Toán 10 Bài 2: Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 10 Chương 6: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm43 BT SGK 142 FAQ

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giá trị lượng giác của cung \(\alpha \)

1.1.1. Định nghĩa

1.1.2. Hệ quả

1.1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1.2. Ý nghĩa hình học của tang và cotang

1.3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1.3.1. Công thức lượng giác cơ bản

1.3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 2 chương 6 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về giá trị lượng giác của một cung

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về giá trị lượng giác của một cung

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 6 đại số 10

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giá trị lượng giác của cung \(\alpha \)

1.1.1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_o},{y_o}} \right)\) sao cho cung lượng giác AM có sđ\(AM = \alpha \). Khi đó:

\(\begin{array}{l} \sin \alpha = \overline {OK} = {y_0}\\ \cos \alpha = \overline {OH} = {x_0}\\ \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha \ne 0} \right)\\ \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha \ne 0} \right) \end{array}\)

Định nghĩa: Các giá trị \(\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

2. Nếu \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\) thì các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \] chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{4}\), \(cos\left( { - {{240}^o}} \right)\)

Hướng dẫn:

Để tính giá trị lượng giác của cung lượng giác AM có số đo \(\alpha \) bất kì, ta thực hiện theo các bước:

+ Biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác.

+ Tìm tọa độ điểm M, từ đó áp dụng định nghĩa suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.

Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \) Suy ra \(\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự \( - {240^0} = {120^0} - {360^0}\) Suy ra \(cos\left( { - {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } = - \frac{1}{2}\)

1.1.2. Hệ quả

1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \in R\).

\(\begin{array}{l} \sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\ \cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z \end{array}\)

2) \( - 1 \le \sin \alpha \le 1, - 1 \le \cos \alpha \le 1\)

3) Với mọi \(m \in R\) mà \( - 1 \le m \le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha = m\) và \(\cos \alpha = m\).

4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)\)

5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \ne k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)\)

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

1.1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1.2. Ý nghĩa hình học của tang và côtang

Ý nghĩa hình học của\(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha\)

\(\tan \alpha = \overline {AT} \) Trục t'At được gọi là trục tang.

\(\cot \alpha = \overline {BS} \) Trục s'Bs được gọi là trục côtang.

Chú ý:

\(\begin{array}{l} \tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha \\ \cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}\)

1.3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1.3.1. Công thức lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l} si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\\ 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }},\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\\ 1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }},\alpha \ne k\pi ,k \in Z\\ \tan \alpha .\cot \alpha = 1,\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z \end{array}\)

1.3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau: \(\alpha \) và \( - \alpha \)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:

\(\begin{array}{l} \cos ( - \alpha ) = \,\cos \alpha \\ \sin ( - \alpha ) = \,\, - \sin \alpha \\ \tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \\ \cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array}\)

2) Cung bù nhau: \(\alpha \) và \(\pi - \alpha \)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

\(\begin{array}{l} \sin (\pi - \alpha ) = \,\,\,\,\,\,\sin \alpha \\ \cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha \\ \tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \\ \cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array}\)

3) Hơn kém nhau \(\pi \): \(\pi \) và \(\left( {\alpha + \pi } \right)\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:

\(\begin{array}{l} \sin (\alpha + \pi ) = - \sin \alpha \\ \cos (\alpha + \pi ) = - \cos \alpha \\ \tan (\alpha + \pi ) = \,\,\,\,\,\tan \alpha \\ \cot (\alpha + \pi ) = \,\,\,\,\,\cot \alpha \end{array}\)

4) Cung phụ nhau: \(\alpha \) và \(\alpha - \frac{\pi }{2}\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

\(\begin{array}{l} \sin \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\ \cos \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\ \tan \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\ \cot \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}\)

Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\cos \alpha \)

Hướng dẫn:

Ta có \(si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2} \end{array}\)

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha >0\) \( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}\)

Ví dụ 2: Cho \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \). Tính \(\sin \alpha \)

Hướng dẫn:

Ta có \(si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{36}}\\ \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{5}{6} \end{array}\)

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \) nên \(\sin \alpha < 0\) \( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{5}{6}\)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau

\(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau

Ta có \(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)

\(\begin{array}{l} = \sin x.\sin x - \cos x.( - \cos x)\\ = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \end{array}\)

Ví dụ 4: Tính

\(\begin{array}{l} a)\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right)\\ b)\tan \frac{{31\pi }}{6}\\ c)\sin ( - {1380^0}) \end{array}\)

Hướng dẫn:

- Sử dụng cung đối

- Biến đổi về góc nhỏ (dựa vào chu kỳ của \(\cos \alpha \) là \(\,2\pi \))

- Sử dụng cung bù

\(\begin{array}{l} a)\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{11\pi }}{4} = \cos \left( {2\pi + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\\ = \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} b)\tan \frac{{31\pi }}{6} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\left( {4\pi + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \tan \frac{{7\pi }}{6}\\ = \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} c)\,\,\,\,\sin ( - {1380^0}) = - \sin ({1380^0}) = - \sin ({4.360^0} - {60^0})\\ = - \sin ( - {60^0}) = \,\,\,\,\,\sin {60^0} = \frac{1}{2} \end{array}\)

3. Luyện tập Bài 2 chương 6 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.

3.1 Trắc nghiệm về giá trị lượng giác của một cung

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Biểu thức \({\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x\) không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:

  • A. 6
  • B. 5
  • C. 3
  • D. 4

• Câu 2:

  Giá trị của \(M = {\cos ^2}{15^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{45^0} + {\cos ^2}{105^0} + {\cos ^2}{115^0} + {\cos ^2}{125^0}\) là:

  • A. M=4
  • B. M=7/2
  • C. M=1/2
  • D. \(M = 3 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

• Câu 3:

  Cho \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng:

  • A. \(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\)
  • B. \(\frac{-{\sqrt {21} }}{2}\)
  • C. \(\frac{-{\sqrt {21} }}{5}\)
  • D. \(\frac{{\sqrt {21} }}{3}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về giá trị lượng giác của một cung

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 148 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 148 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 148 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 148 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 148 SGK Đại số 10

Bài tập 6.15 trang 185 SBT Toán 10

Bài tập 6.16 trang 185 SBT Toán 10

Bài tập 6.17 trang 185 SBT Toán 10

Bài tập 6.18 trang 185 SBT Toán 10

Bài tập 6.19 trang 185 SBT Toán 10

Bài tập 6.20 trang 186 SBT Toán 10

Bài tập 6.21 trang 186 SBT Toán 10

Bài tập 6.22 trang 186 SBT Toán 10

Bài tập 6.23 trang 186 SBT Toán 10

Bài tập 6.24 trang 186 SBT Toán 10

Bài tập 6.25 trang 186 SBT Toán 10

Bài tập 6.26 trang 188 SBT Toán 10

Bài tập 6.27 trang 188 SBT Toán 10

Bài tập 6.28 trang 188 SBT Toán 10

Bài tập 6.29 trang 188 SBT Toán 10

Bài tập 14 trang 199 SGK Toán 10 NC

Bài tập 15 trang 200 SGK Toán 10 NC

Bài tập 16 trang 200 SGK Toán 10 NC

Bài tập 17 trang 200 SGK Toán 10 NC

Bài tập 18 trang 200 SGK Toán 10 NC

Bài tập 19 trang 200 SGK Toán 10 NC

Bài tập 20 trang 201 SGK Toán 10 NC

Bài tập 21 trang 201 SGK Toán 10 NC

Bài tập 22 trang 201 SGK Toán 10 NC

Bài tập 23 trang 201 SGK Toán 10 NC

Bài tập 24 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 25 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 26 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 27 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 28 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 30 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 31 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 32 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 33 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 34 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 35 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 36 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 37 trang 207 SGK Toán 10 NC

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 6 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 10 Bài 1: Cung và góc lượng giác Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác Toán 10 Ôn tập chương 6 Cung Góc lương giác và Công thức lượng giác ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

Toán 10

Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 10 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Toán 10 CTST

Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Toán 10

Ngữ văn 10

Ngữ Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 10 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 10 Cánh Diều

Soạn Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 10 Chân Trời Sáng tạo

Soạn Văn 10 Cánh Diều

Văn mẫu 10

Tiếng Anh 10

Giải Tiếng Anh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải Tiếng Anh 10 CTST

Giải Tiếng Anh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CTST

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CD

Giải Sách bài tập Tiếng Anh 10

Vật lý 10

Vật lý 10 Kết Nối Tri Thức

Vật lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Lý 10 CTST

Giải bài tập Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Vật Lý 10

Hoá học 10

Hóa học 10 Kết Nối Tri Thức

Hóa học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Hóa học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Hóa 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Hóa 10 CTST

Giải bài tập Hóa 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Hóa 10

Sinh học 10

Sinh học 10 Kết Nối Tri Thức

Sinh học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Sinh 10 CTST

Giải bài tập Sinh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Sinh học 10

Lịch sử 10

Lịch Sử 10 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 10 Chân Trời Sáng Tạo

Lịch Sử 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lịch Sử 10 KNTT

Giải bài tập Lịch Sử 10 CTST

Giải bài tập Lịch Sử 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Lịch sử 10

Địa lý 10

Địa Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Địa Lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Địa Lý 10 KNTT

Giải bài tập Địa Lý 10 CTST

Giải bài tập Địa Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Địa lý 10

GDKT & PL 10

GDKT & PL 10 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 10 Chân Trời Sáng Tạo

GDKT & PL 10 Cánh Diều

Giải bài tập GDKT & PL 10 KNTT

Giải bài tập GDKT & PL 10 CTST

Giải bài tập GDKT & PL 10 CD

Trắc nghiệm GDKT & PL 10

Công nghệ 10

Công nghệ 10 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 10 Chân Trời Sáng Tạo

Công nghệ 10 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 10 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 10 CTST

Giải bài tập Công nghệ 10 CD

Trắc nghiệm Công nghệ 10

Tin học 10

Tin học 10 Kết Nối Tri Thức

Tin học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Tin học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 10 KNTT

Giải bài tập Tin học 10 CTST

Giải bài tập Tin học 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 10

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 10

Tư liệu lớp 10

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi giữa HK2 lớp 10

Đề thi giữa HK1 lớp 10

Đề thi HK1 lớp 10

Đề thi HK2 lớp 10

Đề cương HK1 lớp 10

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tập hợp

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 1: Mệnh đề

Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1

Soạn bài Chữ người tử tù - Nguyễn Tuân - Ngữ văn 10 KNTT

Soạn bài Thần Trụ Trời - Ngữ văn 10 CTST

Soạn bài Ra-ma buộc tội - Ngữ văn 10 Tập 1 Cánh Diều

Văn mẫu về Cảm xúc mùa thu (Thu hứng)

Văn mẫu về Bình Ngô đại cáo

Văn mẫu về Chữ người tử tù

Văn mẫu về Tây Tiến

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>