Toán 10 Bài 3: Công Thức Lượng Giác - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 10 Chương 6: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm37 BT SGK 206 FAQ

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Công thức lượng giác kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết nhằm giúp các em có thêm tài liệu học tập thật tốt.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1 Công thức cộng

1.2. Công thức nhân đôi

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng

1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 3 chương 6 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về công thức lượng giác

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về công thức lượng giác

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 6 đại số 10

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức cộng

cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)

\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)

Cách ghi nhớ:

Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ). Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

1.2. Công thức nhân đôi

* Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)

Cách ghi nhớ:

Sin gấp đôi = 2 sin cos Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai lần bình cos = cộng 1 trừ hai lần bình sin Tang gấp đôi Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

* Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{l} c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\ {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{2}\\ {\tan ^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}} \end{array}\)

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l} \cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\ \sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\ \sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}} \end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l} \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\ \sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2} \end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cộng cos bằng hai cos cos cos trừ cos bằng trừ hai sin sin Sin cộng sin bằng hai sin cos sin trừ sin bằng hai cos sin.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)

\(\begin{array}{l} = \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4} \end{array}\)

* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)

\(\begin{array}{l} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4} \end{array}\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

\(\begin{array}{l} a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} \end{array}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với tan

\(\begin{array}{l} a)\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} \end{array}\)

Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a = - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)

Hướng dẫn:

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp

+ Áp dụng công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l} {\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {( - \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5} \end{array}\)

Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a = - \frac{4}{5}\)

Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( - \frac{3}{5})( - \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l} \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{( - \frac{4}{5})^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\ \tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7} \end{array}\)

Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức hạ bậc

Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)

\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)

Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = \sqrt {\frac{{{{(2 - \sqrt 2 )}^2}}}{2}} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 - 1\)

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức

\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l} A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 } \right) \end{array}\)

\(\begin{array}{l} B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4} \end{array}\)

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

\(\begin{array}{l} VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} - x)\\ = 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x - \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} - x)\\ = \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{4} - x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP \end{array}\)

3. Luyện tập Bài 3 chương 6 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Công thức lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến công thức lượng giác.

3.1 Trắc nghiệm về công thức lượng giác

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:

  • A. 2
  • B. 1
  • C. 4
  • D. 3

• Câu 2:

  Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:

  • A. 3/10
  • B. 2/9
  • C. 1/4
  • D. 1/6

• Câu 3:

  Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)

  • A. \(\frac{{17\sqrt 5 }}{{27}}\)
  • B. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{9}\)
  • C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)
  • D. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về công thức lượng giác

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 153 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 153 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 154 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 154 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 154 SGK Đại số 10

Bài tập 6 trang 154 SGK Đại số 10

Bài tập 7 trang 155 SGK Đại số 10

Bài tập 8 trang 155 SGK Đại số 10

Bài tập 6.30 trang 189 SBT Toán 10

Bài tập 6.31 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.32 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.33 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.34 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.35 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.36 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.37 trang 190 SBT Toán 10

Bài tập 6.38 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.39 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.40 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.41 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 38 trang 213 SGK Toán 10 NC

Bài tập 39 trang 213 SGK Toán 10 NC

Bài tập 40 trang 213 SGK Toán 10 NC

Bài tập 41 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 42 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 43 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 44 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 45 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 46 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 47 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 48 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 49 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 50 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 51 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 52 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 53 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 54 trang 216 SGK Toán 10 NC

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 6 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 10 Bài 1: Cung và góc lượng giác Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung Toán 10 Ôn tập chương 6 Cung Góc lương giác và Công thức lượng giác ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

Toán 10

Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 10 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Toán 10 CTST

Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Toán 10

Ngữ văn 10

Ngữ Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 10 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 10 Cánh Diều

Soạn Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 10 Chân Trời Sáng tạo

Soạn Văn 10 Cánh Diều

Văn mẫu 10

Tiếng Anh 10

Giải Tiếng Anh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải Tiếng Anh 10 CTST

Giải Tiếng Anh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CTST

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CD

Giải Sách bài tập Tiếng Anh 10

Vật lý 10

Vật lý 10 Kết Nối Tri Thức

Vật lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Lý 10 CTST

Giải bài tập Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Vật Lý 10

Hoá học 10

Hóa học 10 Kết Nối Tri Thức

Hóa học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Hóa học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Hóa 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Hóa 10 CTST

Giải bài tập Hóa 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Hóa 10

Sinh học 10

Sinh học 10 Kết Nối Tri Thức

Sinh học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Sinh 10 CTST

Giải bài tập Sinh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Sinh học 10

Lịch sử 10

Lịch Sử 10 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 10 Chân Trời Sáng Tạo

Lịch Sử 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lịch Sử 10 KNTT

Giải bài tập Lịch Sử 10 CTST

Giải bài tập Lịch Sử 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Lịch sử 10

Địa lý 10

Địa Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Địa Lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Địa Lý 10 KNTT

Giải bài tập Địa Lý 10 CTST

Giải bài tập Địa Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Địa lý 10

GDKT & PL 10

GDKT & PL 10 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 10 Chân Trời Sáng Tạo

GDKT & PL 10 Cánh Diều

Giải bài tập GDKT & PL 10 KNTT

Giải bài tập GDKT & PL 10 CTST

Giải bài tập GDKT & PL 10 CD

Trắc nghiệm GDKT & PL 10

Công nghệ 10

Công nghệ 10 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 10 Chân Trời Sáng Tạo

Công nghệ 10 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 10 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 10 CTST

Giải bài tập Công nghệ 10 CD

Trắc nghiệm Công nghệ 10

Tin học 10

Tin học 10 Kết Nối Tri Thức

Tin học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Tin học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 10 KNTT

Giải bài tập Tin học 10 CTST

Giải bài tập Tin học 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 10

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 10

Tư liệu lớp 10

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi giữa HK1 lớp 10

Đề thi giữa HK2 lớp 10

Đề thi HK1 lớp 10

Đề cương HK1 lớp 10

Đề thi HK2 lớp 10

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tập hợp

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 1: Mệnh đề

Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1

Soạn bài Thần Trụ Trời - Ngữ văn 10 CTST

Soạn bài Ra-ma buộc tội - Ngữ văn 10 Tập 1 Cánh Diều

Soạn bài Chữ người tử tù - Nguyễn Tuân - Ngữ văn 10 KNTT

Văn mẫu về Chữ người tử tù

Văn mẫu về Tây Tiến

Văn mẫu về Cảm xúc mùa thu (Thu hứng)

Văn mẫu về Bình Ngô đại cáo

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>