Trong Không Gian Oxyz, đường Thẳng D: (x - 1)/2 = (y - 2)/-1 = (z - 3)/2...

I. Phương trình tham số của đường thẳng

-Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a→⁢ =(a1;a2;a3)làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: {x=x0+a1⁢t⁢⁢y=y0+a2⁢tz=z0+a2⁢t.

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a→⁢ =(a1;a2;a3)làm vectơ chỉ phương là

{x=x0+a1⁢t⁢⁢y=y0+a2⁢tz=z0+a2⁢t

Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

x-x0a1=y-y0a2=z-z0a3.

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là u→⁢(1;2;-1)

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là: {x=  1+ty=2+2tz= 2-t.

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận A⁢B→⁢(2;1;-1) làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là: {x=  2ty=1+tz= 2-t.

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

Gọi a→=(a1;a2;a3);a'→=(a;1'a;2'a)3' lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi {a→=k.a'→M∉d'.

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: {a→=k.a'→M∈d'.

Ví dụ 3. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

d:{x=  3+2ty= 2-3tz=  2+t;d':{x=  1-4ty=  2+6tz=-2t

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→⁢(2;-3;1) đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là v→⁢(-4;  6;-2)

Ta thấy: v→=Â⁢ -2⁢u→;M∉d'.

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

{x0+ta1=x+0't'.a1'y0+ta2=y+0't'.a2'z0+ta3=z+0't'.a3' (I)

Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d:{x=  3+ty= 2-tz=  2+t;d':{x=  3-t'y=  2+t'z=  3

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

{3+t=3-t'2-t=2+t'2+t=3⇔{t= -t't= -t't=1⇔t=1;t'= -1

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi a→;a'→ không cùng phương và hệ phương trình {x0+ta1=x+0't'.a1'y0+ta2=y+0't'.a2'z0+ta3=z+0't'.a3'vô nghiệm.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

d:{x=  3+ty= 2-3tz=  2+t;d':{x=  1-4t'y=  2+6t'z=-2t'

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương a→⁢(1;-3;1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là a'→⁢(-4;  6;-2)

Ta thấy, không tồn tại số thực k để a→⁢ =k⁢a'→ nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

{3+t= 1-4t'(1)2-3t=2+ 6t'(2)2+t=-2t'(3) (I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: {x=x0+a1⁢t⁢⁢y=y0+a2⁢tz=z0+a2⁢t.

Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn )(1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.

Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm

M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x=1+2ty=-tz=-2=tvà mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.

Lời giải:Lấy điểm M(1+ 2t;-t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

⇔ 2 + 4t + t + 2 – t= 0

⇔ 4t + 4 = 0 ⇔t = - 1.

Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).