Tương Giao Giữa Parabol (P) Và đường Thẳng (d)

Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d) Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 Tải về Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêm

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tương giao giữa parabol và đường thẳng

• I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về tương giao giữa parabol và đường thẳng
• II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng
• III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
• Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10
• Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 4: Hàm số bậc nhất - hàm số bậc hai

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Cho đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax^2 (a khác 0)

Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

\(a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0(1)\)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

+ Phương trình (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)

+ Phương trình (1) vô nghiệm thì (d) không cắt (P)

II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): \(y = {x^2}\) và đường thẳng (d): y = x + m

a, Xác định tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi m = 6

b, Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng và parabol

Lời giải:

a, Với m = 6, ta có (d): y = x + 6

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng (d) là:

\({x^2} = x + 6 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\)(1)

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = 1 - 4.\left( { - 6} \right) = 25 > 0\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = 3\) và \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = - 2\)

Với x = 3 ta có y = 9

Với x = -2 ta có y = 4

Vậy với m = 6 thì parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm có tọa độ A(3; 9) và B(-2; 4)

b, Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

\({x^2} = x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - m = 0\)(1) 

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = 1 - 4.\left( { - m} \right) = 1 + 4m\)

Nếu \(\Delta < 0 \Leftrightarrow 1 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 1}}{4}\) thì phương trình (1) vô nghiệm hay parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung

Nếu \(\Delta = 0 \Leftrightarrow 1 + 4m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{4}\) thì phương trình (1) có nghiệm kép hay parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại một điểm

Nếu \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{4}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt

Bài 2: Cho parabol (P):  \(y = {x^2}\)và đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1; 1)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

\({x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - ax - b = 0\)(1)

Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại một điểm thì phương trình (1) có nghiệm kép hay \(\Delta = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 4b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{{ - {a^2}}}{4}\)

Với \(b = \frac{{ - {a^2}}}{4}\) thay vào y = ax + b ta có \(y = ax - \frac{{{a^2}}}{4}\)

Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm A(1; 1) nên đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) có:

\(1 = a - \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2\)

Với a = 2 thì b = -1

Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là: y = 2x - 1

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 2 và parabol (P): \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép tính

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

\({x^2} = - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)(1)

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac = 1 + 8 = 9 > 0\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = 1\) và \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = - 2\)

Với x = 1 thì y = 1

Với x = -2 thì y = -5

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ A(1; 1) và B(-2; -5)

Bài 4: Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\)và đường thẳng (d): \(y = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3\). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

\(\frac{1}{2}{x^2} = \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 2{m^2} - 6 = 0\)(1)

Ta có: \(\Delta'= {b'}^2 - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} + \left( 2{m^2} + 6 \right) = 3{m^2} + 2m + 7\)

Có \(3{m^2} + 2m + 7 = 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{20}}{3} = 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{20}}{3} > 0\forall m\)

hay