Tính Diện Tích Hình Ellipse | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Ta bắt đầu từ hình tròn bán kính $r$ có diện tích

$\pi r^2.$

Hình tròn là trường hợp đặc biệt của hình ellipse với hai trục lớn $2a$ và trục bé $2b$ bằng nhau. Do đó ta có thể dự đoán diện tích của ellipse

$\pi ab.$

Chứng minh công thức này nhờ phương trình ellipse

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$

Khi đó ta có công thức tính diện tích của ellipse

$\iint\limits_{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\le 1}dxdy=4\int\limits_0^a\int\limits_0^{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}dxdy=\pi ab.$

Trong trường hợp ellipse được cho bởi phương trình tổng quát

$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 \;\;\;(1)$

với $ac-b^2>0, a>0, \dfrac{ae^2-2bde+cd^2}{ac-b^2}-f > 0,$

thì diện tích của ellipse được tính bởi công thức nào? Phần tiếp theo của bài viết sẽ đưa ra công thức này.

Trước khi tiếp cận trường hợp tổng quát, ta xét trường hợp đơn giản

$ax^2+2bxy+cy^2=1, \;\;\; (2)$

với $ac-b^2>0, a>0.$

Đổi biến $X=x+\dfrac{b}{a}y, Y=y$ ta có

+) miền với biến mới

$\dfrac{X^2}{A^2}+\dfrac{Y^2}{B^2}=1\;\;\;(3)$

với $A=\dfrac{1}{\sqrt{a}}, B=\sqrt{\dfrac{a}{ac-b^2}},$

+) Jacobien của phép đổi biến

$\dfrac{D(X, Y)}{D(x, y)}=det\begin{pmatrix}1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=1.$

Do đó diện tích của ellipse (2)

$area(2)=\iint\limits_{ax^2+2bxy+cy^2\le 1}dxdy=area(3)$

$=\pi AB=\dfrac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}.$

Nếu mở rộng (2) thành

$ax^2+2bxy+cy^2=d, d>0, \;\;\;(4)$

thì diện tích của ellipse (4) là

$area(4)=\dfrac{\pi d}{\sqrt{ac-b^2}}.\;\;\;(5)$

Trở lại trường hợp tổng quát (1), bằng phép dịch chuyển

$x=X+h, y=Y+k$ ta sẽ chuyển (1) thành (2).

Thật vậy, với phép dịch chuyển trên (1) trở thành

$aX^2+2bXY+cY^2+$ $2X(ah+bk+d)+2Y(bh+ck+e)=$ $-[f+h(ah+bk+d)+k(bh+ck+e)+dh+ek].$

Ta chọn $h, k$ thỏa mãn

$ah+bk=-d, bh+ck=-e.$

Khi đó $dh+ek=-\dfrac{ae^2-2bde+cd^2}{ac-b^2}$

nên phương trình mới

$aX^2+2bXY+cY^2=\dfrac{ae^2-2bde+cd^2}{ac-b^2}-f.$

Lưu ý qua phép dịch chuyển diện tích ellipse không đổi, nên từ (4) và (5), diện tích ellipse (1) được cho bởi

$area(1)=\dfrac{\pi(ae^2-2bde+cd^2-f(ac-b^2))}{(ac-b^2)^{3/2}}.$

Giờ ta có thể tích diện tích của phần mặt phẳng

$hz=ax+by+c$

nằm trong nón dương

$hz=R\sqrt{x^2+y^2}$

với $h>0, c>0, R>0, a^2+b^2<R^2.$

Bằng cách tham số

$z=\dfrac{ax+by+c}{h}$

với $ax+by+c\ge R\sqrt{x^2+y^2}$

ta có diện tích của phần mặt phẳng trên cho bởi

$\iint\limits_{E}\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+h^2}}{h}dxdy,$

với $E$ là ellipse

$ax+by+c\ge R\sqrt{x^2+y^2}$

hay

$(R^2-a^2)x^2-2abxy+(R^2-b^2)y^2-2acx-2bcy\le c^2.$

Diện tích của phần mặt phẳng lúc này sẽ được cho bởi

$\dfrac{\pi Rc^2\sqrt{a^2+b^2+h^2}}{h(R^2-a^2-b^2)^{3/2}}.$

Chia sẻ:

Facebook
X

Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Diện Tích Hình Ellipse

Copyright © 2022 | Thiết Kế Truyền Hình Cáp Sông Thu