ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ...

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

I Ứng dụng của ma trận nghịch đảo

1 Giải bài toán thực tế

VD1: Lớp điện 7 có top 10 bạn điểm kiểm tra cao nhất bao gồm các điểm 8, 9, 10

Biết rằng tổng số điểm của 10 bạn là 87 và tổng số bạn có điểm 9 và 10 bằng tổng

số bạn cso điểm 8 Hỏi có bao nhiêu bạn được điểm 8, bao nhiêu bạn được điểm 9, bao nhiêu bạn được điểm 10 ?

Giải:

Gọi số bạn được 10 điểm là a

Gọi số bạn được 9 điểm là b

Gọi số bạn được 8 điểm là c

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

{

10𝑎 + 9𝑏 + 8𝑐 = 87

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10

𝑎 + 𝑏 = 𝑐

(*)

Từ (*) ta có:

A=[

] ; X=[

𝑎 𝑏 𝑐 ] ; B=[

87 10 0 ]

 (*) trở thành: A.X=B (1)

Det(A)= -2 ≠ 0 => tồn tại 𝐴−1

Ta có:

𝐴∗= [

𝑎11 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33]

𝑎11= (−1)1+1 Det(𝑀11)= |1 1

1 −1| = -2

𝑎12= (−1)1+2 Det(𝑀12)=− |1 1

1 −1| = 2

𝑎13= (−1)1+3 Det(𝑀13)= |1 1

1 1| = 0 Tương tự ta tính được :

𝑎21= 17; 𝑎31= 1

𝑎22= -18; 𝑎32= -2

𝑎23= -1; 𝑎33= 1

 𝐴∗=[

]

Ta có:

𝐴−1 = 1

det (𝐴) 𝐴∗

 𝐴−1 = 1

−2 [

]

 𝐴−1=[

1 −8,5 −0,5

0 0,5 −0,5

]

Nhân 𝐴−1 vào bên trái của cả hai vế phương trình (1) ta được:

 𝐴−1 A X= 𝐴−1 B

 X=𝐴−1 𝐵 =[

1 −8,5 −0,5

0 0,5 −0,5

] [

87 10 0 ] = [

2 3 5 ]

 {

a = 2

b = 3

c = 5

Kết luận: có 2 bạn 10 điểm, 3 bạn 9 điểm, 5 bạn 8 điểm

VD2: 1 nhà nông chăn nuôi tổng 100 con gia súc bao gồm 3 loại : lợn, gà, vịt Biết

rằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số vịt Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con ?

Giải:

Gọi số lợn là x, số gà là y, số vịt là z

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100

4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 220

𝑦 = 2𝑧

(*)

Từ (*) ta có:

A=[

0 1 −2

𝑥 𝑦 𝑧

100 220 0 ]

 (*) trở thành: A.X=B (1)

Det(A)= 6 ≠ 0 => tồn tại 𝐴−1

Ta có:

𝐴∗= [

𝑎11 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33]

𝑎11= (−1)1+1 Det(𝑀11)= |2 2

1 −2| = -6

𝑎12= (−1)1+2 Det(𝑀12)=− |4 2

0 −2| = 8

𝑎13= (−1)1+3 Det(𝑀13)= |4 2

0 1| = 4 Tương tự ta tính được :

𝑎21= 3 ; 𝑎31= 0

𝑎22= -2 ; 𝑎32= 2

𝑎23= -1 ; 𝑎33= -2

 𝐴∗=[

]

Ta có:

𝐴−1 = 1

det (𝐴) 𝐴∗

 𝐴−1 = 1

6 [

]

𝐴−1=

[

−1

1

4 3

−1 3

1 3 2

3

−1 6

−1

3]

Nhân 𝐴−1 vào bên trái của cả hai vế phương trình (1) ta được:

 𝐴−1 A X= 𝐴−1 B

 X=𝐴−1 𝐵=

[

−1 12 0

4 3

−1 3

1 3 2

3

−1 6

−1

3]

[

100 220 0 ]= [

10 60 30 ]

 {

𝑥 = 10

𝑦 = 60

𝑧 = 30

Kết luận: số lợn là 10; số gà là 60; số vịt là 30

2 Áp dụng trong mã hóa thông tin

II Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

1 Giải bài toán tính cường độ dòng điện trong mạch điện một chiều

VD1:Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho E = 20V, r= 1Ω, R1=R2=5Ω, R3=R4=3Ω,

R5=6Ω Bỏ qua điện trở của dây dẫn, tính

cường độ dòng điện chạy qua mỗi điện trở

Giải:

Áp dụng định luật Kirckoff I tại nút A có:

I1 = I3 + I4 (1)

Áp dụng định luật Kirckoff II ta có:

{𝐼 𝐼1𝑅1+ 𝐼1𝑅2+ 𝐼3𝑅3+ 𝐼1𝑟 − 𝐸 = 0

1𝑅1+ 𝐼1𝑅2+ 𝐼4𝑅4+ 𝐼4𝑅5+ 𝐼1𝑟 − 𝐸 = 0 (2)

Từ (1), (2) ta có hệ:

{

𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0

𝐼1(𝑅1+ 𝑅2+ 𝑟) + 𝐼3𝑅3 = 𝐸

𝐼1(𝑅1+ 𝑅2+ 𝑟) + 𝐼4(𝑅4+ 𝑅5) = 𝐸

↔ {

𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0

𝐼1(5 + 5 + 1) + 3𝐼3 = 20

𝐼1(5 + 5 + 1) + 𝐼4(3 + 6) = 20

↔ {

𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0 11𝐼1+ 3𝐼3 = 20 11𝐼1+ 9𝐼4 = 20

(*)

R1

R2

R5

I1

I3

I4

A

Chuyển thành ma trận ta có:

[

]

−11𝑑 1 +𝑑 2 →𝑑 2

−11𝑑1+𝑑3→𝑑3

→ [

0 14 11 20

0 11 20 20

]

−11

14𝑑2+𝑑3→𝑑3

→ [

0 14 11 20

0 0 159

14

30 7 ]

Hệ (*) chuyển thành:

{

𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0

14𝐼3 + 11𝐼4 = 20

159

14 𝐼4 =

30 7

↔

{

𝐼1 =20

53

𝐼3 =60 53

𝐼4 =80 53

Vậy cường độ dòng điện đi qua R1,R2, R3, R4, R5 lần lượt là80

53;80

53; 60

53; 20

53; 20

53

VD2:Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho E1 =E2 =16V, r1 =r2 =1Ω, R1 =3Ω, R2

=6Ω, R3 =4Ω, R4 =5Ω, R5 =6Ω Dây dẫn có

điện trở không đáng kể Tính số chỉ cảu các

Ampe kế A1, A2, A3

E1, r2 R1

R2

R5

R4 A1

A3 A2

A

D

B

C I1

I5

Giải:

Áp dụng định luật Kirekhoff I cho điểm B có:

I1 + I3 = I5 (1)

Áp dụng định luật Kirekhoff II có:

{𝐼1𝑅1+ 𝐼1𝑟1− 𝐸1+ 𝐼1𝑅2− 𝐼3𝑅3− 𝐼3𝑟2+ 𝐸2 = 0

𝐼3𝑟2− 𝐸2+ 𝐼3𝑅3+ 𝐼5𝑅5+ 𝐼5𝑅4 = 0 (2)

Từ (1),(2) có hệ phương trình:

{

𝐼1𝑅1+ 𝐼1𝑟1− 𝐸1+ 𝐼1𝑅2− 𝐼3𝑅3− 𝐼3𝑟2+ 𝐸2 = 0

𝐼3𝑟2− 𝐸2+ 𝐼3𝑅3+ 𝐼5𝑅5+ 𝐼5𝑅4 = 0

𝐼1+ I3 = 𝐼5

2 Giải hệ phương trình nhiều ẩn trong một bài toán

VD1: Cân bằng phương trình hóa học sau:

CO2 + H2O → C6H12O6 + O2

Giải:Đặt phương trình hóa học có dạng như sau:

xCO2 + yH2O → zC6H12O6 + tO2 (*)

Bảo toàn nguyên tố C,H,O ta có

𝐶

𝑂

→ 2x+y=6z+2t ↔ 2x-y-6z-2t=0 (2)

𝐻

→ 2y=12z ↔ y-6z =0 (3)

Từ (1),(2),(3) có hệ phương trình:

{

x − 6x = 0 2x − y − 6z − 2t = 0

y − 6z = 0

(I)

Đưa hệ về ma trận:

𝐴̅ = [

]

−2𝑑 1 +𝑑 2 →𝑑 2

→ [

1 0 −6

0 1 6

0 1 −6

0 0

−2 0

0 0

]−𝑑→ [2+𝑑3→𝑑3

1 0 −6 0 0

0 1 6 −2 0

]

Hệ phương trình (I) chuyển thành:

{

𝑥 − 6𝑧 = 0

𝑦 + 6𝑧 = 0

−12𝑧 + 2𝑡 = 0

(II) (hệ phương trình bậc thang)

Đặt t=α, với 𝛼 ∈ 𝑅

(𝐼𝐼) ↔ {

𝑥 − 6𝑧 = 0

𝑦 + 6𝑧 = 2𝛼

−12 = 2𝛼

↔ {

𝑥 = 𝛼

𝑦 = 𝛼

𝑧 = α 6

Vậy tập nghiệm của pt (α, α

6; 𝛼 ∈ 𝑅)

Thay nghiệm vào vào (*) có phương trình hóa học:

α CO2 + α H2O → 𝛂

𝟔C6H12O6 + α O2

Rút về dạng tối giản nhất thì α=1 Phương trình cân bằng cần tìm là:

CO2 + H2O → 𝟏

𝟔C6H12O6 + O2

của người nghi ngờ vi phạm, nhưng điều này không khả thi khi triển khai thực tế mà ngược lại nó còn có tính chất xâm phạm cơ thể Chính vì thế mà người ta tìm ra phương pháp xác định nồng độ cồn trong máu qua hơi thở, nhờ các thiết bị tân tiến cho kết quả ngay lập tức Cồn xuất hiện trong hơi thở của người uống nó, điều này xảy ra khi uống bia rượu vào miệng xuống dạ dày, ruột và được hấp thụ vào máu Cồn không bị phân hủy khi bị hấp thụ, cũng không thay đổi về mặt hóa học trong máu, khi máu di chuyển qua phổi thì một phần cồn sẽ bị thẩm thấu qua màng túi khí của phổi, bản chất cồn dễ bay hơi nên nó sẽ hòa vào phần không khí của túi khí phổi, chính vì mối liên hệ này mà người ta

có thể suy ra được lượng cồn có trong máu Thay vì phải kiểm tra máu thì cảnh sát sẽ

kiểm tra hơi thở của người nghi ngờ uống quá rượu bia, đưa ra quyết định có giữ phương tiện lại hay không để đảm bảo an toàn Tỉ lệ cồn có trong máu so với hơi thở ở khoảng 2100:1, nghĩa là cứ 2100 ml hơi thở có cồn thì tương đương có 1 ml cồn trong máu Phương trình hóa học để kiểm tra nông độ cồn:

Tuy nhiên phương trình chưa được cân bằng anh/chị hãy cân bằng phương trình trên Giải:

Đặt phương trình có dạng sau:

Bảo toàn nguyên tố C,H,O,Cr ta có:

𝐶

𝐻

𝑂

𝐶𝑟

Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ phương trình:

{

𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑2𝑒 = 0

2𝑎 − 𝑑 = 0

3𝑎 − 𝑒 = 0

𝑏 − 2𝑐 = 𝑜

Ta có:

𝐴̅ = [

1 3 −3

−1 0 0

0 1 −2

0 −1 0

]

−2𝑑 1 +𝑑 2 →𝑑 2

−3𝑑 1 +𝑑 3 →𝑑 3

→ [

1 3 −3

0 −6 6

0 −9 9

0 1 −2

]

6𝑑2+𝑑4→𝑑4

−3

2𝑑2+𝑑3→𝑑3

→

[

1 3 −3

0 −6 6

0 0 −1

3

2 −1 0 1

2

1

3 0 ]

𝑑 3 ↔𝑑 4

→ [

1 3 −3

0 −6 6

0 0 −1

1 2

1

3 0 3

2 1 0 ]

Hệ phương trình (5) trở thành:

{

𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑 − 𝑒 = 0

−6𝑏 + 6𝑐 + 3𝑑 + 2𝑒 = 0

1

3

Đặt e=α, 𝛼 ∈ 𝑅

{

𝑎 + 3𝑏 − 3𝑐 − 2𝑑 = 𝛼

−6𝑏 + 6𝑐 + 3𝑑 = −2𝛼

𝛼 3 3

→

{

3 ,4𝛼

3 ,𝛼

Thay nghiệm vài (*) ta có phương trình hóa học sau:

𝛼

3Cr3 → 2𝛼

Rút về dạng tối giản nhất thì α=3 Phương trình cân bằng cần tìm là: