Tìm Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác Trong Khoảng, đoạn

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

• Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Trang trước Trang sau

Bài viết Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn.

• Cách giải bài tập Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
• Ví dụ minh họa bài tập Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
• Bài tập vận dụng Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Quảng cáo

Lời giải

Ta có sin2 x- sinx= 0

+ với họ nghiệm x= kπ.

Ta có: 0 < kπ < 2π

⇒ 0 < k < 2

Mà k nguyên nên k= 1

+ Với họ nghiệm x= π/2+k2π

Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π

⇒ - π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho phương trình cos(x- 1800) + 2sin(900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)

A. 0

B.1

C. 2

D .3

Lời giải

Ta có : cos(x- 1800) = - cosx và sin(900- x)= cosx

Do đó; cos( x- 1800) + 2sin(900– x)

⇒ - cosx +2cosx = 1

⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.3600

Với x∈ ( 900; 3600) ta có:

900 < x < 3600 ⇒ 900 < k.3600 < 3600

⇒ 1/4 < k < 1

⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600]

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có:cosx – sin2x= 0

⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(900-2x)

+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [00; 3600]

*Với họ nghiệm: x= 300+k.1200 ta có:

00 ≤ 300+k.1200 ≤ 3600

⇒ -300 ≤ k.1200 ≤ 3300 (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4

Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 300; 1500; 2700

* Với họ nghiệm x= 900-k.3600 ta có:

00 ≤ 900-k.3600 ≤ 3600

⇒ - 900 ≤ -k.3600 ≤ 2700

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 900

⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan2 x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (900; 2700)

A. 1350

B. 1650

C. 2250

D. Tất cả sai

Lời giải

Ta có: -2tan2x + 4tanx – 2= 0

⇒ - 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1

⇒ x= 450+ k.1800

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 2700)

Ta có: 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450+ k.1800 < 2700

⇒ 450 < k.1800 < 2250

⇒ 1/4 < k < 5/4

Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 2250

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200]

A. 0

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có: cos0 x+ sinx +1= 0

⇒ 1-sin0 x + sinx +1 = 0

⇒ - sin0 x+ sinx + 2= 0

⇒ sinx= - 1 ⇒ x= 2700+ k.3600

+ Ta có: 00 ≤ 2700+k.3600 ≤ 7200

⇒ -2700 ≤ k.3600 ≤ 4500

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [00; 7200]

Chọn D

Ví dụ 7. Cho phương trình sin2 2x +2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800).

A.900

B. 1800

C. 1650

D. 2700

Lời giải.

Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0

⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0

⇒ - cos2 2x + cos2x + 2= 0

Với cos2x= -1 ⇒ 2x=1800+ k.3600

⇒ x= 900 + k.1800

Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 1800)

⇒ 00 < 900+ k.1800 < 1800

⇒ -900 < k.1800 < 900

⇒ (- 1)/2 < k < 1/2

K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 900

Chọn A.

Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x- sin4 x= 0 trên khoảng (0;2π)

A. 15π/4

B. 13π/4

C. 5π/2

D. Đáp án khác

Lời giaỉ

Ta có; cos4 x- sin4 x = 0

⇒ ( cos2 x – sin2 x) .(cos2 x+ sin2 x) = 0

⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0

⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π)

Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π

⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}

⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4

⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4

Chọn A.

Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình . Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Lời giải:

Điều kiện : cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ k2π

Với điều kiện trên phương trình trên trở thành:

+Trường hợp 1. Với sinx=0 ⇒ x =kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra: x=(2k+1).π

Vì 0 ≤ x ≤ 4π nên 0 ≤ ( 2k+1)π ≤ 4π

⇒ 0 ≤ 2k+1 ≤ 4 ⇒ -1/2 ≤ k ≤ 3/2

Mà k nguyên nên k = 0 hoặc 1.

⇒ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 4π]

+ Trường hợp 2:

Với sinx= - 1 ⇒ x= 3π/2+k2π ( thỏa mãn điều kiện ) .

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k= 1.

Kết hợp hai trường hợp; suy ra phương trình có tất cả bốn nghiệm trên đoạn [0; 4π]

Chọn B.

Câu 2:Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Ta có: - 2sin2x - 6cosx+ 6= 0

⇒ ( 2 -2sin2x ) – 6cosx+ 4=0

⇒ 2cos2 x- 6cosx + 4= 0

Với cosx= 1 ⇒ x = k2π

Ta có: x∈( 2π;6π) nên 2π < k2π < 6π

⇒ 1 < k < 3

Mà k nguyên nên k= 1.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng ( 2π;6π).

Chọn A.

Câu 3:Cho phương trình: 2cos2 x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Lời giải:

Ta có: 2cos2x- √3 cosx=0

⇒ cosx.( 2cosx- √3)=0

+ Xét cosx = 0 ⇒ x=k2π

Mà 0 < x < 2π nên 0 < k2π < 2π

⇒ 0 < k < 1

Mà k nguyên nên không có giá trị nào của k thỏa mãn.

Với mỗi giá trị của k cho ta một nghiệm của phương trình trên khoảng đang xét.

⇒ Phương trình có tất cả 2 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) .

Chọn C.

Câu 4:Cho phương trình: .Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 3

B.5

C.6

D.4

Lời giải:

Mà k nguyên nên k∈{2;3;4;5}

⇒ Phương trình có 4 nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn D.

Câu 5:Cho phương trình : tan4 x - 3tan2 x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)

A. 27

B. 28

C. 29

D. 30

Lời giải:

Điều kiện:cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: tan4x - 3tan2 x=0

⇒ tan2 x. (tan2 x- 3) = 0

+ Xét họ nghiệm x= kπ

⇒ 0 < kπ < 10 π ⇒ 0 < k < 10

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3;..;9} có 9 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= π/3+kπ

⇒ 0 < π/3+ kπ < 10 π ⇒ (- 1)/3 < k < 29/3

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;…;9} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= (-π)/3+kπ

⇒ 0 < -π/3+ kπ < 10 π ⇒ 1/3 < k < 31/3

Mà k nguyên nên k∈{1;2;…;9;10} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

Kết hợp 3 trường hợp suy ra phương trình có tất cả:

9+10+ 10= 29 nghiệm trên khoảng ( 0;10π)

Chọn C.

Câu 6:Cho phương trình: sin2 x+ 1- sin2 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]

A. 5

B.3

C.4

D. 6

Lời giải:

Ta có; sin2 x+ 1- sin22x= 1

⇒ 2sin2 x + 2. (1- sin22x)- 2 = 0

⇒ 1- cos2x + 2. cos22x - 2 =0

⇒ 2cos22x – cos2x - 1 = 0

+ Ta có: π/2 ≤ x ≤ 2π nên: π/2 ≤ kπ ≤ 2π

⇒ 1/2 ≤ k ≤ 2 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.

+ Tương tự: π/2 ≤ π/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 1/6 ≤ k ≤ 5/3 mà k nguyên nên k= 1.

+ π/2 ≤ (-π)/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 5/6 ≤ k ≤ 7/3 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2 .

Từ ba trường hợp trên suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc đoạn [π/2;2π]

Chọn A.

Câu 7:Cho phương trình 3cot⁡(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Lời giải:

Mà k nguyên nên k∈{ 3; 4;..; 8}

⇒ Phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn [2π;8π].

Chọn B.

Câu 8:Cho phương trình:. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?

A. 3

B.5

C. 4

D.6

Lời giải:

Điều kiện:

⇒ tanx + 2 tanx = 3cos22x+ 3sin22x (vì tanx. cotx= 1)

⇒ 3tanx = 3 ( vì cos2 2x + sin22x = 1)

⇒ tanx= 1 ⇒ x= π/4+kπ ( thỏa mãn điều kiện ) .

⇒ phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng (-2π; 2π).

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
• Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
• Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều