Vận Dụng Tính Chất Của Tứ Diện Vuông để Giải Lớp Các Bài Toán Tính ...

Tải bản đầy đủ (.doc) (24 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (247.37 KB, 24 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMVẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG ĐỂGIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCHTRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11Người thực hiện: Nguyễn Thị AnChức vụ: Giáo viênSKKN thuộc lĩnh vực (môn): ToánMỤCTHANHHÓALỤCNĂM 20171TrangI. MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài32. Mục đích nghiên cứu33. Đối tượng nghiên cứu34. Phương pháp nghiên cứu4II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.42. Thực trạng của vấn đề43. Giải pháp tổ chức thực hiện53.1 Tóm tắt các kiến thức cơ bản53.2 Các ví dụ mở đầu73.3 Các bài toán về tính khoảng cách từ một điểmđến một mặt phẳng93.4 Các bài toán về tính khoảng cách giữa hai đường thẳngchéo nhau3.5 Một số bài tập chọn lọc15194. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt độnggiáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường20III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ1. Kết luận212. Kiến nghị22TÀI LIỆU THAM KHẢO232I. MỞ ĐẦU1. Lí do chọn đề tàiHình học không gian (HHKG) là một nội dung quan trọng trong chươngtrình toán học phổ thông, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành vàphát triển năng lực tư duy cho học sinh. Chính vì vậy HHKG thường có mặttrong các kỳ thi đánh giá năng lực của học sinh và đặc biệt là kỳ thi THPT QuốcGia.HHKG nói chung và các bài toán tính khoảng cách nói riêng là một nộidung khó đối với đa số học sinh nói chung và đặc biệt là các em học sinh trườngTHPT Triệu Sơn 6 nói riêng.Tiếp nối SKKN của năm học 2015 - 2016, trên cơ sở đã đạt được nhữngkết quả nhất định trong những năm học vừa qua với kinh nghiệm từ thực tiễngiảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn chọn và tiếp tục phát huy đề tài"Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bài toán tính khoảngcách trong hình học không gian lớp 11" làm đề tài SKKN của năm học 2016 2017.Điểm mới trong đề tài SKKN lần này là: Đề xuất áp dụng tính chất của tứdiện vuông để tính một lớp các bài toán về khoảng cách, một số kinh nghiệmxác định và dựng tứ diện vuông một cách đơn giản và đặc biệt là một hệ thốngcác ví dụ, các bài tập có chọn lọc. Với mục đích chia sẻ bớt những khó khăn vớicác học trò. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp, sẻ chia của các thầy cô,các bạn đồng nghiệp và độc giả để đề tài áp dụng có hiệu quả trong việc dạy vàhọc về bài toán khoảng cách trong HHKG lớp 11.2. Mục đích nghiên cứuTrong giới hạn của một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin đề xuất áp dụngtính chất của tứ diện vuông để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặtphẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, trình bày một số kinhnghiệm của mình được đúc kết trong quá trình giảng dạy cho học sinh trong việcxác định và dựng tứ diện vuông đảm bảo tính đơn giản trong tư duy thuật giải vàdễ áp dụng trong tính toán.Tôi không có tham vọng giúp học sinh giải được tất cả các bài toán vềtính khoảng cách mà chỉ mong muốn trang bị thêm cho các em một cách nhìn,một phương pháp, một hướng tư duy... từ đó để các em có thể tự tin hơn khi tiếpcận các bài toán về tính khoảng cách. Hy vọng đây là một tài liệu hữu ích chocác em học tập và các thầy cô tham khảo.3. Đối tượng nghiên cứuBài toán tính khoảng cách là một trong những bài toán quan trọng trongchương trình hình học không gian lớp 11. Bản chất của đa số các bài toán tínhkhoảng cách lại là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và3trong đề tài này tôi sẽ nghiên cứu tìm cách tính khoảng cách từ một điểm đếnmột mặt một cách đơn giản và nhẹ nhàng nhất. Đó là cách chuyển các bài toánkhoảng cách về áp dụng tính chất của tứ diện vuông và một số kinh nghiệm, mộtsố cách xác định và dựng tứ diện vuông một cách đơn giản cho từng loại, dạngbài cụ thể.4. Phương pháp nghiên cứuXây dựng cơ sở lý luận, tóm lược các kiến thức cơ bản, xây dựng hệthống bài tập và tổ chức triển khai thực hiện.Kiểm tra, đánh giá và đúc rút các kinh nghiệm thu được từ thực tiễn giảngdạy, báo cáo chuyên môn ở tổ, tranh thủ các ý kiến đóng góp của tổ chuyên mônđược tổ chuyên môn đánh giá cao từ đó bổ sung để có sở lý luận hoàn thiện vàtổ chức triển khai áp dụng.II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM1. Cơ sở lý luậnMục tiêu của giáo dục là phải lấy người học làm trung tâm, khơi dậy đammê, hứng thú và khát vọng của học sinh. Phải đào tạo được những con người laođộng tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp.Phải đổi mới phương pháp giáo dục, khắc phục lối truyền thụ một chiều,rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học.Trong các mục tiêu của bộ môn Toán, mục tiêu phát triển năng lực tư duyđược đặt lên hàng đầu.Để làm được những mục tiêu trên vai trò của người thầy, người cô là vôcùng quan trọng. Ở đó mỗi thầy cô phải không ngừng học hỏi để nâng cao trìnhđộ chuyên môn, thực sự tận tụy và tâm huyết với học trò và không ngừng đổimới phương pháp và tìm tòi các phương pháp mới, cách tiếp cận mới sao chođơn giản, hiệu quả tạo tinh thần phấn khởi và hứng thú ở người học.2. Thực trạng của vấn đềHình học nói chung và HHKG nói riêng đòi hỏi ở người học khả năngtrừu tượng hóa, tư duy lôgic chặt chẽ ... chính vì vậy HHKG là một nội dungkhó đối với các em học sinh lớp 11.HHKG mà đặc biệt là các bài toán về tính khoảng cách là một vấn đề khóđối với học sinh, các bài toán thường đòi hỏi khả năng trừu tượng hóa, khả năngnhạy bén, tư duy chặt chẽ và khả năng tính toán chính xác. Vì vậy các bài toánvề tính khoảng cách và các bài toán liên quan thường có mặt trong các kỳ thi đặcbiệt là kỳ thi THPT Quốc Gia.Là một nội dung khó và mới nên trong chương trình hình học lớp 11 có bachương thì dành hai chương cuối cho nội dung này. Điều đó khẳng định vị trícủa hình học không gian trong chương trình hình học. Tuy nhiên với lượng kiến4thức rất nhiều nên với khoảng thời gian trên nếu giáo viên không biết cách tổnghợp, khái quát bản chất của các dạng toán thì sẽ lan man gây ra hiện tượng " rốikiến thức " cho học sinh.Thực tế đa số học sinh yếu kém và trung bình thường sợ các bài toán hình,đặc biệt là hình học không gian và đặc biệt nữa là các bài toán về tính khoảngcách.Mặt khác không ít các thầy cô khi dạy về HHKG và đặc biệt là các bàitoán về tính khoảng cách còn sử dụng phương pháp truyền thống tức là thuyếttrình, giảng giải... mà ít quan tâm đến việc tìm tòi phương pháp mới ngắn gọn,dễ hiểu và mối quan hệ giữa các bài toán...Trong quá trình giảng dạy, qua các tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên môntôi thấy rất ít các thầy cô vận dụng tính chất của tứ diện vuông vào giải các bàitoán tính khoảng cách.Rất nhiều bài toán về HHKG lớp 11 khi giải bằng phương pháp hình họctổng hợp thì tương đối phức tạp, gây nhiều khó khăn cho học sinh khi phải vẽthêm đường và có nhiều phép toán phức tạp. Tuy nhiên khi vận dụng kết quả củatứ diện vuông thì lời giải của bài toán trở nên ngắn gọn, đẹp, tạo hứng thú chohọc sinh và đặc biệt phù hợp với tinh thần đổi mới thi như hiện nay. Đặc biệt bàitoán tính khoảng cách trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nếu áp dụngkết quả của tứ diện vuông sẽ rất đơn giản và dễ hiểu cho học sinh.3. Giải pháp tổ chức thực hiện3.1 Tóm tắt các kiến thức cơ bảna) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng- Trong không gian cho mặt phẳng (P) và một điểm M, gọi H là hìnhchiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P). Khi đó khoảng cách từ điểm Mđến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn MH [ 1] ..M- Ký hiệu: d(M,(P)) = MHH.Pb) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song- Trong không gian cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) song song vớinhau. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là khoảngcách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) [ 1] .- Ký hiệu: d((d),(P)) = d(M,(P))5(trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng (d))(d)MHPc) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau- Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2). Gọi AB làđoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Khi đó khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau (d1) và (d2) là độ dài đoạn AB.Ký hiệu: d((d1),(d2)) = AB [ 1] .- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có nhiều cáchnhưng các cách được dùng nhiều hơn cả là:+) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung (dùng định nghĩa);+) Gọi mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng (d 2) và song songvới đường thẳng (d1). Khi đó: d((d1),(d2))=d((d1),(P))=d(M,(P)) với M là điểmbất kỳ trên đường thẳng (d1) [ 1] .+) Gọi mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là hai mặt phẳng song song vớinhau lần lượt chứa đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2). Khi đó: d((d1),(d2))=d((P),(Q))=d(M,(Q)) với M là điểm bất kỳ trên mặt phẳng (P) [ 1] .d) Tứ diện vuông: Cho tứ diện OABC có OA, OB và OC đôi một vuông vuônggóc với nhau tại O (tứ diện OABC như trên được gọi là tứ diện vuông đỉnhO). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC), khi đó:a) d(O, (ABC)) = OH (*)b)1111=++(2*) [ 1]OH 2 OA2 OB 2 OC 26e) Tính chất: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B. Nếu I là giao điểm củad ( A, ( P ) ) AIA=đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Khi đó:d ( B, ( P ) ) BI.Hay: d ( A,( P)) =AId ( B,( P))BI.(3*)BIP.3.2 Các ví dụ mở đầuVí dụ 1(Trích đề thi khối A và khối A1 năm 2014).3a,2hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB.Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) [ 2] .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =SCách giải 1 (cách giải thông thường)- Gọi H là trung điểm của AB, suy raSH ⊥ (ABCD). Do đó SH ⊥ HD.- Ta cóSH = SD 2 − ( HA2 + AD 2 ) = a .- Gọi K là hình chiếu vuông góc củaH trên BD và E là hình chiếu vuông góccủa H lên SK.- Ta có BD ⊥ HK và BD ⊥ SH, nênBD ⊥ (SHK).- Suy ra BD ⊥ HE mà HE ⊥ SK, doAđó: HE ⊥ (SBD).BECKHDHS .HKaa 2·=- Ta có HK = HB.sin KBH, suy ra HE ==HS 2 + HK 2 342a[ 2] .- Do đó: d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE =3Cách giải 2 (Áp dụng tính chất của tứ diện vuông)- Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ (ABCD). Do đó SH ⊥ HD, Khiđó: SH = SD 2 − ( HA2 + AD 2 ) = a .- Gọi O là trung điểm của BD, khi đó O là tâm của hình vuông ABCD.Suy ra HB, HO, HS đôi một vuông góc tại H nên tứ diện HSBO là tứ diện vuông7đỉnh H và HB = HO =a.2S- Mà d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD))= 2d- Mặt khác trong tứ diện HSBO vuôngtại H, ta có:11119a=++=⇒d=d 2 HS 2 HB 2 HO 2 a 232a.3COH- KL: d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD))= 2d =BADVí dụ 2(Trích đề thi THPT Quốc Gia năm 2015).Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc vớimặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0.Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC [ 2] .SCách giải 1 (cách giải thông thường)·- Ta có: SCA= (·SC ,( ABCD ) ) = 450Suy ra SA = AC = a 2 .- Kẻ đường thẳng (d) qua B và songsong với AC. Gọi M là hình chiếu vuông góc(d)của A trên (d); H là hình chiếu vuông gócMcủa A trên SM.- Ta có: MB ⊥ SA, MB ⊥ MA nên MB⊥ (SAM) do đó MB ⊥ AH.HABDC- Mặt khác AH ⊥ SM nên AH ⊥ (SMB).- Do AC//BM nên AC//(SBM) do đó: d(AC,SB) = d(AC,(SBM)) = AH- Tam giác SAM vuông tại A, có đường cao AH, nên1115a 10=+=⇒AH=AH 2 AS2 AM 2 2a 25- KL: d(AC,SB) = d(AC,(SBM)) = AH =a 105[ 2]Cách giải 2 (Áp dụng tính chất của tứ diện vuông)·- Ta có: SCA= (·SC ,( ABCD ) ) = 450 . Suy ra SA = AC = a 2 .- Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, khi đó AC//BE nên AC//(SBE).- Khi đó: d(AC,SB) = d(AC,(SBE)) = d(A,(SBE)) = d8S- Do tứ diện ASBE là tứ diện vuôngđỉnh A nên:11115a 10=++=⇒d=d 2 AB 2 AE 2 AS2 2a 25Ea 10- KL: d(AC,SB) =5ABDCNhận xét: Vậy qua hai ví dụ đại diện cho hai dạng bài và mỗi bài hai cách giảikhác nhau như trên ta thấy được10) Đối với các em học sinh có học lực trung bình và yếu thì cách giải 1có một số khó khăn sau:- Dựng thêm nhiều đường phụ và chứng minh đường vuông góc vớimặt để khẳng định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Thao tác nàyrất tốt đối với các em học sinh khá giỏi nhưng đối với đa số học sinh thuộc diệntrung bình và yếu đặc biệt là các em học sinh trường THPT Triệu Sơn 6 nơi tôicông tác thì thao tác trên gây rất nhiều khó khăn.- Tính toán quá nhiều bước, nhiều thao tác và chính từ nhiều thaotác tư duy, học sinh dễ nhầm lẫn, khó tiếp thu…và gặp nhiều khó khăn khi giảicác bài tương tự.- Từ những khó khăn ban đầu đó mà nhiều em đã vấp ngã ngay từnhững thao tác đầu tiên.20) Đối với cách giải 2 có hai bước rõ rệt đó là: Xác định và tạo một tứdiện vuông (thông thường đỉnh của tứ diện vuông là hình chiếu của đỉnh lênmặt đáy hoặc đỉnh góc vuông...) và chuyển khoảng cách cần tính về khoảngcách từ đỉnh của tứ diện vuông tới mặt đối diện.30) Ta có thể áp dụng cách giải 2 cho nhiều bài toán tính khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau. Tư duy mạch lạc, hình vẽ đơn giản, kết quả quen thuộc dễ nhớ và dễvận dụng và đặc biệt hiệu quả với hình thức thi trắc nghiệm đó là những điểmmạnh của cách giải 2 mà ta sẽ áp dụng trong SKKN này.Do khuôn khổ của SKKN nên tôi chỉ lựa chọn hai bài toán khoảng cáchtiêu biểu cho phương pháp trên và trong mỗi bài toán tôi không nêu hai cách giảinhư trên để so sánh mà ở mỗi dạng bài toán tôi xây dựng hệ thống ví dụ từ đơngiản đến phức tạp để học sinh tự khám phá, phát hiện ra phương pháp giải nhằmphát triển năng lực tư duy cho học sinh.3.3 Các bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng- Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toánrất quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, vì nếu các em hiểu và vận9dụng được cũng như làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặtphẳng sẽ là cơ sở để làm tốt các bài toán tính khoảng cách khác.- Các ví dụ minh họa sau đây được xây dựng tăng dần về mức độ và đặctrưng cho các loại hình thường gặp (tuy nhiên để thuận tiện cho quá trình tiếpthu các ví dụ đi tuần tự từ hình chóp đến lăng trụ) với mục đích để các em tựnhận thấy và phát hiện ra đỉnh của tứ diện vuông, từ đó có thể áp dụng kết quảcủa tứ diện vuông vào để tính.Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,3a·= 60 0 , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = . Tính theo aBAD4a) d(O,(SBC));b) d(A,(SBC)).GV: 10) Trong bài toán trên điểm O có gì đặc biệt? Tứ diện OBCS là tứ diệngì, vì sao?2 0) Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) ta cần tínhnhững yếu tố nào?30) Tính các khoảng cách trên bằng cách áp dụng kết quả của tứ diệnvuông.a) - Theo bài ra ta có tam giác ABD làtam giác đều cạnh a nên:OB =BD aa 3= và OC = OA =222- Do tứ diện OSBC vuông tại O,đặt: d(O,(SBC)) = d. Khi đó:1111 = 643a⇒d ==++222228dOB OCOS 9a- KL: d(O,(SBC)) =3a8b) Ta có:d ( A,( SBC )) = 2d (O , SBC ) =3a4GV: Ta thấy điểm O trong ví dụ trên là một điểm rất " đặc biệt" mà các điểmkhác không có được. Điểm O là đỉnh của rất nhiều tứ diện vuông, vì vậy việctính khoảng cách từ điểm O đến các mặt bên không quá khó khăn. Do đó để tínhkhoảng cách từ một điểm tùy ý đến một mặt trong bài toán trên ta thườngchuyển về khoảng cách từ điểm O mà điểm A trong bài toán trên là một ví dụ.10Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,có BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA = a 2 và SA vuông góc với mặt đáy(ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính theo aa) d(A,(SBD))b) d(A,(SCD))c) d(H,(SCD)) [ 3]GV: 10) Trên hình vẽ dưới đây từ điểm nào ta có thể dựng được các tứ diệnvuông một cách đơn giản nhất.20) Giải bài toán trên bằng cách áp dụng kết quả của tứ diện vuông.a) - Xét tứ diện vuông ASBD đỉnh A, ta đặt: d(A,(SBD)) = d. Khi đó:111172a=++=⇒d=d 2 AS2 AB 2 AD 2 4a 27- Suy ra: d ( A,( SBD)) =2a 7.7b)- Gọi M là giao điểm của AB vớiCD. Khi đó tứ diện ASDM là tứ diệnvuông đỉnh A, ta đặt: d(A,(SCD)) = d.Khi đó:11111=++=⇒d =ad 2 AS2 AM 2 AD 2 a 2- Suy ra: d ( A,( SCD)) = ac)- Gọi K là giao điểm của AH vớiSM, mà B là trung điểm của AM. Mặt khác:BH BH .BS BA2 1=== . Suy raBSBS 2BS 2 3H là trọng tâm của tam giác SAM.11d ( H ,( SCD)) HK 11a== ⇒ d ( H ,( SCD)) = d ( A,( SCD)) =d ( A,( SCD)) AK 333a- KL: d( H,(SCD)) =3- Mà:0GV: 1 ) Trong bài toán trên ta thấy điểm A có một vị trí quan trọng trong cácbài toán tính khoảng cách.02 ) Nhiều bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt nào đó tathường đưa về tính khoảng cách từ điểm A đến mặt đó.03 ) Tương tự học sinh tự lấy một điểm và áp dụng tính khoảng cách...04 ) Qua hai ví dụ trên điểm H trong ví dụ 1 và điểm A trong ví dụ 2 đều làhình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt đáy và hai điểm H và A khá "lộ".Trong các ví dụ tiếp theo ta sẽ thấy các điểm "đặc biệt" đó sẽ được "dấu kín "hơn. Để rõ hơn điều đó ta nghiên tiếp ví dụ sau.Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giácSAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy(ABCD). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) theo a, biết SA = a.0GV: 1 ) Đỉnh nào ta có thể dễ xây dựng được các tứ diện vuông?02 ) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau cho ta điều gì?03 ) Giải bài toán bằng phương pháp áp dụng tính chất của tứ diện vuông.S- Gọi H là hình chiếu vuông góc củaS trên cạnh AB. Do mặt phẳng (SAB)Avuông góc với mặt đáy (ABCD) nên SHvới mặt phẳng (ABCD).DKH12BCa3aa 33a- Ta có: HA = , HB = , HS =, HK =2222AB44d ( H ,( SBD ) ) = d ( H ,( SBD )) = dMà d ( A,( SBD)) =HB331111203a++= 2 ⇒d =Mặt khác 2 =222dHS HBHK9a2 542a 5- Suy ra: d ( A,( SBD)) = d ( H ,( SBD)) =.35GV: Qua các ví dụ trên cho phép ta "nghĩ tới" đỉnh của tứ diện vuông "hầunhư" là hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy. Trong các ví dụ trên vị trí hìnhchiếu đã thay đổi từ một đỉnh đến một điểm trên một cạnh và tiếp theo sẽ là mộtđiểm tùy trên mặt đáy. Để rõ hơn ta nghiên cứu tiếp ví dụ sau.Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD, đáy ABCD là hình thoi·cạnh a, góc BAD= 600 và tam giác SAC vuông tại S. Tính theo a khoảng cáchtừ điểm A đến mặt phẳng (SBC) [ 3] .GV: 10) Từ giả thiết SA = SB = SD cho ta điều gì? Hình chiếu của đỉnh S lênmặt đáy (ABCD) nằm ở đâu?20) Dựng tứ diện vuông như thế nào? Áp dụng tính chất của tứ diện vuôngđể tính khoảng cách.S- Do SA = SB = SD nên hình chiếuvuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng(ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếpcủa tam giác ABD. Mà tam giác ABD là tamgiác đều nên H là trọng tâm của tam giácEABD.- Tam giác ABD đều cạnh a nêna 32a 3a 3và AH =, HC =AO =332- Mà tam giác SAC vuông tại S nênAta có: SH = HA.HC =BCOHDa 6313- Từ H dựng đường thẳng song song với BD, cắt BC tại E. Khi đó tứ diện2a2a 3a 6HSCE là tứ diện vuông đỉnh H và HC =, SH =, HE =333- Mà: d(A,(SBC)) =Mặt khác ta có:33d ( H ,( SBC )) = d2211119a 2=++= 2 ⇒d =2222dHCHEHS2a3Do đó: d(A,(SBC)) =a 22GV: 10) Qua ví dụ trên một lần nữa khẳng định vị trí quan trọng của hình chiếuvuông góc của đỉnh lên mặt đáy và vị trí của hình chiếu hầu hết phản ánh độkhó của bài toán chính vì vậy vị trí hình chiếu đã lần lượt từ các vị trí rất quenthuộc đến các vị trí bất kỳ.20) Cũng qua đó ta có được một số kinh nghiệm dựng tứ diện vuông và ápdụng tính chất của tứ diện vuông để đơn giản bài toán tính khoảng cách.30) Tương tự như trên các em có thể tự ra đề và kiểm nghiệm. Chẳng hạn,tính d(D,(SBC)) hay d(O,(SBC))... yêu cầu các em tính khoảng của các điểm cònlại.40) Phát triển bài toán qua các bài toán liên quan đến lăng trụ. Vậy cáchxây dựng tứ diện vuông trong hình lăng trụ sẽ như thế nào? Đỉnh của tứ diệnvuông nằm ở đâu? Chúng ta nghiên cứu qua ví dụ sau.Ví dụ 5 (Khối B năm 2014). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đềucạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểmcủa cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt đáy bằng 60 0. Tính theo akhoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A') [ 2] .GV: 10) Điểm nào sẽ là đỉnh của tứ diện vuông định xây dựng?20) Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để tính d(B,(ACC'A'))- Gọi H là trung điểm của cạnh AB,suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) và ·A ' CH = 600 . Do3ađó: A ' H = CH .tan ·A ' CH = .2- Do tam giác ABC đều cạnh a nênaa 3HA = , HC =.22- Ta có:d(B,(AA'C'C)) = 2d(H,(A'AC)) = 2dA'C'B'ACHB14- Mà trong tứ diện vuông HACA' đỉnh H ta có:11113a 13=++⇒d =2222dHA HCHA '26- Do đó: d(B,(AA'C'C)) = 2d(H,(A'AC)) = 2d =3a 13.13GV: Nâng tầm bài toán khi thay đổi vị trí hình chiếu trên mặt đáy. Ta nghiêncứu tiếp một ví dụ mà vị trí hình chiếu là một điểm nằm trong mặt đáy, khi đó tứdiện vuông sẽ dựng như thế nào?Ví dụ 6 (trích đề thi HSG Tỉnh Bắc Giang 2015).Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều tâmO. Hình chiếu vuông góc của đỉnh C' lên mặt phẳng (ABC) trùng với O. Biếtkhoảng cách từ điểm O đến đường thẳng CC' bằng a, góc giữa hai mặt phẳng(ACC'A') và (BCC'B') bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B' đến mặtphẳng (ACC'A') [ 4] .GV: 10) Áp dụng tính chất của tứ diện vuông vào tính khoảng cách.20) Tứ diện vuông cần xây dựng có đỉnh là điểm nào?- Gọi H là hình chiếuvuông góc của O lên CC'. Khi đóOH = a.- Qua O dựng đường thẳngsong song với AB cắt AC và CBlần lượt tại E và F. Khi đó:B'C'A'HFC( ACC ' A ') , ( BCC ' B ') ) = (·HE , HF ) = 600(·OEBMA·Suy ra: EHF= 1200 , do đó: OE = a 3, OC = 3a mà OH = a nên OC ' =3a2 2- Ta có: d(B',(ACC'A')) = d(B,(ACC'A')) = 3d(O,(A'AC)) = 3d- Trong tứ diện vuông OC'CE đỉnh O ta có:11114a 3=++= 2 ⇒d =2222dOC ' OCOE3a2KL: d(B',(ACC'A')) =3a 32GV: Qua các ví dụ trên ta thấy được sự đơn giản của hình vẽ, tính gọn nhẹtrong biểu thức tính toán khi vận dụng tính chất của tứ diện vuông vào một số15bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bên cạnh đó một sốkinh nghiệm dựng tứ diện vuông là nét nỗi bật trong các lời giải trên.3.4 Các bài toán về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauCác bài toán về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là cácbài toán thường gặp trong các đề thi và "thông thường" ta chuyển khoảng cáchgữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng(trong khuôn khổ của SKKN ta chỉ quan tâm đến lớp bài toán tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng). Chính vì vậy bài toán khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau có thể coi là bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt ởmức độ cao hơn.Để nhẹ nhàng cho quá trình tiếp cận một số ví dụ sau được khai thác từcác ví dụ ở phần trước đó.Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,3a·= 60 0 , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = . Tính theo aBAD4khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.GV: 10) Dựng mặt phẳng chứa cạnh SC vàsong song với cạnh AD. Chuyển bài toán vềkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.20) Áp dụng kết quả tứ diện vuông để tính.- Do AD//BC nên AD//(SBC).- Khi đó: d(AD,SC) = d(AD,(SBC))= d(A,(SBC))= 2d(O,(SBC)) =3a4GV: 10) Đây là một ví dụ nhỏ để chỉ rõ việc chuyển khoảng cách giữa haiđường chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một mặt mà ta sẽ áp dụngcho các bài toán sau. Áp dụng cách làm trên cho các cặp cạnh còn lại, yêu cầuhọc sinh tập ra đề và tính.20) Tương tự vị trí của hình chiếu có vai trò rất quan trọng và mức độ khódễ của một bài toán phụ thuộc khá lớn vào vị trí của hình chiếu. Để hiểu thêmcác em làm ví dụ sau.Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD, đáy ABCD là hình thoi·cạnh a, góc BAD= 600 và tam giác SAC vuông tại S. Tính theo a khoảng cáchgiữa hai đường thẳng AD và SC [ 3] .16GV: Dựng mặt phẳng chứa cạnh SC và song song với cạnh AD. Tương tựchuyển về bài toán quen thuộc và giảiS- Do SA = SB = SD nên hình chiếuvuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng(ABCD) trùng với tâm của tam giác ABD.Mà tam giác ABD là tam giác đều nên H làtrọng tâm của tam giác ABD.- Tam giác ABD đều cạnh a nênBECa 32a 3a 3và AH =, HC =AO =332O- Mà tam giác SAC vuông tại S nên taa 6Hcó: SH = HA.HC =A3D- Do AD//BC nên AD//(SBC), do đó:33a 2d ( H ,( SBC )) = d =222(đã tính ở ví dụ 4 phần khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng)d(AD,SC) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))GV: 10) Qua hai ví dụ trên ta thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hai bài toánkhoảng cách và vị trí của hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đối với hình chóp.20) Vấn đề còn lại là đối với lăng trụ thì điểm "đặc biệt" là điểm nàochúng ta quan tâm đến các ví dụ sauVí dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Tính d(AC,DC')theo a.GV: Nói tới hình lập phương có nhiều điểm thuận lợi, bởi vì ở đó rất dễ để taxác định một tứ diện vuông phù hợp. Vậy tứ diện vuông đó là tứ diện nào?- Do AC//( DA'C') nên d(AC,DC') = d(AC,(DA'C'))= d(A,(DA'C')) = d(D',(DA'C')) = d- Mặt khác trong tứ diện vuông D'A'C'D đỉnh D' ta có:11113a=++=⇒d=d 2 D'D 2 D ' A '2 D ' C '2 a 23- Do đó: d(AC,DC') =a 3317Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáyABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a vàcạnh bên AA'= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC.Tính d(AM,B'C) theo a [ 3] .GV: Do lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng và đáy làtam giác vuông tại B nên đỉnh nào có thể là đỉnhcủa một tứ diện vuông?- Gọi E là trung điểm của cạnh BB' thì B'C//(AME). Do đó:d(AM,B'C) = d(B'C,(AME)) = d(B',(AME))= d(B,(AME)) = d- Vì tứ diện BAME là tứ diện vuông đỉnh Bnên ta có:11117a=++=⇒d=d 2 BA 2 BM 2 BE 2 a 27a 7a 7- Suy ra: d(B,(AME)) =. Vậy: d(AM,B'C) =77GV: 10) Qua các ví dụ trên để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau ta thực hiện theo các bước sau: Dựng một mặt phẳng chứa đường này vàsong song với đường còn lại; chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt;dựng một tứ diện vuông và áp dụng tính chất để tính.20) Các ví dụ sau sẽ phát triển theo hai hướng: Vị trí của đỉnh tứ diệnvuông và cách dựng mặt phẳng chứa đường này song song với đường còn lại.Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. GọiM, N lần lượt là trung điểm của AA' và BB'. Tính d(B'M,CN) theo a [ 5] .GV: Lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giácđều. Do đó cạnh bên vuông góc với mặt đáy, tuy nhiên đáy là tam giác đều nêncác đỉnh của đáy không thể là đỉnh của tứ diện vuông. Vậy đỉnh của tứ diệnvuông là đỉnh nào?18- Gọi O và O' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C' và P là giaođiểm của OO' với CN. Do B'M// (CAN) nên:d(B'M,CN) = d(B'M,(CAN)) = d(B',(CAN)) = d(B,(CAN))= 2d(O,(CAN)) =2d(O,(CAP)) = 2d- Tứ diện OACP là tứ diện vuông tại O nên ta có:111164a 3=++=⇒d=d 2 OA 2 OC 2 OP 2 3a 28a 3- Vậy: d(O,(CAP)) =.8a 3Do đó: d(B'M,CN) =.4Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi K là trung điểmcủa cạnh DD'. Tính d(CK,A'D) [ 6] .GV: 10) Dựng mặt phẳng chứa A'D và song song với KC.20) Xác định tứ diện vuông và áp dụng tính chất để tính.- Gọi M là trung điểm của cạnhBB', ta có A'M//KC nên :d(CK,A'D) = d(CK,(A'MD))= d(K,(A'MD))- Gọi N là giao điểm của AK vớiA'D và P là giao điểm của AB với A'M.d ( K ,( A' MD )) NK 1Khi đó:==d ( A,( A' MD )) NA 219Suy ra: d(CK,A'D) = 1 d ( A,( A' MD )) = 1 d ( A,( A' DP))22- Tứ diện AA'DP là tứ diện vuông đỉnh A nên ta có:111192a=++= 2 ⇒d =2222dAA'ADAP4a3- Suy ra: d(A,(A'DP)) =Vậy: d(CK,A'D) =2a.3a33.5 Một số bài tập chọn lọcBài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BC = a,AB = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh AC, tam giác SBM là tam giác đều vànằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a các khoảng cácha) d(A,(SBC))b) d(C,(SAB))2a 152a 39 7[ ]ĐS: a)b)513Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BiếtAA' = 1, BC = 2, AB = 3 và M là trung điểm của cạnh CC' .Tính khoảng cáchtừ điểm A đến mặt phẳng (A'BM).2 57 7[ ]ĐS:19Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuôngcân ở B và AB = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt phẳng (ABC)trùng với trung điểm H của cạnh AB và diện tích mặt bên ABB'A' bằng 3a2. Tínhtheo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACB').2a[ 8]ĐS:3Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hìnhchiếu vuông góc của đỉnh B lên mặt phẳng (A'B'C'D') là trung điểm H của cạnhA'B'. Tính theo a khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (A'BC), biết đườngthẳng BC' tạo với mặt phẳng (A'B'C'D') một góc 450.a 30 8[ ]ĐS:6Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SACvuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính theo akhoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC.2a 21 8[ ]ĐS:720Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SAvuông góc với đáy và SA = a 2 .a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính d(SM, BN) theo a.b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính d(G,(SBD)) theo a.a 10 8a 22[ ]ĐS: a)b)1511Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB = a. Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) bằng 30 0. Tính theo akhoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C', biết góc giữa hai mặt phẳng(A'BC) và (ABC) bằng 450.a 6 7[ ]ĐS:6Bài 8. Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB= a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' lên mặt phẳng (ABCD) trùngvới giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết góc giữa hai mặt phẳng(ADD'A') và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng B'D' và A'D theo a.a 3 7[ ]ĐS:24. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bảnthân, đồng nghiệp và nhà trườngQua thực tế giảng dạy đối với học sinh lớp 11 và 12 tại trường THPTTriệu Sơn 6, bản thân tôi đã áp dụng trực tiếp đề tài này cho lớp 11C4 đã đạtđược hiệu quả rất khả quan: Các em đã nhận biết được thế nào là tứ diện vuông,nắm được tính chất cơ bản của nó, biết vận dụng được tính chất cơ bản đó vào tưduy để tìm cách giải cho các bài toán khoảng cách đặc biệt là khả năng xác địnhđỉnh của tứ diện vuông và cách dựng tứ diện vuông. Hơn thế qua theo dõi cáctiết học tôi thấy các em tự tin hơn, phấn khởi hơn và hứng thú hơn từ đó các emđã thích các tiết học hình hơn trước. Đó là những kết quả bước đầu rất khả quancủa SKKN.Đặc biệt trong năm học 2016 - 2017 qua các bài kiểm tra mà cụ thể là bàikiểm tra học kỳ 2 vừa rồi đề do tổ ra và tổ chức chấm một cách khách quan thìkết quả môn Toán của lớp 11C4 đã có những kết quả tiến bộ rõ rệt. Đặc biệt cácý tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đa số học sinh của lớp đãlàm được, mặc dù đây là ý phân loại học sinh và số lượng học sinh trong trườnglàm được là không nhiều.Đề tài được báo cáo dạng chuyên đề trong sinh hoạt chuyên môn của tổToán trường THPT Triệu Sơn 6 và được các thầy cô góp ý cũng như đánh giácao. Đề tài được dùng làm tài liệu chuyên môn của tổ và áp dụng vào giảng dạy21giảng dạy cho các em học sinh lớp 11 trong trường cũng như ôn thi THPT QuốcGia cho các em học sinh khối 12 bắt đầu từ năm học 2017 - 2018.So sánh giữa các lớp và giữa các học sinh có áp dụng và không áp dụngđề tài để đánh giá hiệu quả của SKKN. Tôi đã chọn hai lớp 11 là 11C4 là lớpthực nghiệm và lớp 11C3 làm lớp đối chứng cùng giảng dạy về bài toán khoảngcách. Sau thời gian ba buổi dạy bồi dưỡng, tôi tổ chức kiểm tra đánh cả hai lớpvới thời lượng 30 phút với nội dung như sau:Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và SA vuông góc với mặt đáy(ABCD); đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a và AD = 2a. Tính theo a1) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD);2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.Lớp11C311C4Số học sinh làmbài kiểm tra4242Khá giỏiSLTL%614,281740,48Trung bìnhSLTL%2047,631945,24Yếu kémSLTL%1638,09614,28+) Qua bảng kết quả trên ta thấy việc áp dụng đề tài SKKN đã đem lại kếtquả rõ rệt.+) Qua theo dõi tinh thần học tập trên lớp tôi thấy không khí học tập củalớp 11C4 sôi nổi, tích cực hơn, các em phấn khởi và rất hứng thú học. Học sinhdễ tiếp thu và dễ vận dụng từ đó tự tin hơn, qua chấm bài tôi thấy việc trình bàybài của học sinh lớp 11C4 mạch lạc hơn và rõ ràng hơn.Như vậy "Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bàitoán tính khoảng cách trong hình học không gian 11" đã mang lại hiệu quảcao hơn các phương pháp thông thường.III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ1. Kết luậnQua quá trình áp dụng vào thực tế giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 6từ năm học 2016 - 2017, bản thân tôi nhận thấy bước đầu có những kết quả khảquan thể hiện ở hiệu quả giúp học sinh giải quyết được đa số các bài toán về tínhkhoảng cách. Tạo sự tự tin cho các em trong khi học và giải toán.Đề tài được tổ chuyên môn đánh giá cao và định hướng áp dụng giải dạycho học sinh khối 11 và ôn tập lại cho các em học sinh chuẩn bị tham dự kỳ thiTHPT Quốc Gia 2017 và các năm tiếp theo.Trong phạm vi một SKKN nên tôi mới chỉ quan tâm đến lớp các bài toántính khoảng cách và hướng xây dựng các ví dụ mang tính chất gợi mở, phân hóatheo trình tự từ dễ đến khó, từ đơn lẻ đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp tạođiều kiện phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và phù hợp với nhiều đối22tượng học sinh. Tôi thiết nghĩ với cách xây dựng và thực hiện như trên ta có thểmở rộng sang các bài toán khác như bài toán tính góc, bài toán tính thể tích... Đólà các hướng tiếp theo mà tôi sẽ nghiên cứu trong thời gian tới.Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi rútra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Do kinh nghiệmchưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ sung vàhoàn thiện dần trong những năm học tới, rất mong nhận được sự đóng góp ýkiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp dụngnhiều hơn và đạt hiệu quả cao hơn trong giảng dạy.2. Kiến nghịa) Đối với sở GD&ĐT Thanh HóaCần hỗ trợ và tạo điều kiện hơn nữa về cơ sở vật chất, tài liệu nghiên cứuvà thời gian làm việc… để các thầy giáo, cô giáo yên tâm công tác có điều kiệntrau rồi chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao trình độ từ đó góp phần đổi mớiphương pháp nâng cao chất lượng giáo dục.Tổ chức các lớp chuyên đề tập huấn cho giáo viên để tìm tòi và so sánhcác phương pháp mới trong giảng dạy, cách tiếp cận các vấn đề từ đó giáo viêncó thể vân dụng cho phù hợp với đối tượng học sinh.Cần tổng hợp các sáng kiến có chất lượng, tổ chức triển khai các kinhnghiệm hay để các thầy cô học tập và rút kinh nghiệm.b) Đối với các trường phổ thôngTạo điều kiện để các thầy giáo, cô giáo có điều kiện tự học, tự bồi dưỡngđể nâng cao năng lực chuyên môn, kiên trì tích cực đổi mới phương pháp tronggiảng dạy nhằm phát huy tốt năng lực tự học của trò và dạy của thầy.XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNGThanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2017Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết không sao chép nội dungcủa người khácNguyễn Thị An23TÀI LIỆU THAM KHẢO1. Sách giáo khoa Hình học lớp 11 chuẩn và nâng cao của Bộ giáo dục vàđào tạo.2. Đề thi đại học, cao đẳng môn Toán của Bộ giáo dục và đào tạo.3. Đề thi thử đại học của một số trường THPT trên toàn quốc năm tronghai năm 2014 - 2015 và 2015 - 2016.4. Đề thi HSG của tỉnh Bắc Giang năm 2014 - 2015.5. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của một số trường trong tỉnh, ngoàitỉnh năm 2015 – 2016 và năm 2016 - 2017.6. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.7. Bài tập chuyên đề trên trang web: www.vnmath.vn8. Bài tập chuyên đề trên trang web: www.violet.vn24

Tài liệu liên quan

• tính khoảng cách trong hình học không gian (1)
  • 2
  • 2
  • 43
• tính khoảng cách trong hình học không gian (2)
  • 1
  • 1
  • 14
• tính khoảng cách trong hình học không gian (3)
  • 2
  • 1
  • 10
• tính khoảng cách trong hình học không gian (4)
  • 1
  • 734
  • 9
• tính khoảng cách trong hình học không gian (5)
  • 2
  • 872
  • 7
• tính khoảng cách trong hình học không gian (6)
  • 2
  • 702
  • 6
• tính khoảng cách trong hình học không gian (8)
  • 1
  • 846
  • 9
• Kỹ thuật tính khoảng cách trong hình học không gian
  • 14
  • 989
  • 0
• SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM“GIẢI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
  • 8
  • 2
  • 56
• TINH KHOANG CACH TRONG HINH HOC KHONG GIAN lop 11,12 ( Luyen thi dai hoc )
  • 16
  • 427
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(732 KB - 24 trang) - Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 Tải bản đầy đủ ngay ×