[] - Công Thức Giải Nhanh Hình Toạ độ Không Gian Oxyz

Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz

Vted giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh một số Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz được trích từ Combo X

Dành cho học sinh 2K5 phục vụ trực tiếp kì thi THPT quốc gia môn Toán do thầy Đặng Thành Nam biên soạn. Hy vọng bài viết này, giúp ích nhiều cho quý thầy cô giáo và các em học sinh.

Các em học sinh hãy cmt bên dưới bài viết này về các công thức mà các em cần công thức tính nhanh, để thầy biên soạn và cập nhật cho các em nhé!

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1:

CÁCH XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Bài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz.

Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:

\[BC.\overrightarrow {IA} + CA.\overrightarrow {IB} + AB.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]

Chuyển qua toạ độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh toạ độ điểm I như sau:

\[\left\{ \begin{gathered} {x_I} = \dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

>>Chứng minh đẳng thức này bạn đọc xem tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/dang-thuc-vecto-lien-quan-den-tam-noi-tiep-tam-giac-4823.html

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với toạ độ các đỉnh $A(1;1;1),B(4;1;1),C(1;1;5).$ Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$

A. $I(-2;-1;-2).$

B. $I(2;-1;2).$

C. $I(2;1;2).$

D. $I(1;2;2).$

Lời giải. Ta có $BC=5, CA=4, AB=3$.Do đó

\[\left\{ \begin{gathered} {x_I} = \dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} = \dfrac{{5.1 + 4.4 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 2 \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} = \dfrac{{5.1 + 4.1 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 1 \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} = \dfrac{{5.1 + 4.1 + 3.5}}{{5 + 4 + 3}} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Vậy $\boxed{I(2;1;2){\text{ (C)}}}.$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A(2;2;1),B\left( -\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} \right).$ Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $(AOB)$ có phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+1}{2}.$ C. $\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}.$

B. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}.$ D. $\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}.$

Lời giải.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 2

XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau:

Ta biết được rằng \[R=\frac{abc}{4S},\]

trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác.

Áp dụng trong hình toạ độ không gian $Oxyz,$ ta được

\[R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.\]

trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính.

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(2;0;-1),B(1;-2;3),C(0;1;2).$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

A. $\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

B. $\frac{7\sqrt{11}}{5}.$

C. $\frac{11\sqrt{7}}{10}.$

D. $\frac{11\sqrt{7}}{5}.$

Giải.

Ta có $AB=\sqrt{21},BC=\sqrt{11},CA=\sqrt{14},{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.$

Vì vậy \[R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.\]

Chọn đáp án A.

*Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 3

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TOẠ ĐỘ, MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

• Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $A({{x}_{0}};0;0),B(0;{{y}_{0}};0),C(0;0;{{z}_{0}}).$

• Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy),(Oyz),(Ozx)$ lần lượt là $A({{x}_{0}};{{y}_{0}};0),B(0;{{y}_{0}};{{z}_{0}}),C({{x}_{0}};0;{{z}_{0}}).$

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M(3;2;6)$ trên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz.$

Giải. Ta có $A(3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;6)\Rightarrow (ABC):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.$

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ trên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy),(Oyz),(Ozx).$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 4

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

• Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0.$

Điểm $N(x;y;z)$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(P)$ có toạ độ là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{gathered} \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c} \hfill \\ a\left( {\frac{{x + {x_0}}}{2}} \right) + b\left( {\frac{{y + {y_0}}}{2}} \right) + c\left( {\frac{{z + {z_0}}}{2}} \right) + d = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = {x_0} - \frac{{2a(a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \hfill \\ y = {y_0} - \frac{{2b(a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \hfill \\ z = {z_0} - \frac{{2c(a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

*Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì tương ứng x =x0 hoặc y =y0 hoặc z =z0.

• Toạ độ điểm $N(x;y;z)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ là \[\left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}-\frac{a(a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ & y={{y}_{0}}-\frac{b(a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ & z={{z}_{0}}-\frac{c(a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ \end{align} \right..\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $(Q)$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $(P)$ qua mặt phẳng $(Oxz).$ Hỏi phương trình của mặt phẳng $(Q)$ là ?

A. $(Q):2x+3y+5z-4=0.$

C. $(Q):2x+3y+5z+4=0.$

B. $(Q):2x-3y+5z+4=0.$

D. $(Q):2x-3y+5z-4=0.$

Giải. Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in (P),N(x;y;z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(Oxz),$ ta có $(Ozx):y=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}} \\ & y={{y}_{0}}-\frac{2{{y}_{0}}}{\sqrt{{{1}^{2}}}}=-{{y}_{0}} \\ & z={{z}_{0}} \\ \end{align} \right..$

Thay vào phương trình của $(P),$ ta được: $2x-3(-y)+5z-4=0\Rightarrow (Q):2x+3y+5z-4=0.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+2y+3z+4=0.$ Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $(P)$ và $M$ thuộc mặt cầu $(T):{{x}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{z}^{2}}=5.$ Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây ?

A. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

B. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

C. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

D. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 5

MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU

Xét hai mặt phẳng $(\alpha ):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0,(\beta ):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0.$

Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi $(\alpha ),(\beta )$ là

\[\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.\]

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 6

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGOÀI CỦA TAM GIÁC

Xét tam giác $ABC,$ khi đó đường phân giác trong góc $A$ có véctơ chỉ phương là

\[\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.\]

Ngược lại, đường phân giác ngoài góc $A$ có véctơ chỉ phương là

\[\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.\]

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2;1),B(-2;2;1),C(1;-2;2).$ Hỏi đường phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ tại điểm nào sau đây ?

A. $\left( 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$

B. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$

C. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right).$

D. $\left( 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right).$

Giải.

Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc $A$ là x$\begin{gathered} \overrightarrow u = \frac{1}{{AB}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{{AC}}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {4^2} + {0^2}} }}\left( { - 3;4;0} \right) + \frac{1}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }}(0;0;1) = \left( { - \frac{3}{5};\frac{4}{5};1} \right) \hfill \\ \Rightarrow AM:\left\{ \begin{gathered} x = 1 - \frac{3}{5}t \hfill \\ y = - 2 + \frac{4}{5}t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right. \cap (Oyz):x = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{3} \Rightarrow M\left( {0; - \frac{2}{3};\frac{8}{3}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Chọn đáp án C.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 7

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}),\overrightarrow{{{u}_{2}}}({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}).$

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right).$

Chi tiết có hai phân giác:

• Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

• Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

>>Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A(1;1;-1).$

Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(1;-2;2),\overrightarrow{{{u}_{2}}}(3;-4;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//(7;-11;5).$

Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$

Chọn đáp án A.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=1+3t \\& y=1+4t \\& z=1\\\end{align} \right..$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;1;1)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-2;1;2).$ Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $\Delta $ có phương trình là

Lời giải chi tiết. Có $A(1;1;1)=d\cap \Delta .$ Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(3;4;0).$ Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}(-2;1;2).$ Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\Rightarrow \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)>{{90}^{0}}.$

Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $\Delta $ sẽ đi qua $A$ và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left( 3;4;0 \right)-\frac{1}{3}\left( -2;1;2 \right)=\left( \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right)//(19;7;-10).\]

Đối chiếu các đáp án chọn D.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 8:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha ):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;(\beta ):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0({{d}_{1}}\ne {{d}_{2}})$ là $d((\alpha ),(\beta ))=\frac{\left| {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 9:

Mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+{{d}_{1}}=0;(\beta ):ax+by+cz+{{d}_{2}}=0({{d}_{1}}\ne {{d}_{2}})$ là $ax+by+cz+\frac{{{d}_{1}}+{{d}_{2}}}{2}=0.$

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 10:

Tìm toạ độ điểm $I$ thoả mãn đẳng thức véc tơ: ${{a}_{1}}\overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{a}_{2}}\overrightarrow{I{{A}_{2}}}+...+{{a}_{n}}\overrightarrow{I{{A}_{n}}}=\overrightarrow{0}.$

Điểm $I$ được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A}_{1}$,...,${A}_{n}$.

Toạ độ điểm $I$ được xác định bởi công thức:

\(\begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{{a_1}{x_{{A_1}}} + {a_2}{x_{{A_2}}} + ... + {a_n}{x_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}\\ {y_I} = \dfrac{{{a_1}{y_{{A_1}}} + {a_2}{y_{{A_2}}} + ... + {a_n}{y_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}\\ {z_I} = \dfrac{{{a_1}{z_{{A_1}}} + {a_2}{z_{{A_2}}} + ... + {a_n}{z_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}} \end{array}\)

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 11

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, TRỰC TÂM VÀ TRỌNG TÂM CỦA MỘT TAM GIÁC

Dạng 1: Xác định số đo góc của một tam giác

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(-1;2;4),B(-1;1;4),C(0;0;4).$ Số đo của góc $\angle ABC$ là ?

A. ${{135}^{0}}.$

B. ${{45}^{0}}.$

C. ${{60}^{0}}.$

D. ${{120}^{0}}.$

Giải. Ta có $\overrightarrow{BA}=(0;1;0),\overrightarrow{BC}=(1;-1;0)$ vì vậy $\cos \angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\frac{0.1+1.(-1)+0.0}{\sqrt{{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \angle ABC={{135}^{0}}.$ Chọn đáp án A.

Dạng 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ là điểm thuộc mặt phẳng $(ABC)$ và cách đều các đỉnh của tam giác. Vì vậy để tìm toạ độ tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ chúng ta giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{align} & IA=IB \\ & IA=IC \\ & \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{IA}=0 \\ \end{align} \right..\]

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(1;2;-1),B(2;3;4),C(3;5;-2).$ Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC.$

A. $I\left( \frac{5}{2};4;1 \right).$

B. $I\left( \frac{37}{2};-7;0 \right).$

C. $I\left( -\frac{27}{2};15;2 \right).$

D. $I\left( 2;\frac{7}{2};-\frac{3}{2} \right).$

Giải. Toạ độ tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ là nghiệm của hệ \[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} IA = IB \hfill \\ IA = IC \hfill \\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {IA} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 4)^2} \hfill \\ {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 5)^2} + {(z + 2)^2} \hfill \\ ( - 16;11;1).(x - 1;y - 2;z + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 2y + 10z - 23 = 0 \hfill \\ 4x + 6y - 2z - 32 = 0 \hfill \\ - 16(x - 1) + 11(y - 2) + 1(z + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{5}{2} \hfill \\ y = 4 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]

Chọn đáp án A.

*Chú ý. Với bài toán đặc biệt này, các bạn có thể nhận biết tam giác ABC vuông tại A, do đó tâm ngoại tiếp I là trung điểm cạnh huyền BC.

Dạng 3: Xác định toạ độ trực tâm của tam giác

Trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ và có tính chất vuông góc như sau $HA\bot BC,HB\bot CA,HC\bot AB.$

Do vậy toạ độ trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0 \\ & \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0 \\ & \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{HA}=0 \\ \end{align} \right..\]

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(2;3;1),B(-1;2;0),C(1;1;-2).$ Tìm toạ độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

A. $H\left( \frac{14}{15};\frac{61}{30};-\frac{1}{3} \right).$

B. $H\left( \frac{2}{5};\frac{29}{15};-\frac{1}{3} \right).$

C. $H\left( \frac{2}{15};\frac{29}{15};-\frac{1}{3} \right).$

D. $H\left( \frac{14}{15};\frac{61}{15};-\frac{1}{3} \right).$

Giải. Toạ độ trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là nghiệm của hệ phương trình

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} = 0 \hfill \\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {HA} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} ( - 3; - 1; - 1).(x - 1;y - 1;z + 2) = 0 \hfill \\ ( - 1; - 2; - 3).(x + 1;y - 2;z) = 0 \hfill \\ (1; - 8;5).(x - 2;y - 3;z - 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 3(x - 1) - 1(y - 1) - 1(z + 2) = 0 \hfill \\ - 1(x + 1) - 2(y - 2) - 3z = 0 \hfill \\ 1(x - 2) - 8(y - 3) + 5(z - 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{{15}} \hfill \\ y = \frac{{29}}{{15}} \hfill \\ z = - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} \]

Chọn đáp án C.

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 12

XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP MỘT TỨ DIỆN VUÔNG

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận góc trong hệ toạ độ Oxyz

>>Tìm nhanh phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Xem tại bài viết này: http://vted.vn/tin-tuc/tim-phuong-trinh-hinh-chieu-vuong-goc-cua-mot-duong-thang-len-mat-phang-hinh-oxyz-4368.html

>>Các bài toán về tam giác trong không gian

Xem tại bài viết này: http://vted.vn/tin-tuc/tong-hop-tat-ca-cac-bai-toan-ve-tam-giac-trong-hinh-giai-tich-khong-gian-oxyz-bien-soan-thay-dang-thanh-nam-3296.html

Hẹn gặp quý thầy cô cùng các em trong bài viết Công thức giải nhanh Hình giải tích Oxyz (phần 2)

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max