Vô Cùng Bé (infinitesimal) | Maths 4 Physics & More...

Trang chủ » Các Vô Cùng Lớn Tương đương Thường Gặp » Vô Cùng Bé (infinitesimal) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa:

Hàm \alpha (x) được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi x\to {{x}_{0}} nếu \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0

Ví dụ: x^m , sinx , {\tan}x , ln(1+x) , 1 - \cos x là các VCB khi x\to 0 .

Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x\to \infty thay vì quá trình x\to {{x}_{0}} .

Quy ước: quá trình x\to \infty thay x\to {{x}_{0}} ta gọi chung là trong 1 quá trình.

2 Định lý:

Trong 1 quá trình, f(x)\to L khi và chỉ khi {\alpha}(x) = f(x) - L là VCB trong quá trình đó.

3 Tính chất: Trong 1 quá trình:

1. Nếu {\alpha}(x) là VCB, C là hằng số thì C.{\alpha}(x) là VCB.

2. Nếu {{\alpha}_{1}}(x), {{\alpha}_{2}}(x), {{\alpha}_{3}}(x), ..., {{\alpha }_{n}}(x) là một số hữu hạn các VCB thì tổng {{\alpha }_{1}}(x)+ {{\alpha }_{2}}(x)+ … + {{\alpha }_{n}}(x) cũng là VCB.

3. Nếu \alpha (x) là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích {\alpha}(x).f(x) cũng là VCB.

4. So sánh hai lượng VCB:

Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.

Giả sử \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f(x)}{g(x)}= k

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: f = {\theta}(g) (hoặc f = 0(g) )

Nếu k = {\pm}{\infty} thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu g = {\theta}(f)

Nếu k \ne 0, k \ne \pm \infty thì f, g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k = 1 thì ta nói f, g là VCB tương đương. Ký hiệu: f \sim g

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f , và g không so sánh được với nhau .

Ví dụ:

1. 1-cosx , x^2 là hai VCB ngang cấp khi x \to 0 .

2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x \to 0 .

5. Các VCB bé tương đương cần chú ý:

Nếu x \to 0 thì:

{\sin}x \sim x , {\tan}x \sim x , 1 - \cos x \sim { \dfrac{1}{2}}x^2 ; {\arcsin}x \sim x

(e^x-1) \sim x , ln(1+x) \sim x , \left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax

6. Khử dạng vô định:

6.1 Tính chất 1:

Nếu \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f}{g}=k , f \sim f_1; g \sim g_1 thì \underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k

Chứng minh

Thật vậy: \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, \dfrac{f}{g} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f}{f_1}}.{ \dfrac{f_1}{g_1}}.{ \dfrac{g_1}{g}} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f_1}{g_1}}

Ví dụ: \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+2x)}{{{e}^{3x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{2x}{3x}= \dfrac{2}{3}

6.2 Tính chất 2:

Nếu {\alpha}(x) = \theta({\beta}(x)) trong 1 quá trình thì {\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x) .

Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn.

Ví dụ:

1.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{1-\cos 5x}{{{\sin }^{2}}2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}(5x)^2}{(2x)^2} = \dfrac{25}{8} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x^2} = \dfrac{25}{8}

2. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-3x)}{tan2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-3x}{2x} = -\dfrac{3}{2}

3. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{x+{{\sin }^{2}}x+t{{g}^{3}}x}{2x+{{x}^{3}}+4{{x}^{5}}}

4. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+tgx)}{x+{{\sin }^{3}}x}

5. \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-2x{{\sin }^{2}}x)}{\sin {{x}^{2}}.tgx}

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

159 bình luận về “Vô cùng bé (infinitesimal)”

  1. Hình đại diện của Lê Hưng

    cho e hỏi câu này được không ạ lim((e^sin(x)-e^(x))/(sin(x)-x)) khi x tiến đến 0

    ThíchĐã thích bởi 1 người

    Được đăng bởi Lê Hưng | 11/11/2016, 20:07 Reply to this comment
    • Hình đại diện của Trang

      = lim (e^(sinx)-1-(e^(x)-1))/(sinx -x) =lim (sinx-x)/(sinx-x)=1 (áp dụng VCB)

      ThíchThích

      Được đăng bởi Trang | 30/11/2016, 20:03 Reply to this comment
  2. Hình đại diện của Mạnh

    coa thể thay vcb ở dưới mẫu không thui được không ạ

    ThíchThích

    Được đăng bởi Mạnh | 31/10/2016, 18:19 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Từ khóa » Các Vô Cùng Lớn Tương đương Thường Gặp