Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số F(x) = s2x...

× Đăng nhập Facebook Google ×

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Hãy chọn chính xác nhé!

Trang chủ Lớp 12 Toán

Câu hỏi:

20/07/2024 2,171

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx.cos2x

A. ∫f(x)dx=-2cos3x3+cosx+C

Đáp án chính xác

B. ∫f(x)dx=16cos3x+12sinx+C

C. ∫f(x)dx=16cos3x-12sinx+C

D. ∫f(x)dx=cos3x3+cosx+C

Xem lời giải Xem lý thuyết Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án)-Thông hiểu Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0 0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+sin2x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 2,368

Câu 2:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 664

Câu 3:

Nguyên hàm của hàm số y=cotx là:

Xem đáp án » 05/02/2022 400

Câu 4:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm sốf(x)=sinx+2x là

Xem đáp án » 05/02/2022 382

Câu 5:

Cho I=∫sinxdx, nếu đặt u=x

Xem đáp án » 05/02/2022 306

Câu 6:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2sinx.cos2x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 256

Câu 7:

Tìm hàm số F(x) biết F'(x)=3x2+2x-1 và đồ thị hàm số y=F(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tổng các hệ số của F(x) là:

Xem đáp án » 05/02/2022 246

Câu 8:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số:f(x)=e2018x

Xem đáp án » 05/02/2022 235

Câu 9:

Nguyên hàm của hàm số f(x)=1x là:

Xem đáp án » 05/02/2022 232

Câu 10:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=52x

Xem đáp án » 05/02/2022 223

Câu 11:

Họ nguyên hàm của hàm số ∫2x+32x2-x-1dx là

Xem đáp án » 05/02/2022 222

Câu 12:

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số : y=3x4?

Xem đáp án » 05/02/2022 221

Câu 13:

Nếu ∫f(x)dx=x33+ex+C thì f(x) bằng:

Xem đáp án » 05/02/2022 220

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ∫f(x)dx=4x3-3x2+2x+C. Hàm số f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau?

Xem đáp án » 05/02/2022 206

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2xcos2x-1

Xem đáp án » 05/02/2022 200 Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

Mục lục nội dung

Xem thêm

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈K.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-∞;+∞) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x∈(-∞;+∞).

- Hàm số F⁢(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-∞;  3)∪(3;+∞)

Vì F'⁢(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f⁢(x) với ∀x∈(-∞;  3)∪(3;+∞).

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F⁢(x)+C;C∈⁢R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: ∫f⁢(x)⁢𝑑x=F⁢(x)+C.

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

a) Với x∈(-∞⁢;+∞) ta có: ∫x3⁢𝑑x=x44+C;

b) Với x∈(-∞⁢;+∞) ta có: ∫ex⁢𝑑x=ex+C;

c) Với x∈(0⁢;+∞) ta có: ∫12⁢x⁢𝑑x=x+C.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'⁢(x)⁢𝑑x=f⁢(x)+C

Ví dụ 3.

∫(4x)'⁢𝑑x=∫4x.ln⁡4.d⁢x=  4x+C

- Tính chất 2.

∫k⁢f⁢(x)⁢𝑑x=k.∫f⁢(x)⁢𝑑x (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

∫[f⁢(x)±g⁢(x)]⁢𝑑x=∫f⁢(x)⁢𝑑x±∫g⁢(x)⁢𝑑x.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=  3⁢x2+  2⁢sin⁡x trên khoảng (-∞;+∞).

Lời giải:

Với x∈(-∞;+∞) ta có:

∫(3⁢x2+ 2⁢sin⁡x)⁢𝑑x=∫3⁢x2⁢𝑑x+  2⁢∫sin⁡x⁢d⁢x=x3+ 2.(-c⁢osx)⁢⁢ +C⁢ =⁢⁢x3-2⁢c⁢osx⁢⁢ +C

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+∞).

∫x⁢𝑑x=∫x12⁢𝑑x=23⁢x32+C=23⁢x⁢x+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-∞;  0)∪(0;+∞)

∫1x⁢𝑑x=ln⁡|x|+C

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

∫0⁢𝑑x=C	∫axdx=axln⁡a+C(a> 0;a≠1)
∫𝑑x=x+C	∫cosxdx⁢=⁢ ⁢sinx⁢⁢ +C
∫xαdx=1α⁢ + 1xα⁢⁢ +1+C(α ≠ -1)	∫sin⁡x⁢d⁢x=-c⁢osx⁢⁢ + ⁢C
∫1x⁢𝑑x=ln⁡|x|+C	∫1cos2⁢x⁢𝑑x=tan⁡x+C
∫ex⁢𝑑x=ex+C	∫1sin2⁡x⁢𝑑x=-cot⁡x+C

Ví dụ 6. Tính:

a) ∫(3⁢x4+x3)⁢𝑑x

b) ∫(5⁢ex- 4x+ 2)⁢𝑑x

Lời giải:

a)

⁢∫(3⁢x4+x3)⁢𝑑x=∫3⁢x4⁢𝑑x+∫x3⁢𝑑x=  3⁢∫x4⁢𝑑x+∫x13⁢𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3⁢x55+3⁢x⁢x34+C

b) ∫(5⁢ex- 4x+ 2)⁢𝑑x

= 5⁢∫ex⁢𝑑x-  16.∫ 4x⁢𝑑x=  5.ex-16.4xln⁡4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu ∫f⁢(u)⁢𝑑u=F⁢(u)+Cvà u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

∫f⁢(u⁢(x)).u'⁢(x)⁢d⁢x=F⁢(u⁢(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

∫f⁢(a⁢x+b)⁢𝑑x=1a⁢F⁢(a⁢x+b)+C.

Ví dụ 7. Tính ∫(3⁢x+ 2)3⁢𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3⁢𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

∫(3⁢x+ 2)3⁢𝑑x=(3⁢x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính ∫sin⁡x.c⁢os2⁢x⁢d⁢x.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-d⁢u)= -∫u2⁢𝑑u⁢ =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

∫sin⁡x.c⁢os2⁢x⁢d⁢x=-c⁢os3⁢x3+C

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u⁢(x).v'⁢(x).d⁢x=u⁢(x).v⁢(x)-∫u'⁢(x).v⁢(x)⁢d⁢x.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

∫u⁢𝑑v=u⁢v-∫v⁢𝑑u.

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

a) ∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x;

b) ∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x;

c) ∫(5-x).ex⁢d⁢x

Lời giải:

a) ∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x

Đặt {u=lnxdv=xdx⇒{du=1xdxv=x22

Ta có:

∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x=x22.ln⁡x-∫x22.1x⁢d⁢x

=x22.ln⁡x-12⁢∫x⁢𝑑x=x22.ln⁡x-12.x22+C

=x22.ln⁡x-x24+C.

b) ∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x;

Đặt {u=xdv=sinxdx⇒{du=dxv=-cosx

Khi đó:

∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x=-x.c⁢osx⁢ +∫cosxdx=⁢ -x.c⁢osx⁢ +sinx⁢ +⁢C

c) ∫(5-x).ex⁢d⁢x

Đặt {u=5-xdv=exdx⇒{du= -dxv=ex

Khi đó:

∫(5-x).ex⁢d⁢x=(5-x).ex-∫-ex⁢d⁢x

=(5-x).ex+∫ex⁢𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

Đề thi liên quan

Xem thêm »

• 250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 10 đề 6827 lượt thi Thi thử
• Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải 3 đề 6471 lượt thi Thi thử
• Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao 11 đề 5357 lượt thi Thi thử
• Bài tập tắc nghiệm ứng dụng đạo hàm - Toán 12 có đáp án 7 đề 5143 lượt thi Thi thử
• Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải 5 đề 3484 lượt thi Thi thử
• 200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC (có đáp án) 9 đề 3454 lượt thi Thi thử
• 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (có đáp án) 6 đề 3283 lượt thi Thi thử
• Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án 3 đề 3023 lượt thi Thi thử
• 70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản 6 đề 2982 lượt thi Thi thử
• Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án 6 đề 2782 lượt thi Thi thử

Xem thêm » Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

• 

  Rô bốt có hai cái cốc loại 250 ml và 400 ml. Chỉ dùng hai cái cốc đó, làm thế nào để rô bốt lấy được 100 ml nước từ chậu nước.

  225 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Một mảnh vườn hình vuông cạnh 20 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m thuộc đất của vườn. Phần đất còn lại dùng để trồng trọt. Tính diện tích trồng trọt của mảnh vườn.

  119 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

  122 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Từ các số 0; 1; 2; 7; 8; 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?

  213 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế?

  122 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Tìm m để 3 đường thẳng y = −5(x + 1), y = mx + 3, y = 3x + m phân biệt và đồng quy.

  115 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Trung bình mỗi con gà ăn hết 102 g thức ăn trong một ngày. Hỏi trại nuôi gà đó cần bao nhiêu ki-lô-gam thức ăn cho 350 con gà trong 30 ngày?

  100 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng \(\overline {abcdef} \). Từ tập hợp X lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy ra là số lẻ và thỏa mãn a < b < c < d < e < f.

  187 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Cho tứ diện (ABCD) có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 7a, AD = 8a.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. Tính thể tích khối tứ diện AMNP.

  113 05/04/2024 Xem đáp án
• 

  Tìm tập xác định của hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3 - x} ,x \in ( - \infty ;0)\\\sqrt {\frac{1}{x}} ,x \in (0; + \infty )\end{array} \right.\).

  106 05/04/2024 Xem đáp án

Xem thêm »