Viết Phương Trình đường Thẳng Song Song Với đường Thẳng Và Cắt 2 ...
Có thể bạn quan tâm
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
Với Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải
Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d1
- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d2
- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Cách 2:
M = d ∩ d1; N = d ∩ d2
Vì d // d’ nên và cùng phương hay
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1, d2 và song song với d3 lần lượt là
- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d3
Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là
=>
Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là
Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0
- Mặt phẳng (Q) chứa d2 và song song với d3
Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là
=>
Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là
Một điểm thuộc d2 là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)
Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0
- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên
Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z = t, ta có:
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn A.
Ví dụ: 2
Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương là :
Trục Ox có vecto chi phương
- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là
=>
Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0
- Mặt phẳng (Q) chứa d2 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là
=>
Một điểm thuộc d2 là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)
Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0
- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên
Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy phương trình tham số của d là:
Cách 2:
M = d ∩ d1 => M (t; 2t; 1+ 3t)
N = d ∩ d2 => N (2-t’; -1+3t’; -1+2t’)
Ox có 1 vectơ chỉ phương là cùng phương với
=>
=>
d//Ox nên
Vậy phương trình của d là:
Chọn C.
Ví dụ: 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:
A .
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)
Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)
Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto cùng phương
=> có một số k thỏa mãn
=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn D.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2; song song với đường thẳng MN.
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A( a; 3- 2a; 1- a)
+ Điểm B thuộc d2 nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .
=> Vecto là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d
+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:
⇔
=> Tọa độ của
Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn B
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và trục Ox; song song trục Oz?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Trục Ox: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> phương trình trục Ox: .
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Ox lần lượt là A và B.
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A( 1+ a; - 3+ 3a; - 2a)
+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B( b; 0; 0) .
=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d
+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .
Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:
⇔
=> tọa độ A( 2;0; - 2) và B( 2; 0; 0 )
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 2; 0; -2) và có vecto chỉ phương là :
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A( 1; 0; -2) và B( -1; 2; 4). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d1
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M( 0; 1;1) .
+ Đường thẳng AB đi qua A (1; 0; -2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng AB:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K
+ Do H thuộc d1 nên H ( - a; - 1+ 2a; 3+ a)
+ Do K thuộc AB nên K( 1- b; b; - 2+ 3b)
Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:
=> Tọa độ
Chọn C.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(-1; 2; 1); B( 1; 0; 1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với trục Oy. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?
A. ( -1; 2; 0)
B. (0; -2; - 3)
C. (2; 3; 1)
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: Đi qua A( -1; 2; 1) và hận vecto làm vecto chỉ phương
=> PHương trình đường thẳng AB:
+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .
+ Do M thuộc d1 nên M( - 2; 1+ m; 2)
+ Do N thuộc AB nên N( -1+ n; 2- n; 1)
=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là
=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:
=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.
Chọn D
Ví dụ: 8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng , . Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi
Do
cùng phương
⇔
Đường thẳng Δ đi qua N( 0; -1; 1) và có vectơ chỉ phương
⇒Δ:
Chọn C.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y- 2z + 3= 0 . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P) và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Điểm A thuộc d1 nên A( 1+ 2a; - 1+ a;a)
Điểm B thuộc d2 nên B( 1+ b; 2+ 2b; b)
=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
Vì Δ// mp (P) nên
=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3+ 2b- a) – 2( b- a) = 0 ⇔ b- 2a + 3 + 2b – a – 2b + 2a= 0 ⇔ b – a+ 3= 0 ⇔ b= a- 3
Khi đó nên
Theo đề bài:
⇔ 2a2+ 27 = 29 ⇔ a2= 1
⇔
Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết . Tìm tọa độ giao điểm của d và d2?
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A( 2a; -2+ a; -1)
+ Do B thuộc d2 nên tọa độ B( b; 0; b)
=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ đường thẳng d3 có vecto chỉ phương . Mà d// d3 nên đường thẳng d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:
⇔
=> Tọa độ giao điểm của d và d2 là:
Chọn A.
Câu 2:
Cho 2 đường thẳng . Đường thẳng d cắt d1 và Oz; song song với d2. Tìm tọa độ giao điềm của d và trục Oz
A. N(0;0;-3)
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi M = d ∩ d1 => M ( - 2- m; 2m; - 2m)
Gọi N = d ∩ Oz => N ( 0; 0; n)
Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là .
Lại có đường thẳng d// d2 nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương
=> Vecto u→ cùng phương với
=>
=> là giao điểm của d và Oz
Chọn B.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:
A .
B.
C.
D.
Lời giải:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d1 nên tọa độ A ( -2a; 1+3a; 1+ 2a)
Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( - 2b; 1+ b; - 1+ b)
Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương
=> hai vecto cùng phương nên có một số k thực thỏa mãn
=> Tọa độ A( - 2; 4; 3) và B( - 6; 4; 2)
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 2; 4; 3) và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn D.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M(2; 1; -2) và N( 3; 2; 1) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2; song song với đường thẳng MN.
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A( 1; 2a; 1-a)
+ Điểm B thuộc d2 nên B( - b; 2; -2+ b) .
=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d
+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:
=> Tọa độ của
Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 và trục Oy; song song trục Oz?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Trục Oy: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> phương trình trục Oy: .
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Oy lần lượt là A và B.
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A( 1+ a; -a; -2)
+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B(0; b; 0) .
=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d
+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .
Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:
=> tọa độ A(0; 1; - 2) và B( 0; 1; 0 )
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B( 0; 1; 0) và có vecto chỉ phương là :
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A(-2; 1; -3) và B( - 2; 1; -1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và AB
A.(-2;1;0)
B. ( -2; 1; 2)
C. (-2; 1; -4)
D. Tất cả sai
Lời giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(-2; 1; -2) .
+ Đường thẳng AB đi qua A (-2; 1; -3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng AB:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K
+ Do H thuộc d1 nên H ( 1+ a; 2a; -1+ a )
+ Do K thuộc AB nên K( - 2; 1; - 3+ b)
Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:
=> Tọa độ K( - 2; 1; - 4)
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(0; 1; 2); B(2; 2; 2). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với trục Oz.
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
+ Đường thẳng AB: Đi qua A(0;1;2) và hận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng AB:
+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .
+ Do M thuộc d1 nên M( 1+ m; 1- m; - 1)
+ Do N thuộc AB nên N( 2n; 1+ n; 2)
=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là
=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 sao cho:
=>
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N( 2/3; 4/3;2) và có vecto chỉ phương .
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P): x+ y + z- 7= 0 và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ là.
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Điểm A thuộc d1 nên A( 1+ 2a; a; - 2- a)
Điểm B thuộc d2 nên B( 1+b; -2+ 3b; 2- 2b)
+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến
+ Vì đường thẳng Δ// ( P) nên
=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3b- a- 2) + 1( - 2b+ a+ 4) = 0
⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1
=>
Khi đó :
Dấu “=” xảy ra khi
Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn B.
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt cầu (S): ( x-1)2 + (y+3)2+ (z+ 1)2 = 29 và A( 1; -2; 1). Đường thẳng Δ cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng Δ là
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M( 2+ t; 1+ 2t;1- t)
+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N( -t; - 5- 2t;1+ t) .
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; -2; 1) và có vectơ chỉ phương
=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:
Chọn C.
Từ khóa » Cắt Trục Ox Và Song Song Với P
-
Trong Không Gian Với Hệ Tọa độ (Oxyz ), Cho Mặt Phẳng (( P ):x
-
6 ) Cắt Trục Hoành Và Song Song Với Mặt Phẳng X+5y-6z=0 Có VTCP ...
-
Trong Không Gian Oxyz, Cho điểm A(-4;-3; 3) Và Mặt Phẳng (P)
-
Trong Không Gian Hệ Tọa độ Oxyz , Cho Các điểm A(1;2
-
2;-1) Cắt Trục Oy Và Song Song Mặt Phẳng (P):2x-y-z+3=0 - HOC247
-
2z +3 =0. Gọi D Là đường Thẳng đi Qua điểm M(1;1;-2), Cắt Trục Ox ...
-
2. Đường Thẳng đi Qua A, Vuông Góc Với D Và Cắt Trục Ox Có Phương ...
-
Đường Thẳng Song Song Với Trục Ox Và Cắt Trục Oy Tại Các điểm Có ...
-
Viết Phương Trình Mặt Phẳng Qua Và Song Song Với Trục Ox.
-
Trong Không Gian Với Hệ Tọa độ Oxyz, Cho Mặt Phẳng (P): X + 2y = 0 ...
-
Đường Thẳng (d) Song Song Với Trục Ox Và Cắt Trục Tung Oy Tại điểm
-
4z 1 = 0, đường Thẳng D đi Qua điểm A, Song Song Với Mặt Phẳng (P ...
-
Trong Không Gian Oxyz, Cho điểm Và đường Thẳng . Đường Thẳng đi ...