Tóm Tắt Công Thức Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác 11 - 123doc

Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phươn

KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN :

Phương trìng lượng giác cơ bản:

* sinx=sinα  





+

−

=

∈ +

=

π α π

π α

2

; 2

k x

Z k k x

* cosx = cosα 





+

−

=

∈ +

=

π α

π α

2

; 2

k x

Z k k x

* tanx =tanα ⇔ x = α +kπ ; (k∈Z) * cotx =cotα ⇔ x= α +kπ (k∈Z)

 Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :

* sinx =0  x=kπ *cosx =0 ⇔ x=π +kπ

2

* sinx =1 π 2π

2 k

x= +

⇔ *cosx =1⇔ x=k2π với k Z∈

* sinx = -1 π 2π

2 k

x=− +

⇔ *cosx =-1 ⇔ x=π +k2π arcsin + 2

sin + 2

x arc a k

π

=



arc os + 2

sin + 2

x c a k

x arc a k

π π

=



4

4

π

¢

¢

¢

BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o

Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:

( )

180

x  π x rad

= ÷

o

; x rad( ) 180.x

π

o

 Một số phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công

thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

k Z∈

k Z∈

- arc cosa + k2 π

tan x a = ⇔ = x arc tan + a k k π , ∈ ¢

c x = ⇔ a c x c = α ⇔ = x α π k k ∈ ¢

k Z∈

k Z∈

4

2

4

¢

¢

¢

k Z∈

k Z∈

k Z∈

k Z∈

k Z∈

k Z∈

1

=

π ; 90

2

0

= π

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0

(hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng

hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2+ ≥b2 c2

C

ách giải : Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta được: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin

+ + Khi đó phương trình tương đương:

cos sinx sin cosx 2c 2

+ hay sin(x ) 2c 2 sin

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với

2

x= +π kπ

+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý: 12 tan2 1

2 cos x x x k

= +  ≠ + ÷

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx Điều kiện | t |≤ 2

II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1) Công thức cộng:

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

 tan(a - b) =

 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

 tan(a + b) =

 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx

 cos2x = cos 2 x – sin 2 x

= 2cos 2 x - 1

= 1 – 2sin 2 x

1

tanx tan x

−

2 1 2

cot x

cotx

−

3) Công thức nhân 3 :

 sin3x = 3sinx−4sin3 x

 cos3x = 4cos 3 x – 3cosx

3 2

3

1 3

tanx tan x

tan x

−

−

4) Công thức hạ bậc:

os

2

cos x

c x= +

sin

2

c x

x= −

5) Công thức tích thành tổng.

1

2 cos x y+ +cos x y−

 sinxcosy=

[ ( ) ( )]

2

1

y x Sin y x Sin + + −

1

2 cos x y cos x y

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:

 sinx + siny = 2sin

x y x y cos

 sinx – siny = 2 os

x y x y

c  + sin − 

 cosx + cosy = 2cos

x y x y cos

x y x y sin

cos

sin x y xcosy

+

cos

sin x y xcosy

−

sin

sin x y xsiny

+

sin

sin y x xsiny

−

III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

1) Cung đối nhau:

 cos(–x) = cosx

 sin(–x) = – sinx

 tan(–x) = – tanx

 cot(–x) = – cotx

2) Cung bù nhau:

 sin(π −x)=sinx

 cos(π −x)=−cosx

 tan(π −x)=−tanx

3) Cung hơn kém:

 sin(π +x)=−sinx

 cos(π +x)=−cosx

 tan(π +x)= tanx

 cot(π +x)= cotx

2

XUÂN TÂN – 11A 9NĐC

 cot(π −x)=−cotx

4) Cung phụ nhau.

2 (π −x

= cosx  cosx = sin (900 – x )

2 (π −x

= sinx  sinx = cos (900 – x )

2 (π −x

= cotx  cotx = tan (900 – x )

2 (π −x

= tanx  tanx = cotx (900 – x )

5) Cung hơn kém.

 sin( )

2 x cosx

π + =  cosx = sin (900 + x )

2 (π +x

= sinx−  - sinx = cos (900 + x )

2 (π +x

= cotx−  - cotx = tan (900 + x )

2 (π +x

= tanx−  - tanx = cotx (900 + x )

Ghi nhớ : Cos đối – Sin bù – Phụ chéo

 t anx= sinx ,(x k )

π

≠ + π

cotx= ,(x k )

sinx ≠ π

 sin x cos x 12 + 2 =

1 tan x,(x k )

2 cos x

π

1 cot x,(x k ) sin x = + ≠ π

t anx.cotx=1,(x )

2

π

≠

 sin3x c + os3x = (sinx cos )(1 sinx.cos ) + x − x

 sin3x c − os3x = (sinx cos )(1 sinx.cos ) − x + x

sin cos 1 sin 2

2

x + x = − x

sin cos 1 sin 2

4

x + x = − x

1 sin 2 ± x = sin x ± cos x

x+ x= sin x +π = cos x −π 

x− x= sin x −π= − cos x +π 

VI- KIẾN THỨC CƠ BẢN

Tập

π + kπ} D = R \ {kπ}

3

XUÂN TÂN – 11A 9NĐC

giá trị

Tính

Sự biến

thiên

Đồng biến trên:

k2 ; k2

Nghịch biến trên:

3 k2 ; k2

Đồng biến trên:

(−π + πk2 ; k2π) Nghịch biến trên:

(k2 ;π π + πk2 )

Đồng biến trên mỗi khoảng:

k ; k

− + ππ π+ π

Nghịch biến trên mỗi khoảng:(k ;π π + πk )

Bảng

biến

thiên

2

π

2

y = sinx 0

–1

y =cosx

– 1

1

– 1 a

x

2

π

−

2

π

y = tanx

–∞

+∞

y = cotx

+∞

–∞

a

Đồ thị

y = sinx

………

y = cosx

y = tanx

………

y = cotx

4

XUÂN TÂN – 11A 9NĐC