Vị Trí Tương đối Của 2 điểm Với đường Thẳng: Cùng Phía, Khác Phía

Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 29-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía.

• Cách giải bài tập Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Ví dụ minh họa bài tập Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Bài tập vận dụng Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía

Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và hai điểm M( xM; yM); N(xN; yN) không nằm trên d. Khi đó:

+ Hai điểm M ; N nằm cùng phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:

( axM + byM + c) .( axN + byN + c) > 0

+ Hai điểm M ; N nằm khác phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:

( axM + byM + c) .( axN + byN + c) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x+ 2y- 10 =0 và hai điểm A( 1; -3) và B( 5;-4) . Chọn mệnh đề đúng :

A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

B. Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

C. Có một điểm nằm trên đường thẳng d.

D. Khoảng cách hai điểm AB là 5.

Lời giải

Đặt f( x; y) = x + 2y - 10.

+ Ta có f(1; -3) = 1 + 2.(-3) - 10 = -15

Và f( 5; -4) = 5 + 2.(-4) - 10 = - 13

⇒ f( 1; -3) . f( 5; -4) > 0

⇒ Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB =

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 1 = 0 và ba điểm A(0; -3); B( -1; -1) và C(-3; 2) .

Tìm mệnh đề sai?

A. Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

B. Có ít nhất một điểm nằm trên đườngthẳng d.

C. Có không ít hơn hai điểm không thuộc đường thẳng d

D. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Lời giải

Đặt f( x; y) = 2x - y + 1.

f(0; -3) = 2.0 - (-3) + 1 = 4

f(-1; -1) = 2.(-1) – (-1) + 1 = 0

f(-3; 2) = 2.(-3) – 2 + 1 = - 7

Suy ra:

Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

Điểm B thuộc đường thẳng d; hai điểm A và C không thuộc đường thẳng d.

⇒ A; B và C đúng ; D sai.

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 B. m > - C. m > 1 D. m = -

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)(6 + 4m - 5) < 0 hay m > -

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 4y - 5 = 0 và hai điểm A( 1; 3) và B ( 2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 . B. m > - C. m > - 1 D. m = -

Lời giải

Đặt f( x; y) = 3x + 4y - 5.

Để hai điểm A và B nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi:

f(A).f( B) > 0 ⇔ ( 3.1 + 4.3 - 5).( 3.2 + 4.m - 5) > 0

⇔ 10.( 1 + 4m) > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > -

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 4x - 7y + m = 0 và hai điểm A( 1; 2) và B(-3; 4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung.

A. 10 ≤ m ≤ 40 B. m > 40 hoặc m < 10 C. 10 < m < 40 D. m < 10

Lời giải

Đoạn thẳng AB và d: 4x - 7y + m = 0 có điểm chung khi và chỉ khi

Điểm A( hoặc điểm B) thuộc đường thẳng d hoặc hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 4.1 - 7.2 + m = 0 ⇔ m = 10.

+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 4.(-3) – 7. 4 + m = 0 ⇔ m = 40.

+ Nếu hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi đó đoạn thẳng AB sẽ cắt đường thẳng d.

⇒ ( 4xA - 7yA + m) .( 4xB - 7yB + m) < 0

⇔ ( m - 10) .( m - 40) < 0 ⇔ 10 < m < 40.

Kết hợp các trường hợp, vậy để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì 10 ≤ m ≤ 40.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: và hai điểm A(1; 2) ; B(-2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m > 13 B. m ≥ 13 C. m < 13 D. m = 13

Lời giải

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát

(d)

⇒ Phương trình (d) : 3( x - 2) + 1.(y - 1) = 0

Hay ( d) : 3x + y - 7 = 0

Khi đó để hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :

(3xA + yA - 7)(3xB + yB - 7) > 0 ⇔ -2(m - 13) > 0 ⇔ m < 13.

Chọn C.

Ví dụ 7 : Cho đường thẳng d : 3x - 2y + 2 = 0 và ba điểm A( 1 ; 2) ; B( 2 ; -1) ; C(-1 ; -1) . Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác BAC ?

A. AB B. BC C. AC D. Không cắt cạnh nào

Lời giải

Đặt f( x ; y) = 3x - 2y + 2.

⇒ f(1 ; 2) = 3.1 - 2.2 + 2 = 1

f(2; -1) = 3.2 - 2.(-1) + 2 = 10

f(-1; -1) = 3.(-1) – 2(-1) + 2 = 1

⇒ f( 1 ; 2).f( 2 ; -1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Tương tự ; hai điểm A và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d: x - 5y + 1 = 0 và ba điểm A( 0; -2), B( 1; -3); C(-4; 2). Hỏi đường thẳng d cắt mấy cạnh của tam giác ABC?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt f(x; y) = x - 5y + 1

Suy ra: f( 0; -2) = 0 - 5.(-2) + 1 = 11

f(1; -3) = 1- 5.(-3) + 1 = 17 và f( -4; 2) = - 4 - 5.2 + 1 = - 13

⇒ f( 0; -2) .f( 1; -3) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

f(0; -2).f( -4; 2) < 0 nên hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

f( 1; -3). f(-4; 2)< 0 nên hai điểm B và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d cắt hai cạnh của tam giác ABC là AC và BC.

Câu 2: Cho đường thẳng d: 3x - 5y + 1 = 0 và hai điểm A( 0; -2); B( 3; 2). Tìm mệnh đề sai.

A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

B. Khoảng cách hai điểm A và B là AB = 5.

C. Đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d.

D. Có ít nhất một điểm thuộc đường thẳng d

Lời giải:

Đáp án: A

+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB = = 5

⇒ B đúng .

+ Đặt f( x; y) = 3x - 5y + 1.

⇒ f( 0; -2) = 3.0 - 5.(-2) + 1 = 11

f( 3; 2) = 3.3 - 5.2 + 1 = 0

Suy ra: điểm B thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại điểm B.

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: và hai điểm A( 1; 2); B( -3; 4) . Tìm m để d cắt đoạn thẳng AB.

A. m < 3 B. m = 3 C. m > 3 D. Không tồn tại m.

Lời giải:

Đáp án: B

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quat

( d) :

⇒ Phương trình đường thẳng ( d):

1(x - m) + 2( y - 1) = 0 hay x + 2y – m - 2 = 0

Đoạn thẳng AB cắt d khi và chỉ khi một trong hai điểm A; B thuộc đường thẳng ( d) hoặc hai điểm này nằm khác phía so với đường thẳng d

⇔ (xA + 2yA - m - 2)(xB + 2yB - m - 2) ≤ 0 ⇔ (3 - m)2 ≤ 0 ⇔ m = 3

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 3);B( - 2; 4) và C(-1; 5) . Đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 cắt cạnh nào của tam giác đã cho?

A. Cạnh AC. B. Cạnh AB. C. Cạnh BC. D. Không cạnh nào.

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt f( x; y) = 2x - 3y + 6.

⇒ f[A(1; 3)] = 2.1 - 3.3 + 6 = - 1 < 0

f[ B(-2; 4)] = 2.(-2) – 3.4 + 6 = - 10 < 0

và f[C(- 1; 5)] = 2.(-1) - 3.5 + 6 = -11 < 0

⇒ f(A). f(B) > 0; f(B). f(C) > 0 và f( A).f( C) > 0

⇒ Ba điểm A; B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

⇒ đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.

Câu 5: Cho đường thẳng d: 4x - y + 9 = 0 và ba điểm A( 1; 0); B( -2; 1) và C(-3; 7). Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác.

A. AB B. AC D. BC D. Cả ba cạnh.

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt f(x; y) = 4x - y + 9

⇒ f( 1; 0) = 4.1 - 0 + 9 = 13

f(-2; 1) = 4.(-2) - 1 + 9 = 0

và f(-3; 7) = 4.(-3) - 7 + 9 = -10

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

Suy ra: cạnh AB cắt đường thẳng d tại B.

Cạnh BC cắt đường thẳng d tại B.

Cạnh AC cắt đường thẳng d vì A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 12 = 0 và hai điểm A( -2; 3); B( 3m; -2). Tìm m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d.

Lời giải:

Đáp án:

Để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB khi và chỉ khi một trong hai điểm A( hoặc B) nằm trên đường thẳng d hoặc hai điểm A; B nằm khác phía so với đường thẳng d.

* Trường hợp 1: Một trong hai điểm A hoặc B thuộc đường thẳng d:

+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 3.(-2) - 4.3 + 12 = 0 ( vô lí)

⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.

+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 3.3m - 4.(-2) + 12 = 0

⇔ 9m + 20 = 0 ⇔ m =

* Trường hợp 2: Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

Đặt f(x; y) = 3x - 4y + 12

⇒ f( -2; 3) = 3.(-2) - 4.3 + 12 = - 6

Và f(3m; - 2) = 3.3m - 4.(-2) + 12 = 9m + 20

Để hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :

-6(9m+ 20) < 0 ⇔ 9m + 20 > 0

⇔ m >

Kết hợp hai trường hợp để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì m ≥

Chú ý: Cách làm nhanh. Cho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và hai điểm A; B. Để đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d ( có điểm chung với d) khi và chỉ khi:

( axA + byA + c) .( axB + byB + c) ≤ 0.

Câu 7: Cho đường thẳng d: 7x - y + 2 = 0 và hai điểm A( 1; -3) và B ( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d?

A. m ≤ B. m < C. m ≥ D. m =

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt f(x; y) = 7x - y + 2

⇒ f(1; -3) = 7.1 - (-3) + 2 = 12

Và f(2m; m + 1) = 7.2m - (m + 1) + 2 = 13m + 1

Để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d khi và chỉ khi:

12(13m + 1) ≤ 0 ⇔ 13m + 1 ≤ 0

⇔ m ≤

Vậy để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d thì m ≤

Câu 8: Cho đường thẳng d: 4x - y + 3 = 0 và ba điểm A( -2; 3); B(m + 1; -m - 2); C( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác?

A. m > - B. m < - C. m > D. m <

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đặt f(x; y) = 4x - y + 3

+ Suy ra: f(-2; 3) = 4.(-2) - 3 + 3 = - 8

f( m+1; - m - 2) = 4(m + 1) - (-m - 2) + 3 = 5m + 9

và f(2m; m + 1) = 4.2m - m - 1 + 3 = 7m + 2

+ Để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC khi và chỉ khi ba điểm A; B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d:

⇔

⇔

Vậy để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC thì m < -

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Lớp 10 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
• Giải sgk Toán 10 - KNTT
• Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
• Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
• Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
• Giải sgk Tin học 10 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
• Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
• Giải Toán 10 - CTST
• Giải sgk Vật lí 10 - CTST
• Giải sgk Hóa học 10 - CTST
• Giải sgk Sinh học 10 - CTST
• Giải sgk Địa lí 10 - CTST
• Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
• Lớp 10 - Cánh diều
• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều