ỨNG DỤNG Của TÍCH PHÂN Vào VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH ...

Tải bản đầy đủ (.doc) (11 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN vào VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (319 KB, 11 trang )

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆCTÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNGA. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt nhưvậy?Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bébằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làmtrục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m 2. Hỏiông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đếnhàng nghìn)Trang | 1B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONGVÀ TRỤC HOÀNH.GỢI Ý+) HĐ1: Khởi động.HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích hìnhthang cong giới hạn bởi các đường thẳngx=a, x =b, trục hoành và đường cong y =f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục,không âm trên đoạn [a;b].bS = ò f ( x)dxaHĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi cácđường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x= 5.a) Dùng công thức hình học tính diện tích(AD + BC).CD =28hìnhS =phẳng.5o2 = 285I = (x 2 +x)b) Tính tích phân sau1I = ò( 2x + 1)dx1Diện tích không đổi.HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm sốy = 2x + 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thìdiện tích của nó thay đổi như thế nào?+) HĐ2: Hình thành kiến thức.Từ kết quả trên, ta cóDiện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trụchoành và hai đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thứcbS = ∫ f ( x) dxaTrang | 2Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3.Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x,trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π .+) HĐ3: Củng cố.GỢI ÝHĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hìnhphẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f(x), trục hoành và hai đườngthẳng x = a, x = b như hình bên.Khẳng định nào sau đây đúng?bA. S = ∫ f ( x ) sxabB. S = ∫ f ( x ) dxacbaccbacC. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dxD. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dxHĐ3.2. Tính diện tích S của hình40phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y S = ∫ x 3 − 4 x dx = ∫ ( x3 − 4 x ) dx −−2−2= x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x2433= -2 và x = 4.∫ ( x − 4 x ) dx + ∫ ( x − 4 x ) dx = 440HĐ3.3.211Cho ( C ) : y = x3 + mx 2 − 2 x − 2m − . Giá trị m ∈  0; ÷ sao cho hình phẳng33 65giới hạn bởi đồ thị ( C ) , y = 0, x = 0, x = 2 có diện tích bằng 4 là:Trang | 3A. m = − 1 .2B. m = 1 .2C. m = 3 .D. m = − 3 .22HĐ3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = mx cos x ; Ox ; x = 0; x = πbằng 3π . Khi đó giá trị của m là:A. m = −3 .B. m = 3 .C. m = −4 .D. m = ±3 .2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG.GỢI Ý+) HĐ1: Khởi động.HĐ1.1. Diện tích hình phẳng (phần tômàu) ở các hình dưới đây được tính nhưthế nào?y =y = x =f (x) lt u' c/[a;b]f (x) lt u' c/[a;b]a; x = b12Có thể tính S thông qua S và S không?và tính như thế nào?12Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b].Khi đó S = S1 - S2+) HĐ2: Hình thành kiến thức.Từ kết quả trên, ta cóDiện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên[ a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thứcbS = ò f1 ( x) - f2 ( x) dxaTrang | 4Ví dụ 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y =-x2 – 2x, và hai đường thẳng x = -3 , x = -2Ví dụ 2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y= -x2 – 2x+) HĐ3: Củng cố.GỢI ÝHĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạnbởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và haiđường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng địnhnào sau đây đúng?cbA. S = ∫ g ( x ) − f ( x )  dx + ∫ f ( x ) − g ( x )  dxacbB. S = ∫ f ( x ) + g ( x )  dxacbC. S = ∫ f ( x ) − g ( x )  dx + ∫ g ( x ) − f ( x )  dxaccbacD. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dxHĐ3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cácđường thẳng y = e x ; y = e − x ; x = 1e 2 + 2e + 1A.e2e + 2e − 1C.ee 2 − 2e + 1B.e2e − 2e − 1D.eHĐ3.3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạnbởi đồ thị hàm số y = ln x , y = 1Trang | 5HĐ3.4. Tính dieän tích hình troøn x2 + y2= R2C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.Bài toán.GỢI ÝCâu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới − x 2 − 2x + 1 = − ( x − 1) 2 + 2 ≤ 2, ∀xhạnbởicácđường322S=y = − x − 2x + 1, y = m, ( m > 2 ) , x = 0, x = 1 . Tìm m∫0 ( m + x + 2x − 1) dxsao cho S = 483x3A. m = 4B. m = 6=  mx + + x 2 − x ÷ = 3m + 2430C. m = 8D. m = 10Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x =0 , x = π.Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn12bởi đồ thị hs y = x, y = xD. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.Trang | 6Bài toán 1. Cổng trường Đại học Báchkhoa Hà Nội có dạng như một Parabol,chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m.Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín.Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000.Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiềnđể làm cửa sắt như vậy?Gợi ý:Giả sử parabol có phương trìnhy = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 25 Đi qua C  0; ÷, D ( 4; 0 ) nên ta có hệ 2 phương trình:25c = 2c = 22525⇔ b = 0⇒ y = − x2 +b = 0322252516a +a = −=02324S = 2∫ −025 2 25200 2x +dx =m3223Bài toán 2. Ông A có một mảnh vườn elip cóđộ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bébằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải dấtTrang | 7rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đốixứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồnghoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông A cần baonhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Sốtiền được làm tròn đến hàng nghìn)Gợi ý:x 2 y2+= 1 . Từ giảa 2 b2thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = 8; 2b = 10 ⇒ b = 5Giả sử elip có phương trìnhVậyphươngtrìnhcủaeliplà:5y=−64 − x 2 ( E1 )xy8+=1⇒ 64 25 y = 5 64 − x 2 ( E )2822Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởicác đường (E1); (E2); x = −4; x = 4 và diện tíchcủadảivườnlà445564 − x 2 dx = ∫ 64 − x 2 dx820−4S = 2∫Khiđósốtiềnπ3T = 80  +÷.100000 = 7652891,82 ≈ 7.653.0006 4 Trang | 8Bài toán 3. Ông An muốn làm cửa ràosắt có hình dạng và kích thước giốngnhư hình vẽ bên, biết đường cong phíatrên là một Parabol. Giá 1m 2 của rào sắtlà 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trảbao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt nhưvậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)Gợi ý:Diện tích khung cửa bằng tổng diệntích hình chữ nhật và diện tích của phầnparabol phía trên++ Diện tích hình chữ nhật làS1 = AB.BC = 5.1,5 = 7,5 ( m 2 )Gọi đường cong parabol có phương trìnhy = ax 2 + bx + CĐường cong có đỉnh I ( 0; 2 ) suy ra:b = 0, c = 2 ⇒ y = ax 2 + 2Đường cong đi qua điểm:225 5C  ; ÷⇒ a = − ⇒ y = − x 2 + 22525 2 3Phần diện tích tạo bởi parabol và đườngthẳng y = 1,5 là:2,5S2 = −2∫  25 x2−2,5⇒ S = S1 + S2 =5+ 0,5 ÷dx =35555⇒ T = .700000 ≈ 641700066đồngE. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.Trang | 9Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặtvà thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phươngpháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đạisố, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đãchính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo củanhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một sốlượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi cáchàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biếnđổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) vàbiến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa họccơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toáncủa toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho sốphức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phongđặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số ftrên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của mộttổng:(1). Về sau hiệuđược kí hiệu lại là (dochữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số cũngnhư chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phânlà một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệulà.Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=bTrang | 10Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấytổng của chúng lại với nhau. Xétvàsao cho.Vớiđủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đườngthẳngvàlà độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểmvà, cũng donhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyếntại của. Như vậy độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểmvàđược tính bằng, trong đó là góc tạo bởi tiếptuyến tại củavà trục Ox nên. Tóm lạiLấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độdài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳngvàlàTrang | 11

Tài liệu liên quan

• Ung dung cua tich phan tinh dien tich hinh phang
  • 14
  • 12
  • 193
• UNG DUNG CUA TICH PHAN
  • 4
  • 781
  • 2
• Tích Phân & ứng dụng của tích phân
  • 13
  • 775
  • 4
• tiet 59 : ung dung cua tich phan
  • 12
  • 603
  • 3
• Ứng dụng của tích phân
  • 22
  • 653
  • 1
• Tài liệu Ứng dụng của tích phân
  • 17
  • 636
  • 2
• Tài liệu Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác docx
  • 3
  • 1
  • 4
• Ứng dụng của cực trị vào việc giải các bài toán phổ thông
  • 13
  • 666
  • 0
• Chuyên đề ôn Đại học: Tích phân- Ứng dụng của tích phâ pptx
  • 3
  • 378
  • 1
• ứng dụng của tích phân
  • 28
  • 492
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(559.5 KB - 11 trang) - ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN vào VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Tải bản đầy đủ ngay ×