Toán 12 Bài 1: Sự đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 12 Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm37 BT SGK 456 FAQ

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm thế nào là Hàm số đồng biến, nghịch biến, điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Cùng với những ví dụ minh họa các dạng toán liên quan đến Tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

2.4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

3. Bài tập minh hoạ

3.1. Dạng 1 tìm khoảng đơn điệu của hàm số

3.2. Dạng 2 tìm tham số để hàm số đơn điệu

4. Luyện tập bài 1 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về tính đơn điệu

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

- Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

- Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

- Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

2.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

+ Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).

+ Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

+ Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.

+ Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.

+ Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

2.4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập minh họa

2.1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1:

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=3x^2-6x+3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=4x^3-4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 6{x^2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)

\(\Delta = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + m) = 1 > 0\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)

Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( - \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).

Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)

4. Luyện tập Bài 1 Toán 12

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về tính đơn điệu của hàm số. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,....các em cần tìm hiểu thêm.

4.1 Trắc nghiệm

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)
  • B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
  • C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty;3)\)
  • D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;2)\)

• Câu 2:

  Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
  • B. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;+\infty )\)
  • C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\)
  • D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)

• Câu 3:

  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

  • A. \(- 2 \le m \le 2\)
  • B. \(- 3 \le m \le 3\)
  • C. \(m \ge 3\)
  • D. \(m \le - 3\)

Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 8 SGK Giải tích 12 nâng cao

Bài tập 5 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 7 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 8 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 9 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 10 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 1.1 trang 7 SBT Toán 12

Bài tập 1.2 trang 7 SBT Toán 12

Bài tập 1.3 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.4 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.5 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.6 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.7 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.8 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.9 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.10 trang 8 SBT Toán 12

Bài tập 1.11 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1.12 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1.13 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1.14 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1.15 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1.16 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1 trang 7 SGK Toán 12 NC

Bài tập 2 trang 7 SGK Toán 12 NC

Bài tập 3 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 4 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 5 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 6 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 7 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC

Bài tập 10 trang 9 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp về tính đơn điệu hàm số

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Toán 12

Lý thuyết Toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12

Giải BT sách nâng cao Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12

Giải tích 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Toán 12

Ngữ văn 12

Lý thuyết Ngữ Văn 12

Soạn văn 12

Soạn văn 12 (ngắn gọn)

Văn mẫu 12

Soạn bài Người lái đò sông Đà

Đề thi giữa HK1 môn Ngữ Văn 12

Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12 (Mới)

Trắc nghiệm Tiếng Anh 12

Unit 7 Lớp 12 Economic Reforms

Tiếng Anh 12 mới Review 1

Đề thi giữa HK1 môn Tiếng Anh 12

Vật lý 12

Lý thuyết Vật Lý 12

Giải bài tập SGK Vật Lý 12

Giải BT sách nâng cao Vật Lý 12

Trắc nghiệm Vật Lý 12

Vật lý 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Vật Lý 12

Hoá học 12

Lý thuyết Hóa 12

Giải bài tập SGK Hóa 12

Giải BT sách nâng cao Hóa 12

Trắc nghiệm Hóa 12

Hoá Học 12 Chương 4

Đề thi giữa HK1 môn Hóa 12

Sinh học 12

Lý thuyết Sinh 12

Giải bài tập SGK Sinh 12

Giải BT sách nâng cao Sinh 12

Trắc nghiệm Sinh 12

Ôn tập Sinh 12 Chương 5

Đề thi giữa HK1 môn Sinh 12

Lịch sử 12

Lý thuyết Lịch sử 12

Giải bài tập SGK Lịch sử 12

Trắc nghiệm Lịch sử 12

Lịch Sử 12 Chương 2 Lịch Sử VN

Đề thi giữa HK1 môn Lịch Sử 12

Địa lý 12

Lý thuyết Địa lý 12

Giải bài tập SGK Địa lý 12

Trắc nghiệm Địa lý 12

Địa Lý 12 VĐSD và BVTN

Đề thi giữa HK1 môn Địa lý 12

GDCD 12

Lý thuyết GDCD 12

Giải bài tập SGK GDCD 12

Trắc nghiệm GDCD 12

GDCD 12 Học kì 1

Đề thi giữa HK1 môn GDCD 12

Công nghệ 12

Lý thuyết Công nghệ 12

Giải bài tập SGK Công nghệ 12

Trắc nghiệm Công nghệ 12

Công nghệ 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Công nghệ 12

Tin học 12

Lý thuyết Tin học 12

Giải bài tập SGK Tin học 12

Trắc nghiệm Tin học 12

Tin học 12 Chương 2

Đề thi giữa HK1 môn Tin học 12

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Video: Vợ nhặt của Kim Lân

Video ôn thi THPT QG môn Vật lý

Video ôn thi THPT QG môn Hóa

Video ôn thi THPT QG môn Văn

Video ôn thi THPT QG môn Toán

Video ôn thi THPT QG môn Sinh

Video ôn thi THPT QG Tiếng Anh

Quá trình văn học và phong cách văn học

Sóng- Xuân Quỳnh

Khái quát văn học Việt Nam từ đầu CMT8 1945 đến thế kỉ XX

Người lái đò sông Đà

Đất Nước- Nguyễn Khoa Điềm

Đàn ghi ta của Lor-ca

Ai đã đặt tên cho dòng sông

Tây Tiến

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>