Viết Phương Trình đường Thẳng Dạng Chính Tắc

Trong bài giảng trước thầy đã gửi tới các bạn “Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian” rất chi tiết và đầy đủ. Hôm nay thầy tiếp tục bài giảng trong chuyên đề này với dạng bài tập đầu tiên về viết phương trình đường thẳng, đó là: ” Viết phương trình đường thẳng dạng chính tắc “. Nếu bạn nào chưa rõ lý thuyết thì có thể xem bài giảng đó trong link trên nhé.

Để sử dụng được phương pháp này các bạn cần biết được:

– Một điểm của đường thẳng $d$ – Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Điều này sẽ có được nếu biết hai điểm $A; B$ thuộc đường thẳng cần tìm. Lúc đó $\vec{AB}$ hoặc $\vec{BA}$ chính là véctơ chỉ phương của đường thẳng đó. Nếu như bài toán cho đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d_1$ thì véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d_1$ cũng là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Đó là những gì cần thiết mà chúng ta cần nắm được để làm bài tập dạng này. Sau đây thầy sẽ trình bày với chúng ta hai bài toán trong đề thi đại học những năm trước.

Xem thêm chuyên đề:  Lý thuyết – Các dạng bài tập phương trình mặt phẳng trong không gian

Bài tập 1: Đề thi đại học khối B – năm 2007

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;4;2)$ và $B(-1;2;4)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $OAB$. Viết phương trình đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ tại điểm $G$

Bài giải:

a. Phân tích bài toán:

– Ta cần xác định 1 điểm thuộc đường thẳng $d$ và 1 véctơ chỉ phương của $d$.

– Điểm $G \in d$  => Tọa độ điểm $G$ =?

– Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ => VTCP của $d$ là ?

b. Trình bày lời giải:

Vì điểm $G$ là trọng tâm tam giác $OAB$ nên tọa độ điểm $G$ là:

$G=(\frac{0+1-1}{3};\frac{0+4+2}{3};\frac{0+2+4}{3}) = (0;2;2)$

Ta xác định véctơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(OAB)$ như sau:

$\vec{OA}=(1;4;2)$ và $\vec{OB}=(-1;2;4)$

$\vec{n} = [\vec{OA},\vec{OB}] = \left (\begin{array}{ccc}\left |\begin{array}{cc}4 & 2\\2 & 4 \end{array}\right |;\left |\begin{array}{cc}2 & 1\\4 & -1 \end{array}\right |;\left |\begin{array}{cc}1 & 4\\-1 & 2 \end{array}\right |\end{array}\right ) =(12;-6;6)$

Chọn $\vec{n_1} = \frac{1}{6}\vec{n} =(2;-1;1)$ làm 1 véctơ pháp tuyến khác của $d$

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ nên véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OAB)$ chính là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Như vậy ta có véctơ chỉ phương của $d$ là: $\vec{u}=\vec{n_1} = (2;-1;1)$

Vậy đường thẳng $d$ đi qua điểm $G$ có véctơ chỉ phương là $\vec{u}= (2;-1;1)$ sẽ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-2}{1}$

Bài tập 2: Đề thi ĐH khối D – 2006

Trong không gian với hệ trục tọa $Oxyz$ cho điểm $A(1;2;3)$ và hai đường thẳng:$d_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ và $d_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$.

 Bài giải:

a. Phân tích bài toán:

– Chuyển phương trình đường thẳng $d_2$ từ dạng chính tắc về dạng tham số

– Gọi giao điểm của đường thẳng $d$ và $d_2$ là điểm $B$ => Điểm $B$ có thuộc $d_2$ không ? Xác định tọa độ của điểm $B$ ?

– Tính $\vec{AB}$ =?  $\vec{AB}$ có là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

– Dựa vào $d$ vuông góc với $d_1$ => mối quan hệ giữa véctơ chỉ phương của $d$ và $d_1$ => kết quả ?

b. Trình bày lời giải:

Phương trình đường thẳng $d_2$ ở dạng tham số là:$\left \{\begin{array}{lll}x = 1-t\\y = 1+2t\\z = -1+t \end{array}\right.$  $t\in R$

Gọi giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng $d_2$ là điểm $B$ => $B \in d_2$. Khi đó điểm $B$ sẽ có tọa độ là: $B(1-t;1+2t;-1+t)$

Ta có: $\vec{AB} = (-t;2t-1;t-4)$. Vì hai điểm $A$ và $B$ đều thuộc đường thẳng $d$ nên $\vec{AB}$ sẽ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AB$

Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là: $\vec{u}=(2;-1;1)$

Vì $d \bot d_1$ nên ta có:$\vec{AB}.\vec{u} = 0 \Leftrightarrow -2t-2t+1+t-4=0 \Leftrightarrow t=-1$

Với $t=-1$ ta có $\vec{AB} =(1;-3;-5)$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ và nhận $\vec{AB}(1;-3;5)$ làm véctơ chỉ phương sẽ có phương trình là:$\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{-5}$

Với bài tập 2 này các bạn có thể xem thêm 1 cách giải khác, đó là: Viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát

Đó là hai bài toán nằm trong đề thi đại học các năm 2006 và 2007. Ta có thể sử dụng phương trình dạng chính tắc để làm hai bài toán này. Chúng ta vẫn có thể viết kết quả dưới dạng phương trình tham số, tuy nhiên vì bài này thầy muốn giới thiệu tới cách viết phương trình dạng chính tắc nên thầy đã trình bày theo hương như vậy.

Đây là một cách để các bạn có thể tham khảo. Chúc các bạn học tập tốt.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ