Tìm M để Hàm Số đồng Biến, Nghịch Biến Trên R

Có thể bạn quan tâm

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Xét tính đơn điệu của hàm số Toán lớp 12 có đáp án Bài trước Tải về Bài sau Lớp: THPT Quốc gia Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Toán 12

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
II. Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

- Định lí: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( a,b \right):$ $\left( a,b \right):$

+ Hàm số $y=f\left( x \right)$ $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a,b \right)$ $\left( a,b \right)$ khi và chỉ khi $f$ $y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}$ $\Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 4\rbrack$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 4\rbrack$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - \infty; - 4\rbrack$ $m \in ( - \infty; - 4\rbrack$.

Ví dụ. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5$ $y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$?

Hướng dẫn giải

Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y' = x^{2} - 4mx + 4 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta$ $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow m^{2} + 12m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack - 9; - 3\rbrack$ $\Leftrightarrow m^{2} + 12m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack - 9; - 3\rbrack$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 9; - 8;...; - 3 \right\}$ $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 9; - 8;...; - 3 \right\}$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ. Cho hàm số $y = - x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(2m - 1)x + 2020$ $y = - x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(2m - 1)x + 2020$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên $( - \infty; + \infty)$ $( - \infty; + \infty)$?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $( - \infty; + \infty)$ $( - \infty; + \infty)$

$\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow \Delta' \leq 0$

$\Leftrightarrow 9\left( m^{2} + 2m + 1 \right) + 18m - 9 \leq 0$ $\Leftrightarrow 9\left( m^{2} + 2m + 1 \right) + 18m - 9 \leq 0$

$\Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0$ $\Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0$

Do $m\mathbb{\in Z}$ $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $x^{6} + 2020x^{2} = (5x - 6)^{3} - 2020(6 - 5x)$ $x^{6} + 2020x^{2} = (5x - 6)^{3} - 2020(6 - 5x)$?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $f(t) = t^{3} + 2020t \Rightarrow f$ $\left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{\left( m-1 \right)}^{2}}+\left( m-1 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{m}^{2}}-m\le 0 \\ \end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow m\in \left[ 0,1 \right)$

Đáp án D

Ví dụ: Tìm m để hàm số $y={{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-3mx+5m-2$ $y={{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-3mx+5m-2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

$A. -4\le m\le -\frac{1}{4}$ $A. -4\le m\le -\frac{1}{4}$	$B. -4< m< -\frac{1}{4}$ $B. -4< m< -\frac{1}{4}$
$C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$ $C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$	$D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$ $D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

$y'=3{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-3m$

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ thì:

$\left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta$ $y' \leq 0$ , $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta' = m^{2} + 3m + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 1$ $\Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 1$ .

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x + 3$ $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $f$ $\Delta' \leq 0$

$\Leftrightarrow 9m^{2} - 18m + 9 < 0 \Leftrightarrow 9\left( m^{2} - 2m + 1 ight) \leq 0$ $\Leftrightarrow 9m^{2} - 18m + 9 < 0 \Leftrightarrow 9\left( m^{2} - 2m + 1 ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow 9(m - 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 1$ $\Leftrightarrow 9(m - 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

Ví dụ. Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4$ $y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ $( - \infty; + \infty)$ .

Hướng dẫn giải

TH1: $m = 1$ . Ta có: $y = - x + 4$ là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ .

Do đó nhận $m = 1$ .

TH2: $m = - 1$ . Ta có: $y = - 2x^{2} - x + 4$ $y = - 2x^{2} - x + 4$ là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ .

Do đó loại $m = - 1$ .

TH3: $m eq \pm 1$ $m eq \pm 1$ . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng

Từ khóa » Hàm Số Y=f(x) đồng Biến Trên R Khi

$A. -4\le m\le -\frac{1}{4}$ \(A. -4\le m\le -\frac{1}{4}\)	$B. -4< m< -\frac{1}{4}$ \(B. -4< m< -\frac{1}{4}\)
$C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$ \(C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\)	$D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$ \(D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\)

Tìm M để Hàm Số đồng Biến, Nghịch Biến Trên R