Tính Lồi-Lõm Và Điểm Uốn - Tính Tổng Các Số Hạng Của Một Dăy Số

Tính Lồi Lõm Và Điểm Uốn

Tính Lồi Lõm

Định nghĩa

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).Đồ thị của hàm số f(x) là lõm nếu f ’(x) luôn tăng trên khoảng (a;b) và đồ thị của hàm số f(x) lồi nếu f ‘(x) luôn giảm trên khoảng đó.

Hình 1 mô tả đồ thị lồi và lõm của hàm số f(x) trong khoảng (a;b).Qua đó, ta dễ thấy đồ thị lồi là mặt cong hướng xuống và đồ thị lõm là mặt cong hướng lên.Ngoài ra ta thấy rằng tại mỗi điểm trên đồ thị của f(x) mà đường tiếp tuyến luôn nằm dưới mặt cong thì cho biết đó là đồ thị lõm.Tương tự, tiếp tuyến luôn nằm trên mặt cong thì đó là đồ thị lồi.

Hình 1 – Mô tả đồ thị lõm và lồi.

Người ta dùng đạo hàm cấp hai để tìm các khoảng lồi hay lõm của đồ thị hàm số f(x) và đưa đến định lý.

Định lý 1

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b).

1.Nếu f “(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị của f(x) là lõm trong khoảng đó.

2.Nếu f “(x) < 0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị của f(x) là lồi trong khoảng đó.

Điểm Uốn

Điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) là điểm nằm giữa khoảng lồi và lõm.Xem Hình 2.

Hình 2 - Điểm uốn

Nhận xét: tại các điểm uốn thì có đường tiếp tuyến với đồ thị phải xuyên qua đồ thị.

Định lý 2

Giả sử f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a;b) và c là điểm thuộc khoảng (a;b).

1.Nếu điểm A[c, f(c)] là điểm uốn thì f “(c) = 0 hoặc không xác định tại x = c.(trường hợp ngược lại nếu f “(c) = 0 chưa chắc điểm c là điểm uốn. Thí dụ.)

2.Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua c thì điểm [c, f(c)] gọi là điểm uốn.

Sau đây là một số thí dụ dùng để minh họa lý thuyết vừa nêu trên.

Thí dụ: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.

Miền xác định: D = R. Đạo hàm cấp 1: . Đạo hàm cấp 2: . Giải:. Từ bảng xét dấu y”, ta có kết quả: Đồ thị lõm,, lồi và điểm uốn là (0,0) và (2, -16). (hoặc có điểm uốn tại x = 0 và x = 2).

Bảng xét dấu:

Thí dụ: Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.

Miền xác định: D = R. Đạo hàm cấp 1: . Đạo hàm cấp 2: . Từ bảng xét dấu y”, ta có: đồ thị lõm trong khoảngvà không có điểm uốn (vì dấu của y” không thay đổi tại x = 0).

Bảng xét dấu y”:

Tiếp theo

Trở về Toán Trực Tuyến

Copyright 2005- http://toantructuyen.seriesmathstudy.com. All rights reserved. Contact us. Ghi rõ nguồn "http://toantructuyen.seriesmathstudy.com" khi bạn đăng lại thông tin từ website này.