Viết Phương Trình Mặt Phẳng đi Qua 1 điểm Và Song ...

Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:

Nội dung chính Show

• I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm. Đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng lớp 12
• II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.
• III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện. Xem thêm: câu hỏi tự luận về an toàn giao thông cho học sinh tiểu học
• Video liên quan

I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm. Đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng lớp 12

Vecto pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng: được gọi là VTPT của (α) nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng (α).

Chú ý:

+ Nếu là VTPT thì (k≠0) cũng là một VTPT của (α)

+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.

+ Nếu hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) thì là một VTPT của (α).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 (với A²+B²+C²≠0)

+ Khi đó vecto (A,B,C) được xem là VTPT của mặt phẳng.

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0,y0,z0) và xem vecto (A,B,C) ≠ 0 là VTPT là:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax+ By+Cz+D=0

(với A²+B²+C²≠0):

+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.

+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy

+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.

+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxy)

+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oyz)

+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxz)

Như vậy ta rút ra nhận xét:

+ Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì mặt phẳng (α) sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng (ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox).

+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ (a,0,0); (0,b,0) và (0,0,c) (với abc≠0)

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho (α): Ax+By+Cz+D=0 và (β): A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:

+ (α) song song (β):

+ (α) trùng (β):

+ (α) cắt (β): chỉ cần

Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 và điểm M(x0,y0,z0), lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:

II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.

Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.

VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-2) và VTPT (1;-1;2)?

Hướng dẫn:

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

Xem thêm: Cách Bấm Máy Tính Giải Phương Trình Trùng Phương Trình Bậc 4

Phương pháp:

Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi (A, B và C).

Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:

Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;-2), B(1;1;1) và C(0;-1;2).

Hướng dẫn:

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

Phương pháp:

Do (α) song song (β) nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.

Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x+2y-2z+1=0 và cách điểm M(1;-2;1) một khoảng là 3.

Hướng dẫn:

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước.

Phương pháp:

Ta tìm tọa độ tâm I của (S). Do (α) tiếp xúc (S) nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.

Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.

Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.

Hướng dẫn:

III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện. Xem thêm: câu hỏi tự luận về an toàn giao thông cho học sinh tiểu học

Đáp án:

Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

+ Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ

+ Đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto ud→ =  uΔ→làm vecto chỉ phương .

+ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và có VTCP là ud→

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Ox thì có VTCP là

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oy thì có VTCP là

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oz thì có VTCP là

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với . Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A (0; 2; -1) và song song với . Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M(2; 8; - 3) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : x+ 3y- z+ 10= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= 2 ta được điểm M ( 2; 8; -3) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là:

Mặt phẳng (P): x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

=> C sai

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A(0; 1;2 ); B( -2; 1;2); C ( -3; 2; 1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M( 2; -4; 1) và song song với trục hoành là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục hoành có vecto chỉ phương

Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua M (2; -4; 1) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2; - 3; -1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là :

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M( -2; 3; 0) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ qua điểm M(-2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua H(0; 3; 1) song song với đường thẳng AB. Biết A( -1; 3; 2) và B( 0; 2; 1). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB đi qua A và B nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AB nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=>Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Chọn B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; 3) và B( 3; 4; 5). Gọi M là trung điểm AB. VIết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng Δ:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa đọ điêm M là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (-1; -2; 4) và song song với . Tìm mệnh đề sai

A. điểm H( 1; -2; 2) thuộc đường thẳng d.

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A (- 2; 3; -4) và song song với . Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M(2; - 3; 4) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : 2x- 3y + 4 z+ 1= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= - 2 ta được điểm M ( 2; - 3; 4) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của dlà:

Mặt phẳng (P): 2x- 3y + 4z+ 1= 0 có vecto pháp tuyến

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

=> C sai

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A(-1; 2; 3 ); B( 0; -1; 2); C (0; 0;1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M( 2; 0; 3) và song song với trục tung là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục tung có vecto chỉ phương

Vì d song song với trục tung nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua M (2; 0; 3) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+ y- 3z+ 2= 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; -1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là

Chọn D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm A( -1; 2; 0) và B( -2; 1; 1). Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ qua điểm M(0; 2; 1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 1; -2; 3); B( 2; -1; 0) và C( 0; 5; 4). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d qua B và song song với đường trung tuyến AM.

A.

B.

C.

D.Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .

Lời giải:

+ M là trung điểm của BC nên tọa độ M( 1; 2; 2).

+ Đường thẳng AM đi qua A và M nên nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AM nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(-2; 0;1); B(1; 0;0) và C( 1; 3; 5). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua G và song song với đường thẳng Δ:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.