giá trị của tham số m\(m\) sao cho đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} y = (2x + 1) + \sqrt {m{x^2} - x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{4{x^2} + 4x + 1 - \left( {m{x^2} - x + 1} \right)}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{(4 - m){x^2} + 5x}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}\(\begin{matrix} y = (2x + 1) + \sqrt {m{x^2} - x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{4{x^2} + 4x + 1 - \left( {m{x^2} - x + 1} \right)}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{(4 - m){x^2} + 5x}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số

Đồng thời \lim_{x \rightarrow \infty}y = y_{0} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 4 - m = 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow m = 4 \right.\(\lim_{x \rightarrow \infty}y = y_{0} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 4 - m = 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow m = 4 \right.\)

Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m\(m\) để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

A. m < 4.\(m < 4.\)                                                           B. m > 4.\(m > 4.\)

C. m = 4,m = - 12.\(m = 4,m = - 12.\)                                           D. m \neq 4.\(m \neq 4.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 \rightarrow y = 0\(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 \rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi m.\(m.\)

Để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng \Leftrightarrow\(\Leftrightarrow\)Phương trình x^{2} - 4x + m = 0\(x^{2} - 4x + m = 0\) có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng - 2\(- 2\)

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \Delta\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \Delta' = 4 - m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 4 - m > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4( - 2) + m = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 12 \\ \end{matrix} \right.\)

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m\(m\) để đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

A. m = - 12.\(m = - 12.\)                 B. m > 4.\(m > 4.\)                    C. m = - 12,m > 4.\(m = - 12,m > 4.\)          D. m \neq 4.\(m \neq 4.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0y = 0\(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi m\(m\).

Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình x^{2} - 4x + m = 0\(x^{2} - 4x + m = 0\) vô nghiệm

Từ khóa » Hàm Số Có 2 Tiệm Cận Ngang Khi Nào