Tìm M để Phương Trình Sin ^4x + Cos ^4x + Cos ^24x = M

Lời giải của Tự Học 365

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi: \({\cos ^4}x + {\cos ^2}4x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

- Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\) và công thức hạ bậc \({\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác .

- Đặt ẩn phụ \(t = \cos 4x\), tìm khoảng giá trị của \(t\). Đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Tìm điều kiện để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT hàm số \(f\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^4}x + {\cos ^4}x + {\cos ^2}4x = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + 1 - \frac{1}{4}\left( {1 - \cos 4x} \right) = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{3}{4} = m\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \cos 4x\), với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow 4x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó phương trình (1) trở thành: \({t^2} + \frac{1}{4}t + \frac{3}{4} = m\,\,\,\left( 2 \right)\).

Xét đồ thị hàm số \(y = \cos 4x\) trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\):

 

Với mỗi nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right)\) cho 2 nghiệm \(x\).

Với mỗi nghiệm \(t = 1\) cho 1 nghiệm \(x\).

Do đó,  để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình (2) phần có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + \frac{1}{4}t + \frac{3}{4}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc \(\left[ { - 1;1} \right)\).

BBT đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + \frac{1}{4}t + \frac{3}{4}\):

 

Dựa vào BBT \( \Rightarrow \frac{{47}}{{64}} < m \le \frac{3}{2}\).

Vậy \(m \in \left( {\frac{{47}}{{64}};\frac{3}{2}} \right]\).