Tính Lồi Lõm Và Điểm Uốn Của Đồ Thị Hàm Số

TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A/ LÝ THUYẾT

1/ Khái niệm

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm

$f''(x)$ < 0 với mọi x thuộc (a;c): hàm số lồi trên (a;c)

$f''(x)$ > 0 với mọi x thuộc (c;b): hàm số lồi lõm trên (c;b)

$f''(x)$ đổi dấu khi x qua c: hàm số có điểm uốn tại x = c

+ Cung lồi: AC là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc AC, tiếp tuyến đều nằm trên cung AC. Khoảng [a;c] là khoảng lồi.

+ Cung lõm: CB là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc CB, tiếp tuyến đều nằm dưới cung CB. Khoảng [c;b] là khoảng lõm.

+ Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi sang cung lõm hoặc ngược lại

2/ Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn

Định lý: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b)

+ Nếu $f''(x)0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$ thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó

+ Nếu $f''(x)$ đổi dấu khi đi qua ${{x}_{0}}$ thì điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ là điểm uốn của đồ thị hàm số

B/ VÍ DỤ

VD 1: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số $y={{x}^{5}}$ lần lượt là

A.

B.

C.$(0;+\infty );\left( -\infty ;0 \right);(0;0)$

D.$(0;+\infty );\left( -\infty ;0 \right);(1;1)$

HD:

D= R

$y'=5{{x}^{4}};y''=20{{x}^{3}}$ , ta có bảng xét dấu y’’

      

Vậy đồ thị hầm số lồi trên $\left( -\infty ;0 \right)$ , lõm trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$ và điểm (0;0) là điểm uốn

Đáp án A

VD 2: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số $y=-\sin x$trên đoạn $\left[ 0;2\pi  \right]$  lần lượt là

HD:

$y'=-\cos x;y''=\sin x$ , ta có bảng xét dấu y’ trên

   

Vậy hàm số $y=-\sin x$ lõm trên $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$ , lồi trên $\left( \frac{\pi }{2};2\pi  \right)$ và điểm $\left( \frac{\pi }{2};0 \right)$  là điểm uốn của đồ thị

Đáp án B

VD 3: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ lần lượt là

A.$\left( -\infty ;0 \right);(0;+\infty );(0;-1)$

B.$\left( -\infty ;0 \right);(0;+\infty );\varnothing $

C.$\left( -\infty ;1 \right);(1;+\infty );\varnothing $

D.$\left( -\infty ;1 \right);(1;+\infty );(0;-1)$

HD:

$D=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$

$y'=-\frac{2}{{{(x-1)}^{2}}};y''=\frac{4}{{{(x-1)}^{3}}}$ . Ta có bảng xét dấu dấu của y’’:

Đồ thị hàm số lồi trên $\left( -\infty ;1 \right)$ và lõm trên $\left( 1;+\infty  \right)$ và không có điểm uốn

Đáp án C

VD 4: Đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{{{x}^{2}}+x+1}$ có 3 điểm uốn. Tọa độ 3 điểm uốn này là

A.$\left( \frac{1}{2};\frac{1}{3} \right),\left( 1;-2 \right),\left( 2;0 \right)$

B.$\left( -\frac{1}{2};\frac{1}{3} \right),\left( -1;-2 \right),\left( -2;1 \right)$

C.$\left( -\frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right),\left( 1;2 \right),\left( -2;0 \right)$

D.$\left( \frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right),\left( -1;-2 \right),\left( 2;1 \right)$

HD:

$y'=\frac{-2{{x}^{2}}-2x+1}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{2}}}$

$y''=\frac{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{2}}(-4x-2)+(2{{x}^{2}}+2x-1)2({{x}^{2}}+x+1)(2x+1)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{4}}}$ $=\frac{(2x+1)({{x}^{2}}+x+1)(-2{{x}^{2}}-2x-2+4{{x}^{2}}+4x-2)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{4}}}$ $=\frac{(2x+1)(2{{x}^{2}}+2x-4)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{3}}}$

$y''=0\Leftrightarrow (2x+1)(2{{x}^{2}}+2x-4)=0$

Đáp án C

 

C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{2}}+16\operatorname{cosx}-\cos 2x$ . Hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số này là

A.$x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

B.$x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $

C.$x=\frac{\pi }{2}+k\pi $

D.$x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi $

Câu 2: Giá trị của m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+(m+2)x-m+2$ có điểm uốn nằm trên trục hoành là

A.$1;\frac{-1-\sqrt{17}}{4};\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$

B.$-1;\frac{1+\sqrt{17}}{4};\frac{1-\sqrt{17}}{4}$

C.$1;-\frac{3}{4};\frac{5}{4}$

D.$-1;\frac{3}{4};-\frac{5}{4}$

Câu 3: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x+1$ . Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt là

A.-2;6

B.2;-6

C.-2;-6

D.2;6

Câu 4: Đồ thị của hàm số $y=\frac{{{(x+1)}^{3}}}{{{x}^{2}}-x+1}$ có 3 điểm uốn. Tọa độ của các điểm uốn này là

A.$\left( -1;0 \right),\left( 2;9 \right),\left( \frac{1}{2};\frac{9}{2} \right)$

B.$\left( 1;2 \right),\left( 2;-9 \right),\left( \frac{1}{2};-\frac{9}{2} \right)$

C.$\left( 0;1 \right),\left( -2;-9 \right),\left( -\frac{1}{2};-\frac{9}{2} \right)$

D.$\left( -2;1 \right),\left( 1;-2 \right),\left( -\frac{1}{2};\frac{9}{2} \right)$

Câu 5: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+1}$ đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình là

A.x + 4y – 3 = 0

B.x – 4y – 3 = 0

C.x + 4y + 3 = 0

D.x – 4y + 3 = 0

Câu 6: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}$ đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình là

A.2x – 3y + 1 = 0

B.2x – 3y – 1 = 0

C.2x + 3y + 1 =0

D.2x + 3y – 1 =0

Câu 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+(m+2)x+2m+3$ . Để điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên parabol $y=2{{x}^{2}}$ , giá trị thích hợp của m là

A.$m=1;m=-\frac{3}{2}$

B.$m=-1;m=\frac{3}{2}$

C.$m=1;m=-3$

D.$m=3;m=-1$

Câu 8: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}$ . Để đồ thị  của hàm số nhận điểm I(-1;-2) là điểm uốn thì giác trị của a, b lần lượt là

A.1;3

B.-1;-3

C.-3;1

D.3;-1

Câu 9: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x+1$ . Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt là

A.-2;6

B.2;-6

C.-2;-6

D.2;6

Câu 10: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2b{{x}^{2}}+4$ có đồ thị là (C). Để (C) không có điểm uốn, giá trị của b là

A.b > 0

B.b < 0

C.Không tồn tại giá trị của b

D.Tất cả đều sai

 

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	A	B	A	B	A	B	B	B	A

 

 

 

Bài viết gợi ý:

1. Bài Toán Tương Giao

2. Tích Phân

3. Bài Toán Thể Tích Khối Đa Diện

4. Ứng Dụng Tích Phân

5. Nguyên Hàm

6. Tính đơn điệu của hàm số

7. Phương Trình Và Bất Phương Trình Mũ - Logarit