Toán - Tích Phân Luyện Thi Đại Học - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 12 Toán - Tích phân luyện thi Đại học pdf

108 trang

nguyenlan45 Lượt xem

1200

3 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán - Tích phân luyện thi Đại học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 1 TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình. THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 2 TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 1. Đổi biến số dạng 1 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)          . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt     . Ví dụ 7. Tính tích phân 2e e dx I x ln x   . Giải Đặt dx t ln x dt x    .ĐỔI CẬN : 2x e t 1, x e t 2      2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t     . Vậy I ln 2 . Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x)    . Hướng dẫn: 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x        . Đặt t tan x 1  ;ĐS: 3 I 8  . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3    . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3  ĐS: 3I ln 2  . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x   . Hướng dẫn: Đặt 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1)     ; đặt t tan u  ĐS: I 3 2 3    . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 3 Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x   , rồi đặt t 1 x  sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 2 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( ) b a f x dx ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t       . Bước 3. /( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt         . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x   . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2          ĐỔI CẬN : 1 x 0 t 0, x t 2 6       6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t1 sin t        6 6 0 0 dt t 0 6 6         . Vậy I 6  . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx  . Hướng dẫn: Đặt x 2 sin t ĐS: I   . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x   . Giải Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2            x 0 t 0, x 1 t 4       4 42 2 0 0 tan t 1 I dt dt 41 tan t          . Vậy I 4  . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2     . Hướng dẫn: THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 4 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1)         . Đặt x 1 tan t  ; ĐS: I 12  . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x   . ĐS: I 2  . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2     . ĐS: I 12  . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx    . Hướng dẫn: Đặt t cos x ĐS: 2I 15  . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx    . Hướng dẫn: Đặt t sin x ĐS: 8I 15  . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx    . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4      2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4       2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8       3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32          . Vậy I 32  . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1     . Hướng dẫn: Đặt x t tan 2  . ĐS: I ln 2 . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 5 Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 at  : 2 2 2 2 2 1 2sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t ta a a t t t        3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1    . Giải Đặt x t dx dt      .ĐỔI CẬN x 0 t , x t 0         0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1               0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1            2 20 0 dt dt tt t2 4 cossin cos 2 42 2        2 00 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 2 4                             . Vậy I   . Tổng quát: 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2    . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x    . Giải Đặt x t dx dt 2      .ĐỔI CẬN: x 0 t , x t 0 2 2              20070 2007 2007 2 sin t 2I dx sin t cos t 2 2           2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t    (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2     (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4  . Tổng quát: 2 2n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4         . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 6 Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x    và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x    . Giải I 3J 1 3   (1).   6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2sin x 3 cos x sin x 3         Đặt t x dt dx 3      1I J ln 3 4   (2). Từ (1) và (2) 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4      . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x   . Giải Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt    . ĐC: x 0 t 0, x 1 t 4         4 4 2 2 0 0 ln(1 tan t) I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt 1 tan t          . Đặt t u dt du 4      .ĐC: t 0 u , t u 0 4 4        04 0 4 I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du 4                    4 4 0 0 1 tan u 2 ln 1 du ln du 1 tan u 1 tan u                        4 4 0 0 ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I 4         .Vậy I ln 28  . Ví dụ 19. Tính tích phân 4 x 4 cos x I dx 2007 1     . Hướng dẫn: Đặt x t  .ĐS: 2I 2  . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 7 Tổng quát: Với a > 0 , 0  , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn  ;   thì x 0 f(x) dx f(x)dx a 1      . Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f( x) 2f(x) cos x   . Tính tích phân 2 2 I f(x)dx     . Giải Đặt 2 2 J f( x)dx     , x t dx dt     .ĐC: x t , x t2 2 2 2              2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx                 2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2        . Vậy 2I 3 . 3.3. Các kết quả cần nhớ i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a f(x)dx 0   . ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx    . iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 2 2 n n 0 0 (n 1)!! , n !!cos xdx sin xdx (n 1)!! . , n !! 2           nếu n lẻ nếu n chẵn . Trong đĩ n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;      6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10     . Ví dụ 21. 2 11 0 10 !! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693     . Ví dụ 22. 2 10 0 9 !! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512       . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 8 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Cơng thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và cĩ đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta cĩ    / / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx       b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv        b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu         . Cơng thức: b b b a a a udv uv vdu   (1). Cơng thức (1) cịn được viết dưới dạng: b b b/ / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx   (2). 2. Phương pháp giải tốn Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx ta thực hiện Cách 1. Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx  (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân /du u (x)dx khơng quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu phải tính được. Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx   Với P(x) là đa thức thì đặt u P(x) . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx thì đặt u ln x . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx  và sử dụng trực tiếp cơng thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx  . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v e          1 1 11x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1       . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 9 Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx  . Giải Đặt 2 dx duu ln x x dv xdx x v 2         e ee2 2 11 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4      . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx    . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx v e          2 2 x x x2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J            . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx v e           2 2 x x x2 0 0 0 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I            2 2 e 1 I e ( 1 I) I 2          . Chú ý: Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx    . Hướng dẫn: Đặt t x 2 0 I 2 t cos tdt 2         . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx  . ĐS: (sin1 cos1)e 1I 2   . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Phương pháp giải tốn: 1. Dạng 1: THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 10 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx  , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) cĩ BXD: x a 1x 2x b f(x)  0  0  Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx       . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx     . Giải Bảng xét dấu x 3 1 2 2x 3x 2   0  0     1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2         . Vậy 59I 2 . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx     . ĐS: I 2 3 2 6    . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân   b a I f(x) g(x) dx  , ta thực hiện Cách 1. Tách   b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx      rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân   2 1 I x x 1 dx     . Giải Cách 1.   2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx            0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx             THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 11 0 2 1 22 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2                      . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 +  + x – 1 – – 0 +       0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx                120 21 10x x x x 0      . Vậy I 0 . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân   b a I max f(x), g(x) dx  và   b a J min f(x), g(x) dx  , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)  trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) 0 thì  max f(x), g(x) f(x) và  min f(x), g(x) g(x) . + Nếu h(x) 0 thì  max f(x), g(x) g(x) và  min f(x), g(x) f(x) . Ví dụ 12. Tính tích phân   4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx   . Giải Đặt    2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3       . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +       1 3 4 2 2 0 1 3 80 I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx 3          . Vậy 80 I 3  . Ví dụ 13. Tính tích phân   2 x 0 I min 3 , 4 x dx  . Giải Đặt  x xh(x) 3 4 x 3 x 4      . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 +   1 2 21x 2 x 0 10 1 3 x 2 5 I 3 dx 4 x dx 4x ln 3 2 ln 3 2             .Vậy 2 5 I ln 3 2   . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 12 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải tốn 1. Dạng 1 Để chứng minh b a f(x)dx 0 (hoặc b a f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 ) với  x a; b  . Ví dụ 14. Chứng minh 1 3 6 0 1 x dx 0  . Giải Với   1 3 36 6 6 0 x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0         . 2. Dạng 2 Để chứng minh b b a a f(x)dx g(x)dx  ta chứng minh f(x) g(x) với  x a; b  . Ví dụ 15. Chứng minh 2 2 10 11 0 0 dx dx 1 sin x 1 sin x      . Giải Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x 2           10 11 10 11 1 1 1 sin x 1 sin x 0 1 sin x 1 sin x         . Vậy 2 2 10 11 0 0 dx dx 1 sin x 1 sin x      . 3. Dạng 3 Để chứng minh b a A f(x)dx B  ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M  . Bước 2. Lấy tích phân b a A m(b a) f(x)dx M(b a) B      . Ví dụ 16. Chứng minh 1 2 0 2 4 x dx 5   . Giải Với   2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5         . Vậy 1 2 0 2 4 x dx 5   . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 13 Ví dụ 17. Chứng minh 3 4 2 4 dx 4 23 2 sin x      . Giải Với 2 3 2 1 x ; : sin x 1 sin x 1 4 4 2 2            2 2 1 1 1 3 2 sin x 2 1 2 3 2 sin x            3 4 2 4 1 3 dx 3 1 2 4 4 4 43 2 sin x           . Vậy 3 4 2 4 dx 4 23 2 sin x      . Ví dụ 18. Chứng minh 3 4 3 cotx 1 dx 12 x 3     . Giải Xét hàm số cotx f(x) , x ; x 4 3         ta cĩ 2 / 2 x cotx sin xf (x) 0 x ; 4 3x                f f(x) f x ; 3 4 4 3            3 cotx 4 x ; x 4 3              3 4 3 cotx 4 dx 3 4 x 3 4                         . Vậy 3 4 3 cotx 1 dx 12 x 3     . 4. Dạng 4 (tham khảo) Để chứng minh b a A f(x)dx B  (mà dạng 3 khơng làm được) ta thực hiện Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho   b b a a f(x) g(x) x a; b f(x)dx B g(x)dx B         . Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho   b b a a h(x) f(x) x a; b A f(x)dx h(x)dx A         . THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 14 Ví dụ 19. Chứng minh 2 2 2007 0 2 dx 2 41 x    . Giải Với 2007 2 2 1 x 0; : 0 x x 2 2          2 2007 2007 2 1 1 1 1 x 1 x 1 1 2 1 x 1 x            2 2 2 2 2 2 2007 2 0 0 0 dx dx dx 1 x 1 x        . Đặt x sin t dx cos tdt   .ĐC: 2x 0 t 0, x t 2 4       2 2 4 2 0 0 dx cos tdt cos t 41 x       . Vậy 2 2 2007 0 2 dx 2 41 x    . Ví dụ 20. Chứng minh 1 2 0 3 1 xdx 2 1 4 2x 2 1      . Giải Với   2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1        2 x x x 3 1 2 1x 2 1      1 1 1 2 0 0 0 xdx xdx xdx 3 1 2 1x 2 1        . Vậy 1 2 0 3 1 xdx 2 1 4 2x 2 1      . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y f(x), x a, x b   và trục hồnh là b a S f(x) dx  . Phương pháp giải tốn Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a f(x) dx . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e   và Ox. Giải THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 15 Do  ln x 0 x 1; e   nên   e e e 1 1 1 S ln x dx ln xdx x ln x 1 1      . Vậy S 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3      và Ox. Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0     1 3 2 2 0 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx          1 33 3 2 2 0 1 x x 8 2x 3x 2x 3x 3 3 3                       . Vậy 8 S 3  (đvdt). 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x), x a, x b    là b a S f(x) g(x) dx  . Phương pháp giải tốn Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a f(x) g(x) dx . 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x)  là S f(x) g(x) dx     . Trong đĩ ,   là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) g(x)  a b     . Phương pháp giải tốn Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn  ;   . Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx    . Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x    , x 0, x 2  . Giải Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6        h(x) 0 x 1 x 2 x 3       (loại). Bảng xét dấu: THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 16 x 0 1 2 h(x) – 0 + 0     1 2 3 2 3 2 0 1 S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx          1 24 2 4 2 3 3 0 1 x 11x x 11x 5 2x 6x 2x 6x 4 2 4 2 2                       . Vậy 5 S 2  (đvdt). Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x    . Giải Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6        h(x) 0 x 1 x 2 x 3       . Bảng xét dấu x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0     2 3 3 2 3 2 1 2 S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx         2 34 2 4 2 3 3 1 2 x 11x x 11x 1 2x 6x 2x 6x 4 2 4 2 2                      . Vậy 1 S 2  (đvdt). Chú ý:Nếu trong đoạn  ;   phương trình f(x) g(x) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta cĩ thể dùng cơng thức  f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx         . Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x  . Giải Ta cĩ 3x 4x x 2 x 0 x 2            0 2 3 3 2 0 S x 4x dx x 4x dx        0 24 4 2 2 2 0 x x 2x 2x 8 4 4                  . Vậy S 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3   và trục hồnh. Giải Ta cĩ 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0         t 1 x 1 x 1 t 3 x 3 x 3                  3 3 2 2 3 0 S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx              1 3 2 2 0 1 2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx              THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 17 1 33 3 2 2 0 1 x x 16 2 2x 3x 2x 3x 3 3 3                        . Vậy 16 S 3  (đvdt). Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3   và y x 3  . Giải Phương trình hồnh độ giao điểm 2x 4x 3 x 3    2 2 x 3 0 x 0 x 4x 3 x 3 x 5 x 4x 3 x 3                   . Bảng xét dấu x 0 1 3 5 2x 4x 3  + 0 – 0 +       1 3 5 2 2 2 0 1 3 S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx           1 3 53 2 3 2 3 2 0 1 3 x 5x x 3x x 5x 109 6x 3 2 3 2 3 2 6                               . Vậy 109 S 6  (đvdt). Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5    . Giải Phương trình hồnh độ giao điểm 2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0         2 2 t x 0 t x 0 t 1 t 5 x 3 t 3 t 1 t 5                           3 3 2 2 3 0 S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx            Bảng xét dấu X 0 1 3 2x 1 – 0 +     1 3 2 2 0 1 S 2 x x 4 dx x x 6 dx         1 33 2 3 2

Tài liệu đính kèm:

TICH_PHAN_THI_THPTQG.pdf

Đề thi liên quan

Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 28
Lượt xem: 1229 Lượt tải: 0
Đề thi thử lần 2 môn: Toán, khối 12
Lượt xem: 888 Lượt tải: 0
Toán 12 - Phương trình mặt phẳng Oxyz
Lượt xem: 1162 Lượt tải: 0
Đề thi thử THPT quốc gia lần 3 môn thi Toán 10 - Mã đề thi 132
Lượt xem: 1068 Lượt tải: 1
80 câu trắc nghiệm môn Toán ôn kiểm tra chương I
Lượt xem: 1079 Lượt tải: 1
Đề kiểm tra 45p Giải tích 12 lần 1 - Ứng dụng của đạo hàm
Lượt xem: 966 Lượt tải: 0
Hình 12 - Trắc nghiệm chương II
Lượt xem: 932 Lượt tải: 0
Bài tập Tích phân Lớp 12 - Phần 41
Lượt xem: 604 Lượt tải: 0
Bài tập Tích phân Lớp 12 - Phần 30
Lượt xem: 526 Lượt tải: 0
Bài tập Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit
Lượt xem: 1334 Lượt tải: 0