Tìm Một Vectơ Vuông Góc Với Các Vectơ. Tìm Một Vectơ ...

Hướng dẫn

Nếu vectơ ban đầu được thể hiện trong hình vẽ trong một hệ tọa độ hai chiều hình chữ nhật và một vuông góc cần được dựng ở cùng một vị trí, hãy tiến hành định nghĩa tính vuông góc của vectơ trên một mặt phẳng. Nó nói rằng góc giữa một cặp đoạn thẳng như vậy phải bằng 90 °. Có thể xây dựng vô số vectơ như vậy. Do đó, hãy vẽ một đường vuông góc với vectơ ban đầu ở bất kỳ vị trí thuận tiện nào trên mặt phẳng, dành trên đó một đoạn bằng độ dài của một cặp điểm có thứ tự đã cho và gán một trong các đầu của nó là điểm đầu của vectơ vuông góc. Làm điều này với thước đo góc và thước kẻ.

Nếu vectơ ban đầu được cho bởi tọa độ hai chiều ā = (X₁; Y₁), thì tích vô hướng của một cặp vectơ vuông góc phải bằng không. Điều này có nghĩa là bạn cần chọn cho vectơ mong muốn ō = (X₂, Y₂) tọa độ mà tại đó đẳng thức (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0 sẽ được thỏa mãn. Điều này có thể được thực hiện như sau: chọn bất kỳ giá trị nào khác 0 cho tọa độ X₂ và tính tọa độ Y₂ bằng công thức Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁. Ví dụ, đối với vectơ ā = (15; 5) sẽ có một vectơ ō, với hoành độ bằng một và hoành độ bằng - (15 * 1) / 5 = -3, tức là ō = (1; -3).

Đối với hệ tọa độ ba chiều và bất kỳ hệ tọa độ trực giao nào khác, cùng một điều kiện cần và đủ cho tính vuông góc của vectơ là đúng - tích vô hướng của chúng phải bằng không. Do đó, nếu đoạn có hướng ban đầu được cho bởi tọa độ ā = (X₁, Y₁, Z₁), đối với cặp điểm thứ tự ō = (X₂, Y₂, Z₂) vuông góc với nó, hãy chọn tọa độ thỏa mãn điều kiện (ā , ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0. Cách dễ nhất là gán các giá trị đơn lẻ cho X₂ và Y₂, và tính Z₂ từ phương trình đơn giản Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₁ = - (X₁ + Y₁) / Z₁. Ví dụ, đối với vectơ ā = (3,5,4), nó sẽ có dạng sau: (ā, ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0. Sau đó lấy abscissa và ước lượng của vectơ vuông góc là hợp nhất, và trong trường hợp này sẽ bằng - (3 + 5) / 4 = -2.

Nguồn:

• tìm vectơ nếu nó vuông góc

Vuông góc được gọi là vectơ, góc giữa đó là 90º. Các vectơ vuông góc được xây dựng bằng các công cụ vẽ. Nếu đã biết tọa độ của chúng thì có thể kiểm tra hoặc tìm độ vuông góc của các vectơ bằng phương pháp giải tích.

Bạn sẽ cần

• - thước đo góc;
• - địa bàn;
• - cái thước kẻ.

Hướng dẫn

Dựng một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho. Để làm điều này, tại điểm là đầu của vectơ, hãy khôi phục lại sự vuông góc với nó. Điều này có thể được thực hiện bằng thước đo góc, đặt một góc 90º. Nếu không có thước đo góc, hãy làm bằng la bàn.

Đặt nó thành điểm bắt đầu của vectơ. Vẽ một đường tròn với bán kính tùy ý. Sau đó, dựng hai tâm tại các điểm mà đường tròn đầu tiên cắt đường thẳng mà vectơ nằm trên đó. Bán kính của các đường tròn này phải bằng nhau và lớn hơn đường tròn đã xây dựng đầu tiên. Tại các giao điểm của các đường tròn, dựng một đường thẳng vuông góc với vectơ ban đầu tại điểm bắt đầu của nó, và tạo một vectơ vuông góc với vectơ đã cho trên đó.

Vectơ đơn vị là:, trong đó là môđun của vectơ.

Trả lời: .

Ghi chú. Tọa độ của vectơ đơn vị không được lớn hơn một.

6.3. Tìm cosin độ dài và hướng của một vectơ . So sánh với câu trả lời ở đoạn trước. Rút ra kết luận của riêng bạn.

Chiều dài của một vectơ là môđun của nó:

Và chúng ta có thể tìm các cosin hướng bằng cách sử dụng công thức của một trong những cách để chỉ định vectơ:

Từ những gì chúng ta thu được, chúng ta thấy rằng cosin hướng là tọa độ của vectơ đơn vị.

Trả lời: ,,,.

6.4. Để tìm .

Cần phải thực hiện các phép tính nhân một vectơ với một số, phép cộng và môđun.

Chúng ta nhân tọa độ của vectơ với một số hạng theo số hạng.

Chúng tôi thêm các tọa độ của số hạng vectơ theo số hạng.

Tìm môđun của vectơ.

Trả lời:

6.5. Xác định tọa độ vectơ , thẳng hàng với vectơ , biết rằng và nó hướng theo hướng ngược lại với vectơ .

Véc tơ thẳng hàng với vectơ , vì vậy vectơ đơn vị của nó bằng vectơ đơn vị chỉ với một dấu trừ, bởi vì hướng theo hướng ngược lại.

Một vectơ đơn vị có độ dài bằng 1, có nghĩa là nếu nó nhân với 5, thì độ dài của nó sẽ bằng năm.

Chúng ta tìm thấy

Trả lời:

6.6. Tính sản phẩm chấm và . Các vectơ có vuông góc với nhau không và ,và giữa bọn họ?

Hãy biểu diễn tích vô hướng của vectơ.

Nếu các vectơ vuông góc, tích chấm của chúng bằng không.

Chúng tôi thấy rằng trong trường hợp của chúng tôi, các vectơ và đều vuông góc.

Trả lời: ,, các vectơ không vuông góc.

Ghi chú.Ý nghĩa hình học của tích vô hướng ít được sử dụng trong thực tế, nhưng vẫn tồn tại. Kết quả của một hành động như vậy có thể được mô tả và tính toán bằng hình học.

6,7. Tìm công được thực hiện bởi một điểm vật liệu có tác dụng lực , khi nó di chuyển từ điểm B đến điểm C.

Ý nghĩa vật lý của tích vô hướng là công việc. Véc tơ lực ở đây , vectơ độ dời là . Và sản phẩm của các vectơ này sẽ là tác phẩm mong muốn.

Tìm việc làm

6,8. Tìm góc nội thất ở đỉnh Một và góc ngoài ở trên cùng C Tam giác ABC .

Từ định nghĩa, tích vô hướng của vectơ, ta có công thức tìm góc:.

TẠI chúng ta sẽ tìm góc trong là góc giữa các vectơ đi ra khỏi một điểm.

Để tìm góc ngoài, bạn cần kết hợp các vectơ để chúng đi ra khỏi cùng một điểm. Hình vẽ giải thích điều này.

Cần lưu ý rằng , chỉ có tọa độ ban đầu khác nhau.

Tìm vectơ và góc cần thiết

Trả lời: góc trong tại đỉnh A \ u003d , góc ngoài tại đỉnh B = .

6,9. Tìm hình chiếu của vectơ: và

Gọi lại vectơ-orts: ,,.

Phép chiếu cũng được tìm thấy từ tích vô hướng

-sự chiếu b trên một.

Các vectơ do chúng tôi thu được trước đây

, ,

Tìm một phép chiếu

Tìm phép chiếu thứ hai

Trả lời: ,

Ghi chú. Dấu trừ khi tìm hình chiếu có nghĩa là hình chiếu không nằm trên chính véc tơ, mà theo hướng ngược lại, trên đường mà véc tơ này nằm.

6.10. Tính toán .

Thực hiện tích chéo của vectơ

Chúng ta hãy tìm mô-đun

Ta tìm sin của góc giữa các vectơ từ định nghĩa tích vectơ của vectơ

Trả lời: ,,.

6.11. Tìm diện tích hình tam giác ABC và độ dài của đường cao dậy từ điểm C.

Ý nghĩa hình học của môđun của tích chéo là nó là diện tích của hình bình hành được tạo thành bởi các vectơ này. Diện tích hình tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.

Diện tích của một tam giác cũng có thể được tìm thấy dưới dạng tích của chiều cao nhân với cơ sở chia cho hai, từ đó bạn có thể suy ra công thức tìm chiều cao.

Do đó, chúng tôi tìm thấy chiều cao

Trả lời: ,.

6.12. Tìm vectơ đơn vị vuông góc với vectơ và .

Kết quả của tích chấm là một vectơ vuông góc với hai vectơ ban đầu. Một vectơ đơn vị là một vectơ chia cho độ dài của nó.

Trước đây, chúng tôi đã tìm thấy:

,

Trả lời: .

6.13. Xác định độ lớn và cosin hướng của mômen lực áp dụng cho A đối với điểm C.

Ý nghĩa vật lý của tích vectơ là mômen của lực. Hãy đưa ra một minh họa cho nhiệm vụ này.

Tìm mômen của lực

Trả lời: .

6.14. Vectơ có nói dối không ,và trong cùng một mặt phẳng? Các vectơ này có thể tạo thành một cơ sở của không gian không? Tại sao? Nếu có thể, hãy mở rộng vectơ trong cơ sở này .

Để kiểm tra xem các vectơ có nằm trong cùng một mặt phẳng hay không, cần thực hiện phép tích hỗn hợp của các vectơ này.

Tích hỗn hợp không bằng 0, do đó, các vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng (không đồng phẳng) và có thể tạo thành một cơ sở. Hãy phân hủy trên cơ sở này.

Chúng tôi mở rộng cơ sở bằng cách giải phương trình

Trả lời: Vectơ ,và không nằm trong cùng một mặt phẳng. .

6.15. Để tìm . Thể tích của hình chóp có các đỉnh A, B, C, D và đường cao hạ từ điểm A đến mặt đáy BCD là bao nhiêu.

G ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp là nó là thể tích của hình bình hành được tạo thành bởi các vectơ này.

Thể tích của hình chóp nhỏ hơn thể tích của hình bình hành sáu lần.

Thể tích của kim tự tháp cũng có thể được tìm thấy như sau:

Nhận công thức để tìm chiều cao

Tìm chiều cao

Trả lời: khối lượng = 2,5, chiều cao = .

6.16. Tính toán và .

Chúng tôi mời bạn suy nghĩ về nhiệm vụ này cho chính mình.

- Hãy làm công việc.

Trước đây đã nhận

Trả lời: .

6.17. Tính toán

Hãy làm từng bước một

3)

Chúng tôi tóm tắt các giá trị thu được

Trả lời: .

6.18. Tìm vectơ , biết rằng nó vuông góc với các vectơ và và hình chiếu của nó lên vectơ bằng 5.

Hãy chia vấn đề này thành hai nhiệm vụ phụ.

1) Tìm một vectơ vuông góc với các vectơ và độ dài tùy ý.

Chúng ta sẽ nhận được một vectơ vuông góc là kết quả của tích chéo

Trước đây, chúng tôi đã tìm thấy:

Vectơ mong muốn chỉ khác về độ dài, so với vectơ thu được

2) Tìm thông qua phương trình

6.19. Tìm vectơ , thỏa mãn các điều kiện ,,.

Chúng ta hãy xem xét các điều kiện này chi tiết hơn.

Đây là một hệ phương trình tuyến tính. Hãy tạo và giải quyết hệ thống này.

Trả lời:

6,20. Xác định tọa độ của một số vectơ , đồng phẳng với vectơ và và vuông góc với vectơ .

Trong nhiệm vụ này, có hai điều kiện: các vectơ là đồng phẳng và vuông góc, đầu tiên chúng ta thực hiện điều kiện đầu tiên, và sau đó điều kiện thứ hai.

1) Nếu các vectơ là đồng phẳng, thì tích hỗn hợp của chúng bằng không.

Từ đây, chúng ta có được một số phụ thuộc của tọa độ của vectơ

Hãy tìm véc tơ .

2) Nếu các vectơ vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng không

Chúng tôi đã thu được sự phụ thuộc thứ hai của tọa độ của vectơ mong muốn

Đối với bất kỳ giá trị nào vectơ sẽ thỏa mãn các điều kiện. Thay thế .

Trả lời: .

Hình học giải tích

Bài báo này cho biết ý nghĩa của sự vuông góc của hai vectơ trên một mặt phẳng trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một hoặc cả một cặp vectơ. Chuyên đề có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

Ta sẽ xét điều kiện cần và đủ để tính vuông góc của hai vectơ, chúng ta sẽ giải bằng phương pháp tìm vectơ vuông góc với cho trước, chúng ta sẽ liên hệ đến tình huống tìm vectơ vuông góc với hai vectơ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc với nhau

Hãy áp dụng quy tắc về vectơ vuông góc trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều.

Định nghĩa 1

Với giá trị của góc giữa hai vectơ khác 0 bằng 90 ° (π 2 radian) được gọi là vuông góc.

Điều này có nghĩa là gì, và trong những tình huống nào thì cần biết về độ vuông góc của chúng?

Hình vẽ có thể thiết lập tính vuông góc. Khi vẽ một vectơ trên một mặt phẳng từ các điểm đã cho, bạn có thể đo góc giữa chúng về mặt hình học. Tính vuông góc của các vectơ, nếu nó được thiết lập, không hoàn toàn chính xác. Thông thường, những vấn đề này không cho phép bạn làm điều này với thước đo góc, vì vậy phương pháp này chỉ có thể áp dụng khi không biết gì khác về vectơ.

Hầu hết các trường hợp chứng minh tính vuông góc của hai vectơ khác 0 trên mặt phẳng hoặc trong không gian được thực hiện bằng cách sử dụng điều kiện cần và đủ để tính vuông góc của hai vectơ.

Định lý 1

Tích vô hướng của hai vectơ khác không a → và b → bằng 0 để thực hiện đẳng thức a →, b → = 0 là đủ để chúng vuông góc.

Bằng chứng 1

Để các vectơ a → và b → vuông góc với nhau, khi đó ta sẽ chứng minh đẳng thức a ⇀, b → = 0.

Từ định nghĩa của sản phẩm chấm của các vectơ chúng tôi biết rằng nó bằng tích độ dài của các vectơ đã cho và côsin của góc giữa chúng. Theo điều kiện, a → và b → vuông góc, và do đó, dựa trên định nghĩa, góc giữa chúng là 90 °. Khi đó ta có a →, b → = a → b → cos (a →, b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0.

Phần thứ hai của bằng chứng

Với điều kiện khi a ⇀, b → = 0 chứng minh tính vuông góc của a → và b →.

Trên thực tế, bằng chứng là mặt trái của cái trước. Biết rằng a → và b → khác 0 nên từ đẳng thức a ⇀, b → = a → b → cos (a →, b →) ^ ta tìm được cosin. Khi đó ta được cos (a →, b →) ^ = (a →, b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0. Vì cosin bằng 0 nên chúng ta có thể kết luận rằng góc a →, b → ^ của các vectơ a → và b → là 90 °. Theo định nghĩa, đây là tính chất cần và đủ.

Điều kiện vuông góc trên mặt phẳng tọa độ

Chương chấm sản phẩm trong tọa độ chứng minh bất đẳng thức (a →, b →) = a x b x + a y b y, hợp lệ với vectơ có tọa độ a → = (a x, a y) và b → = (b x, b y), trên mặt phẳng và (a →, b →) = a x b x + a y b y đối với vectơ a → = (a x, a y, a z) và b → = (b x, b y, b z) trong không gian. Điều kiện cần và đủ để tính vuông góc của hai vectơ trong mặt phẳng tọa độ là a x · b x + a y · b y = 0, đối với không gian ba chiều a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Hãy đưa nó vào thực tế và xem xét các ví dụ.

ví dụ 1

Kiểm tra tính chất vuông góc của hai vectơ a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Quyết định

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần tìm tích vô hướng. Nếu theo điều kiện, nó sẽ bằng 0, thì chúng vuông góc.

(a →, b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0. Điều kiện được thoả mãn nghĩa là các vectơ đã cho vuông góc trên mặt phẳng.

Trả lời:đúng, các vectơ đã cho a → và b → vuông góc với nhau.

Ví dụ 2

Cho vectơ tọa độ i →, j →, k →. Kiểm tra xem các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → có thể vuông góc với nhau hay không.

Quyết định

Để nhớ cách xác định tọa độ của vectơ, bạn cần đọc một bài báo về tọa độ vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Do đó, chúng ta thu được rằng các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → đã cho có tọa độ tương ứng là (1, - 1, 0) và (1, 2, 2). Thay các giá trị số vào ta được: i → + 2 j → + 2 k →, i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1.

Biểu thức không phải là 0, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, có nghĩa là các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc vì không thỏa mãn điều kiện.

Trả lời: không, các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc.

Ví dụ 3

Cho các vectơ a → = (1, 0, - 2) và b → = (λ, 5, 1). Tìm giá trị λ để các vectơ đã cho vuông góc với nhau.

Quyết định

Chúng ta sử dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ trong không gian ở dạng bình phương, thì chúng ta nhận được

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Trả lời: các vectơ vuông góc với giá trị λ = 2.

Có những trường hợp câu hỏi về tính vuông góc là không thể ngay cả trong điều kiện cần và đủ. Với dữ liệu đã biết về ba cạnh của một tam giác trên hai vectơ, có thể tìm góc giữa các vectơ và kiểm tra nó ra.

Ví dụ 4

Cho tam giác A B C có các cạnh A B \ u003d 8, A C \ u003d 6, B C \ u003d 10 cm. Kiểm tra tính vuông góc của các vectơ A B → và A C →.

Quyết định

Khi các vectơ A B → và A C → vuông góc với nhau thì tam giác A B C được coi là hình chữ nhật. Sau đó, chúng ta áp dụng định lý Pitago, trong đó BC là cạnh huyền của tam giác. Đẳng thức B C 2 = A B 2 + A C 2 phải được thỏa mãn. Theo đó 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Do đó, A B và A C là chân của tam giác A B C nên A B → và A C → vuông góc với nhau.

Điều quan trọng là học cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho. Điều này có thể thực hiện được cả trên mặt phẳng và trong không gian, với điều kiện là các vectơ phải vuông góc.

Tìm một véctơ vuông góc với một véctơ đã cho trong mặt phẳng.

Một vectơ khác không a → có thể có vô số vectơ vuông góc trong mặt phẳng. Hãy biểu diễn nó trên đường tọa độ.

Cho trước một vectơ khác không a →, nằm trên đường thẳng a. Khi đó b → đã cho, nằm trên đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng a, trở nên vuông góc và a →. Nếu vectơ i → vuông góc với vectơ j → hoặc bất kỳ vectơ nào trong số các vectơ λ · j → với λ bằng một số thực bất kỳ trừ số 0 thì tìm tọa độ của vectơ b → vuông góc với a → = (a x, a y) giảm xuống một tập hợp vô hạn các giải pháp. Nhưng cần tìm tọa độ của vectơ vuông góc với a → = (a x, a y). Để làm được điều này, cần viết điều kiện vuông góc của vectơ dưới dạng a x · b x + a y · b y = 0. Ta có b x và b y, là tọa độ mong muốn của vectơ vuông góc. Khi a x ≠ 0, giá trị của b y khác không và b x được tính từ bất đẳng thức a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Khi a x = 0 và a y ≠ 0, ta gán b x bất kỳ giá trị nào khác 0, và b y được tìm thấy từ biểu thức b y = - a x · b x a y.

Ví dụ 5

Cho vectơ có tọa độ a → = (- 2, 2). Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho.

Quyết định

Kí hiệu vectơ mong muốn là b → (b x, b y). Bạn có thể tìm tọa độ của nó từ điều kiện các vectơ a → và b → vuông góc với nhau. Khi đó ta được: (a →, b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0. Gán b y = 1 và thay vào: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0. Do đó từ công thức ta được b x = - 2 - 2 = 1 2. Do đó, vectơ b → = (1 2, 1) là vectơ vuông góc với a →.

Trả lời: b → = (1 2, 1) .

Nếu đặt câu hỏi về không gian ba chiều thì vấn đề được giải quyết theo nguyên tắc tương tự. Đối với một vectơ a → = (a x, a y, a z) cho trước, có vô số vectơ vuông góc. Sẽ sửa chữa nó trên mặt phẳng 3D tọa độ. Cho trước a → nằm trên đường thẳng a. Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng a kí hiệu là α. Trong trường hợp này, bất kỳ vectơ khác không b → từ mặt phẳng α đều vuông góc với a →.

Cần tìm tọa độ b → vuông góc với vectơ khác không a → = (a x, a y, a z).

Cho b → được cho với các tọa độ b x, b y và b z. Để tìm chúng, cần áp dụng định nghĩa về điều kiện vuông góc của hai vectơ. Đẳng thức a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 phải giữ nguyên. Từ điều kiện a → - khác không, nghĩa là một trong các tọa độ có giá trị không bằng không. Giả sử rằng a x ≠ 0, (a y ≠ 0 hoặc a z ≠ 0). Do đó, ta có quyền chia toàn bộ bất phương trình a x b x + a y b y + a z b z = 0 cho tọa độ này, ta được biểu thức b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x. Ta gán giá trị bất kỳ cho tọa độ b y và b x, tính giá trị b x, dựa vào công thức, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vectơ vuông góc mong muốn sẽ có giá trị a → = (a x, a y, a z).

Hãy xem bằng chứng với một ví dụ.

Ví dụ 6

Cho vectơ có tọa độ a → = (1, 2, 3). Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho.

Quyết định

Kí hiệu vectơ mong muốn là b → = (b x, b y, b z). Dựa vào điều kiện các vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng phải bằng không.

a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Nếu giá trị b y = 1, b z = 1 thì b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5. Theo đó tọa độ của vectơ b → (- 5, 1, 1). Vectơ b → là một trong các vectơ vuông góc với vectơ đã cho.

Trả lời: b → = (- 5, 1, 1).

Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho

Bạn cần tìm tọa độ của vectơ trong không gian ba chiều. Nó vuông góc với các vectơ không thẳng hàng a → (a x, a y, a z) và b → = (b x, b y, b z). Với điều kiện các vectơ a → và b → thẳng hàng thì trong bài toán chỉ cần tìm một vectơ vuông góc với a → hoặc b → là đủ.

Khi giải, khái niệm tích vectơ của vectơ được sử dụng.

Tích chéo của vectơ a → và b → là vectơ đồng thời vuông góc với cả a → và b →. Để giải quyết vấn đề này, tích vectơ a → × b → được sử dụng. Đối với không gian ba chiều, nó có dạng a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Hãy để chúng tôi phân tích tích véc tơ chi tiết hơn bằng cách sử dụng ví dụ của bài toán.

Ví dụ 7

Các vectơ b → = (0, 2, 3) và a → = (2, 1, 0) đã cho. Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc bất kỳ với dữ liệu tại cùng một thời điểm.

Quyết định

Để giải, bạn cần tìm tích chéo của các vectơ. (Phải tham khảo đoạn tính toán xác định ma trậnđể tìm véc tơ). Chúng tôi nhận được:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Trả lời: (3 , - 6 , 4) - tọa độ của một vectơ đồng thời vuông góc với a → và b → cho trước.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Trong phần câu hỏi tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho mà tác giả đưa ra Anna Afanasyeva câu trả lời đúng nhất là Một vectơ vuông góc với hai vectơ không song song được coi là tích vectơ của chúng ahb, để tìm được nó, bạn cần phải tạo một định thức, hàng đầu tiên sẽ bao gồm các vectơ đơn vị I, j, k, hàng thứ hai của tọa độ của vectơ a, tọa độ thứ ba của vectơ trong. Định thức được coi là sự mở rộng dọc theo dòng đầu tiên, trong trường hợp của bạn, nó sẽ ra axb = 20i-10k hoặc axb = (20,0, -10).

Câu trả lời từ 22 câu trả lời[guru]

Chào! Đây là tuyển tập các chủ đề có câu trả lời cho câu hỏi của bạn: tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho

Câu trả lời từ Kéo dài[thành viên mới] Một vectơ vuông góc với hai vectơ không song song được coi là tích chéo của chúng ahb, để tìm được nó, bạn cần tạo một định thức, hàng đầu tiên sẽ bao gồm các vectơ đơn vị I, j, k, hàng thứ hai của tọa độ vectơ a, tọa độ thứ ba của vectơ trong. Định thức được coi là sự mở rộng dọc theo dòng đầu tiên, trong trường hợp của bạn, nó sẽ ra axb = 20i-10k hoặc axb = (20,0, -10).

Câu trả lời từ HAYKA[guru] Gần như quyết định như thế này; Nhưng trước tiên hãy đọc nó cho chính mình! ! Tính tích số chấm của vectơ d và r nếu d = -c + a + 2b; r = -b + 2a. Môđun của vectơ a là 4, môđun của vectơ b là 6. Góc giữa vectơ a và b là 60 độ, vectơ c vuông góc với vectơ a và b. Các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AD và BC của hình bình hành ABCD, với AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Biểu thị vectơ EF theo vectơ m = vectơ AB và vectơ n = vectơ AD . b) Có thể nhân vectơ EF = x với vectơ CD với giá trị nào của x được không? .

om. Để làm được điều này, trước tiên chúng tôi giới thiệu khái niệm phân đoạn.

Định nghĩa 1

Đoạn thẳng là một phần của đường thẳng được giới hạn bởi các điểm ở cả hai phía.

Định nghĩa 2

Các điểm cuối của đoạn sẽ được gọi là các điểm giới hạn nó.

Để giới thiệu định nghĩa của một vectơ, một trong những điểm cuối của đoạn sẽ được gọi là điểm đầu của nó.

Định nghĩa 3

Chúng ta sẽ gọi một vectơ (đoạn có hướng) như vậy là một đoạn, mà nó được chỉ ra rằng điểm biên nào là điểm đầu của nó và điểm nào là điểm cuối của nó.

Kí hiệu: \ overline (AB) - vectơ AB, bắt đầu từ điểm A và kết thúc tại điểm B.

Nếu không, bằng một chữ cái nhỏ: \ overline (a) (Hình 1).

Định nghĩa 4

Vectơ không là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng.

Chỉ định: \ overline (0).

Bây giờ chúng tôi giới thiệu trực tiếp định nghĩa của vectơ thẳng hàng.

Chúng tôi cũng giới thiệu định nghĩa của tích vô hướng, mà chúng tôi sẽ cần bên dưới.

Định nghĩa 6

Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là một (hoặc một số) vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ này với côsin của góc giữa các vectơ đã cho.

Về mặt toán học, nó có thể trông như thế này:

\ overline (α) \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos⁡∠ (\ overline (α), \ overline (β))

Sản phẩm dấu chấm cũng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng tọa độ của các vectơ như sau

\ overline (α) \ overline (β) = α_1 β_1 + α_2 β_2 + α_3 β_3

Dấu hiệu của sự vuông góc thông qua sự tương xứng

Định lý 1

Để các vectơ khác không vuông góc với nhau, thì cần và đủ rằng tích vô hướng của các vectơ này bằng không.

Bằng chứng.

Cần: Cho chúng ta vectơ \ overline (α) và \ overline (β), có tọa độ (α_1, α_2, α_3) và (β_1, β_2, β_3) tương ứng và chúng vuông góc với nhau. Sau đó, chúng ta cần chứng minh đẳng thức sau

Vì các vectơ \ overline (α) và \ overline (β) vuông góc với nhau nên góc giữa chúng là 90 ^ 0. Hãy tìm tích vô hướng của các vectơ này bằng công thức từ Định nghĩa 6.

\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos⁡90 ^ \ circle = | \ overline (α) || \ overline (β) | \ cdot 0 = 0

Tính đầy đủ: Hãy để sự bình đẳng là đúng \ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 0. Hãy chứng minh rằng các vectơ \ overline (α) và \ overline (β) sẽ vuông góc với nhau.

Theo định nghĩa 6, đẳng thức sẽ đúng

| \ overline (α) || \ overline (β) | cos⁡∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 0

Cos⁡∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 0

∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 90 ^ \ khoanh

Do đó, các vectơ \ overline (α) và \ overline (β) sẽ vuông góc với nhau.

Định lý đã được chứng minh.

ví dụ 1

Chứng minh rằng các vectơ có tọa độ (1, -5,2) và (2,1,3 / 2) vuông góc với nhau.

Bằng chứng.

Chúng ta hãy tìm tích số chấm cho các vectơ này thông qua công thức đã cho ở trên

\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac (3) (2) = 2 \ cdot 5 + 3 = 0

Do đó, theo Định lý 1, các vectơ này vuông góc với nhau.

Tìm vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho qua tích chéo

Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu khái niệm về tích véc tơ.

Định nghĩa 7

Tích vectơ của hai vectơ sẽ được gọi là vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho, và độ dài của nó sẽ bằng tích độ dài của các vectơ này với sin của góc giữa các vectơ này và vectơ này với hai những cái ban đầu có cùng hướng với hệ tọa độ Descartes.

Chỉ định: \ overline (α) x \ overline (β) x.

Để tìm tích vectơ, chúng ta sẽ sử dụng công thức

\ overline (α) x \ overline (β) = \ begin (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ α_1 & α_2 & α_3 \\ β_1 & β_2 & β_3 \ end (vmatrix) x

Vì vectơ của tích chéo của hai vectơ vuông góc với cả hai vectơ này nên nó sẽ là một vectơ xác nhận. Nghĩa là, để tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ, bạn chỉ cần tìm tích chéo của chúng.

Ví dụ 2

Tìm vectơ vuông góc với vectơ có tọa độ \ overline (α) = (1,2,3) và \ overline (β) = (- 1,0,3)

Tìm tích chéo của các vectơ này.

\ overline (α) x \ overline (β) = \ begin (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 3 \ end (vmatrix) = (6- 0) \ overline (i) - (3 + 3) \ overline (j) + (0 + 2) \ overline (k) = 6 \ overline (i) -6 \ overline (j) +2 \ overline (k) = (6,6,2) x