Tính Chất Các Góc Kề Của Hình Bình Hành. Hình Bình Hành ...

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau. Hình vẽ sau là hình bình hành ABCD. Nó có cạnh AB song song với cạnh CD và cạnh BC song song với cạnh AD.

Như bạn có thể đã đoán, một hình bình hành là một tứ giác lồi. Xét các tính chất cơ bản của hình bình hành.

Thuộc tính Hình bình hành

1. Trong một hình bình hành, các góc đối diện và các cạnh đối diện bằng nhau. Hãy chứng minh tính chất này - xét hình bình hành trong hình sau.

Đường chéo BD chia nó thành hai tam giác bằng nhau: ABD và CBD. Chúng có cạnh BD và hai góc kề với nó bằng nhau, vì các góc nằm tại mặt cắt của BD lần lượt là các đường thẳng song song BC và AD và AB và CD. Do đó, AB = CD và BC = AD. Và từ đẳng thức của các góc 1, 2,3 và 4 ta suy ra rằng góc A = góc1 + góc3 = góc2 + góc4 = góc C.

2. Các đường chéo của hình bình hành là phân giác của giao điểm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó tam giác AOB và tam giác COD bằng nhau, cùng cạnh và hai góc kề với nó. (AB = CD vì chúng là các cạnh đối diện của hình bình hành. Và góc1 = góc2 và góc3 = góc4 là các góc nằm chéo nhau tại giao điểm của các đường thẳng AB và CD bởi các đoạn thẳng AC và BD.) Theo đó AO = OC và OB = OD, và cần được chứng minh.

Tất cả các thuộc tính chính được minh họa trong ba hình sau.

Khái niệm hình bình hành

Định nghĩa 1

Hình bình hành là một tứ giác trong đó các cạnh đối diện song song với nhau (Hình 1).

Bức tranh 1.

Hình bình hành có hai tính chất chính. Chúng ta hãy xem xét chúng mà không có bằng chứng.

Thuộc tính 1: Các cạnh đối và các góc của hình bình hành lần lượt bằng nhau.

Thuộc tính 2: Các đường chéo được vẽ trong một hình bình hành được phân giác bởi giao điểm của chúng.

Các tính năng của hình bình hành

Hãy xem xét ba đặc điểm của hình bình hành và trình bày chúng dưới dạng định lý.

Định lý 1

Nếu hai cạnh của tứ giác bằng nhau và song song thì tứ giác này sẽ là hình bình hành.

Bằng chứng.

Cho tứ giác $ ABCD $. Trong đó $ AB || CD $ và $ AB = CD $ Chúng ta hãy vẽ một đường chéo $ AC $ trong đó (Hình 2).

Hình 2.

Xét các đường thẳng song song $ AB $ và $ CD $ và đoạn thẳng $ AC $ của chúng. sau đó

\ [\ angle CAB = \ angle DCA \]

như các góc chéo nhau.

Theo tiêu chí $ I $ cho sự bằng nhau của các tam giác,

vì $ AC $ là cạnh chung của chúng, và $ AB = CD $ theo giả thiết. Có nghĩa

\ [\ angle DAC = \ angle ACB \]

Xét các đường thẳng $ AD $ và $ CB $ và $ AC $ của chúng; theo dấu bằng nhau cuối cùng của các góc chéo nhau, chúng ta thu được $ AD || CB $.) Do đó, theo định nghĩa của $ 1 $, tứ giác này là một hình bình hành.

Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2

Nếu các cạnh đối diện của một tứ giác bằng nhau thì nó là một hình bình hành.

Bằng chứng.

Cho tứ giác $ ABCD $. Trong đó $ AD = BC $ và $ AB = CD $. Hãy để chúng tôi vẽ một đường chéo $ AC $ trong đó (Hình 3).

Hình 3

Vì $ AD = BC $, $ AB = CD $, và $ AC $ là một cạnh chung, nên bằng phép thử bình đẳng tam giác $ III $,

\ [\ tam giác DAC = \ tam giác ACB \]

\ [\ angle DAC = \ angle ACB \]

Xét các đường thẳng $ AD $ và $ CB $ và $ AC $ tiếp theo của chúng, theo dấu bằng nhau cuối cùng của các góc chéo nhau, chúng ta nhận được rằng $ AD || CB $. Do đó, theo định nghĩa của $ 1 $, tứ giác này là một hình bình hành.

\ [\ angle DCA = \ angle CAB \]

Xét các đường thẳng $ AB $ và $ CD $ và $ AC $ trực tiếp của chúng, theo dấu bằng nhau cuối cùng của các góc chéo nhau, chúng ta nhận được $ AB || CD $. Do đó, theo Định nghĩa 1, tứ giác này là một hình bình hành.

Định lý đã được chứng minh.

Định lý 3

Nếu các đường chéo được vẽ trong một tứ giác được chia thành hai phần bằng nhau bởi giao điểm của chúng thì tứ giác này là một hình bình hành.

Bằng chứng.

Cho tứ giác $ ABCD $. Hãy để chúng tôi vẽ các đường chéo $ AC $ và $ BD $ trong đó. Để chúng cắt nhau tại điểm $ O $ (Hình 4).

hinh 4

Vì theo điều kiện $ BO = OD, \ AO = OC $, và các góc $ \ angle COB = \ angle DOA $ là phương thẳng đứng, do đó, bằng phép thử bình đẳng tam giác $ I $,

\ [\ tam giác BOC = \ tam giác AOD \]

\ [\ angle DBC = \ angle BDA \]

Xét các đường thẳng $ BC $ và $ AD $ và $ BD $ trực tiếp của chúng, theo dấu bằng nhau cuối cùng của các góc chéo nhau, chúng ta nhận được rằng $ BC || AD $. Ngoài ra $ BC = AD $. Do đó, theo Định lý $ 1 $, tứ giác này là một hình bình hành.

Đề cương bài học.

Đại số lớp 8

Giáo viên Sysoi A.K.

Trường học 1828

Chủ đề bài học: "Hình bình hành và các tính chất của nó"

Loại bài: kết hợp

Mục tiêu bài học:

1) Đảm bảo sự đồng hóa của một khái niệm mới - hình bình hành và các tính chất của nó

2) Tiếp tục phát triển các kỹ năng và khả năng giải các bài toán hình học;

3) Phát triển văn hóa phát biểu toán học

Kế hoạch bài học:

1. Thời điểm tổ chức

(Trang trình bày 1)

Trang trình bày cho thấy tuyên bố của Lewis Carroll. Học sinh được thông báo về mục đích của bài học. Sự sẵn sàng của học sinh đối với bài học được kiểm tra.

2. Cập nhật kiến ​​thức

(Trang trình bày 2)

Trên bảng nhiệm vụ cho công việc bằng miệng. Giáo viên mời học sinh suy nghĩ về những vấn đề này và giơ tay cho những người hiểu cách giải quyết vấn đề. Sau khi giải xong hai bài toán, gọi một học sinh lên bảng chứng minh định lý về tổng các góc, học sinh này độc lập bổ sung vào hình vẽ và chứng minh định lý bằng miệng.

Học sinh sử dụng công thức tính tổng các góc của một đa giác:

3. Phần thân chính

(Trang trình bày 3)

Trên bảng là định nghĩa của hình bình hành. Giáo viên nói về một hình mới và hình thành định nghĩa, giải thích cần thiết bằng hình vẽ. Sau đó, trên phần kẻ ô vuông của bản trình bày, sử dụng bút đánh dấu và thước kẻ, cho biết cách vẽ một hình bình hành (một số trường hợp có thể thực hiện được)

(Trang trình bày 4)

Giáo viên hình thành tính chất bậc nhất của hình bình hành. Mời học sinh nói theo tranh, nội dung đã cho và điều cần chứng minh. Sau đó, nhiệm vụ đã cho sẽ xuất hiện trên bảng. Học sinh đoán (có thể nhờ sự trợ giúp của giáo viên) rằng các bằng nhau bắt buộc phải được chứng minh thông qua bằng nhau của các tam giác, có thể thu được bằng cách vẽ một đường chéo (một đường chéo xuất hiện trên bảng). Tiếp theo, học sinh đoán xem tại sao các tam giác bằng nhau và gọi dấu hiệu bằng nhau của các tam giác (mẫu tương ứng xuất hiện). Truyền đạt bằng lời các dữ kiện cần thiết cho sự bằng nhau của các tam giác (khi gọi tên chúng, hình ảnh tương ứng sẽ xuất hiện). Tiếp theo, học sinh hình thành tính chất của tam giác bằng nhau, nó xuất hiện ở dạng chứng minh điểm 3, sau đó hoàn thành việc chứng minh định lí bằng miệng một cách độc lập.

(Trang trình bày 5)

Giáo viên hình thành tính chất thứ hai của hình bình hành. Trên bảng xuất hiện hình vẽ một hình bình hành. Giáo viên đưa ra để nói từ hình ảnh những gì đã cho, những gì cần chứng minh. Sau khi học sinh trình bày đúng những điều đã cho và những điều cần chứng minh, điều kiện của định lý sẽ xuất hiện. Học sinh đoán rằng sự bằng nhau về các phần của các đường chéo có thể được chứng minh thông qua sự bằng nhau của các tam giácAOB và COD. Sử dụng tính chất trước của hình bình hành, hãy đoán về bằng nhau của các cạnhAB và đĩa CD. Sau đó, các em hiểu rằng cần phải tìm các góc bằng nhau và sử dụng tính chất của các đường thẳng song song, các em chứng minh được sự bằng nhau của các góc kề hai cạnh bằng nhau. Các giai đoạn này được hiển thị trực quan trên slide. Chân lý của định lý sau từ đẳng thức của tam giác - Học sinh nêu trên slide hình ảnh tương ứng hiện ra.

(Trang trình bày 6)

Giáo viên hình thành tính chất thứ ba của hình bình hành. Tùy thuộc vào thời gian còn lại cho đến cuối bài, giáo viên có thể cho học sinh tự chứng minh tính chất này hoặc giới hạn trong công thức của nó, và để học sinh tự chứng minh tính chất này như bài tập về nhà. Cách chứng minh có thể dựa vào tổng các góc của đa giác nội tiếp đã nhắc lại ở đầu bài hoặc dựa vào tổng các góc trong cùng của hai đường thẳng song song.QUẢNG CÁO và BC, và một người bảo mật, chẳng hạnAB.

4. Sửa chữa vật liệu

Ở giai đoạn này, học sinh sử dụng các định lý đã học trước đó để giải quyết các vấn đề. Các ý tưởng để giải quyết vấn đề được học sinh tự lựa chọn. Vì có nhiều phương án thiết kế khả thi và tất cả đều phụ thuộc vào cách học sinh tìm kiếm giải pháp cho vấn đề, nên không có hình dung về giải pháp cho các vấn đề, và học sinh tự vẽ ra từng giai đoạn của giải pháp trên một bảng riêng. với lời giải được viết trong một cuốn sổ.

(Trang trình bày 7)

Điều kiện nhiệm vụ xuất hiện. Giáo viên gợi ý xây dựng công thức “Cho trước” theo điều kiện. Sau khi học sinh viết đúng điều kiện, "Given" xuất hiện trên bảng. Quá trình giải quyết vấn đề có thể giống như sau:

Vẽ chiều cao BH (kết xuất)

Tam giác AHB là tam giác vuông. Góc A bằng góc C và bằng 30 0 (tính chất góc đối diện trong hình bình hành). 2BH = AB (theo tính chất chân đối diện với góc 30 0 trong tam giác vuông). Vậy AB = 13 cm.

AB \ u003d CD, BC \ u003d AD (theo tính chất của các cạnh đối diện trong một hình bình hành) Vậy AB \ u003d CD \ u003d 13cm. Vì chu vi hình bình hành là 50 cm nên BC \ u003d AD \ u003d (50 - 26): 2 \ u003d 12 cm.

Trả lời: AB = CD = 13cm, BC = AD = 12cm.

(Trang trình bày 8)

Điều kiện nhiệm vụ xuất hiện. Giáo viên gợi ý xây dựng công thức “Cho trước” theo điều kiện. Sau đó “Dano” xuất hiện trên màn hình. Với sự trợ giúp của các đường màu đỏ, một tứ giác được chọn, bạn cần chứng minh rằng đó là hình bình hành. Quá trình giải quyết vấn đề có thể giống như sau:

Tại vì BK và MD cùng vuông góc với một đường thẳng thì đường thẳng BK và MD song song với nhau.

Qua các góc kề nhau, có thể thấy rằng tổng các góc trong nội tiếp các đường thẳng BM, KD và MD cắt ngang bằng 180 0. Do đó, các đường thẳng này song song với nhau.

Vì các cạnh đối diện của tứ giác BMDK là cặp song song nên tứ giác này là hình bình hành.

5. Kết thúc bài học. hành vi kết quả.

(Trang trình bày 8)

Các câu hỏi về một chủ đề mới xuất hiện trên trang chiếu, học sinh sẽ trả lời.

Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố

Trường trung học Savinskaya

Tìm kiếm

Hình bình hành và các thuộc tính mới của nó

Thực hiện bởi: học sinh lớp 8B

Trường trung học MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 tuổi

Trưởng nhóm: giáo viên toán

Tulchevskaya N.A.

Savino

Vùng Ivanovo, Nga

2016

TÔI. Giới thiệu ______________________________________________ trang 3

II. Từ lịch sử hình bình hành ___________________________________trang 4

III Các tính chất bổ sung của hình bình hành ______________________trang 4

IV. Chứng minh tính chất _____________________________________ trang 5

V Giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng các thuộc tính bổ sung __________trang 8

VI. Ứng dụng các tính chất của hình bình hành trong đời sống ___________________trang 11

VII. Kết luận _________________________________________________trang 12

VIII. Ngữ văn _________________________________________________ trang 13

Giới thiệu

"Giữa những tâm trí bình đẳng

tại sự tương tự của các điều kiện khác

vượt trội so với những người biết hình học "

(Blaise Pascal).

Trong khi nghiên cứu chủ đề "Hình bình hành" trong các bài học hình học, chúng tôi đã xem xét hai tính chất của hình bình hành và ba đối tượng địa lý, nhưng khi chúng tôi bắt đầu giải quyết vấn đề, hóa ra như vậy là chưa đủ.

Tôi đã có một câu hỏi, liệu hình bình hành có bất kỳ tính chất nào khác không, và chúng sẽ giúp giải quyết vấn đề như thế nào.

Và tôi quyết định nghiên cứu các tính chất bổ sung của hình bình hành và chỉ ra cách chúng có thể được áp dụng để giải quyết vấn đề.

Đề tài nghiên cứu : hình bình hành

Đối tượng nghiên cứu : thuộc tính hình bình hành Mục tiêu:

công thức và chứng minh các tính chất bổ sung của hình bình hành không được học ở trường;

ứng dụng của các tính chất này để giải quyết vấn đề.

Nhiệm vụ:

Để nghiên cứu lịch sử của hình bình hành và lịch sử phát triển các tính chất của nó;

Tìm tài liệu bổ sung về vấn đề đang nghiên cứu;

Nghiên cứu các tính chất bổ sung của hình bình hành và chứng minh chúng;

Chỉ ra ứng dụng của các tính chất này để giải quyết vấn đề;

Nhận xét ứng dụng các tính chất của hình bình hành trong cuộc sống. Phương pháp nghiên cứu:

Làm việc với các nguồn tài liệu giáo dục và khoa học - văn học phổ thông, Internet;

Việc nghiên cứu tài liệu lý thuyết;

Xác định một loạt các nhiệm vụ có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các thuộc tính bổ sung của hình bình hành;

Quan sát, so sánh, phân tích, loại suy.

Thời lượng học : 3 tháng: Tháng 1 - Tháng 3 năm 2016

1. Từ lịch sử của hình bình hành

Trong sách giáo khoa hình học, chúng ta đọc định nghĩa sau đây về hình bình hành: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau thành từng cặp.

Từ "hình bình hành" được dịch là "các đường thẳng song song" (từ tiếng Hy Lạp Parallelos - song song và gramme - đường), thuật ngữ này được đưa ra bởi Euclid. Trong cuốn sách "Các yếu tố" của mình, Euclid đã chứng minh các tính chất sau của hình bình hành: các cạnh và góc đối diện của hình bình hành bằng nhau, và một đường chéo chia đôi nó. Euclid không đề cập đến giao điểm của hình bình hành. Chỉ đến cuối thời Trung cổ, một lý thuyết hoàn chỉnh về hình bình hành đã được phát triển và chỉ đến thế kỷ 17, định lý hình bình hành mới xuất hiện trong sách giáo khoa, được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Euclid về các tính chất của hình bình hành.

III Các tính chất bổ sung của hình bình hành

Trong sách giáo khoa hình học chỉ đưa ra 2 tính chất của hình bình hành:

Các góc đối diện và các cạnh bên bằng nhau

Các đường chéo của hình bình hành cắt nhau và giao điểm là đường phân giác

Trong các nguồn khác nhau về hình học, có thể tìm thấy các thuộc tính bổ sung sau:

Tổng các góc kề của một hình bình hành là 180 0

Đường phân giác của một hình bình hành cắt một tam giác cân khỏi nó;

Đường phân giác của các góc đối diện của hình bình hành nằm trên các đường thẳng song song;

Các đường phân giác của các góc kề của một hình bình hành cắt nhau ở các góc vuông;

Các đường phân giác của tất cả các góc của hình bình hành tạo thành hình chữ nhật khi chúng cắt nhau;

Khoảng cách từ các góc đối diện của một hình bình hành đến một và cùng một đường chéo bằng nhau.

Nếu bạn nối các đỉnh đối diện của một hình bình hành với các trung điểm của các cạnh đối diện, bạn sẽ có một hình bình hành khác.

Tổng bình phương các đường chéo của một hình bình hành bằng hai lần tổng bình phương các cạnh kề của nó.

Nếu chúng ta vẽ các đường cao từ hai góc đối diện trong một hình bình hành, chúng ta sẽ có một hình chữ nhật.

IV Chứng minh các tính chất của hình bình hành

Tổng các góc kề của một hình bình hành là 180 0

Được cho:

ABCD là hình bình hành

Chứng tỏ:

A + B =

Bằng chứng:

A và B - góc trong cùng một phía với đường thẳng song song BC AD và đoạn AB, do đó A + B =

2

Được cho: A B C D - hình bình hành,

AK -bisector NHƯNG.

Chứng tỏ: AVK - cân

Bằng chứng:

1) 1=3 (nằm chéo với BC AD và súng AK),

2) 2=3 vì AK là tia phân giác,

nghĩa là 1 = 2.

3) ABK là cân vì 2 góc của tam giác bằng nhau

. Đường phân giác của một hình bình hành cắt một tam giác cân từ nó

3

Được cho: ABCD là hình bình hành

AK là tia phân giác của A,

СР là tia phân giác của C.

Chứng tỏ: AK ║ SR

Bằng chứng:

1) 1 = 2 kể từ khi phân giác AK

2) 4 = 5 vì SR - phân giác

3) 3 = 1 (các góc nằm chéo nhau tại

BC ║ AD và AK-sec),

4) A \ u003d C (theo tính chất của hình bình hành), nghĩa là 2 \ u003d 3 \ u003d 4 \ u003d 5.

4) Từ đoạn 3 và đoạn 4 cho rằng 1 = 4, và các góc này tương ứng với các đoạn thẳng AK và SR và đoạn thẳng BC,

do đó, AK ║ SR (trên cơ sở các đường thẳng song song)

. Đường phân giác của các góc đối diện của một hình bình hành nằm trên các đường thẳng song song

Các đường phân giác của các góc kề của một hình bình hành cắt nhau ở các góc vuông

Được cho: ABCD - hình bình hành,

Phân giác AC A,

DP-phân giác D

Chứng tỏ: DP AK.

Bằng chứng:

1) 1 = 2, bởi vì AK - phân giác

Đặt 1 = 2 = x, thì A = 2x,

2) 3 = 4, bởi vì D P - đường phân giác

Cho 3 = 4 = y thì D = 2y

3) A + D \ u003d 180 0, bởi vì tổng các góc kề của một hình bình hành là 180

2) Xem xét A OD

1 + 3 = 90 0 thì