Xác định Hệ Số Lớn Nhất Trong Khai Triển Nhị Thức Niutơn. | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT > Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp > Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn.

Thảo luận trong 'Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

1. 

   moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 2/10/14 Bài viết: 160 Đã được thích: 46 Điểm thành tích: 28

   Phương pháp: Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức $P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Xét các khả năng sau: a. Nếu ${a_k} > 0$ $\forall k$ (trường hợp ${a_k} < 0$ $\forall k$ tương tự). Ta xét bất phương trình ${a_k} \le {a_{k + 1}}$, thông thường giải ra được nghiệm $k \le {k_0} \in N$. Do $k$ nguyên nên $k = 0,1, \ldots ,{k_0}$. Từ đó suy ra bất phương trình ${a_k} > {a_{k + 1}}$ có nghiệm $k > {k_0}.$ • Nếu ${a_k} = {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k = {k_0}$ thì ta có: ${a_0} < {a_1} < \ldots < {a_{{k_0} – 1}} < {a_{{k_0}}}$ $ = {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là ${a_{{k_0}}} = {a_{{k_0} + 1}}.$ • Nếu phương trình ${a_k} = {a_{k + 1}}$ vô nghiệm thì ta có: ${a_0} < {a_1} < \ldots < {a_{{k_0} – 1}} < {a_{{k_0}}}$ $ > {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta có ${a_{{k_0}}}$ là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức. b. Nếu ${a_{2k}} > 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} < 0$ $\forall k$ (trường hợp ${a_{2k}} < 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} > 0$ $\forall k$ tương tự) thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số ${a_{2k}}$. Ta cũng xét bất phương trình ${a_{2k}} \le {a_{2k + 2}}$ rồi làm tương tự như phần 1. Bài toán 1: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức: $P(x) = {(2x + 1)^{13}}$ $ = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + \ldots + {a_{13}}.$ A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$ Chọn A. Ta có hệ số tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${(2x + 1)^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 – n}}.$ Suy ra: ${a_{n – 1}} = C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}}$, $(n = 1,2,3, \ldots ,13).$ Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ $ \Leftrightarrow C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}} \le C_n^{13}{.2^{13 – n}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{2.13!}}{{(n – 1)!(14 – n)!}} \le \frac{{13!}}{{n!(13 – n)!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{14 – n}} \le \frac{1}{n}$ $ \Leftrightarrow n \le \frac{{14}}{3} \notin N.$ Do đó bất đẳng thức ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \{ 1,2,3,4\} $ và dấu đẳng thức không xảy ra. Nên bất đẳng thức ${a_{n – 1}} > {a_n}$ đúng với $n \in \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} .$ Ta được ${a_0} < {a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4}$ và ${a_4} > {a_5} > {a_6} > \ldots > {a_{13}}.$ Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là: ${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$ Bài toán 2: Trong khai triển biểu thức $F = {\left( {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right)^9}$ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là? A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$ Chọn B. Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{(\sqrt 3 )^{9 – k}}{(\sqrt[3]{2})^k}.$ Ta thấy hai bậc của căn thức là $2$ và $3$ là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {0 \le k \le 9}\\ {(9 – k) \vdots 2}\\ {k \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{{(\sqrt 3 )}^6}{{(\sqrt[3]{2})}^3} = 4536}\\ {k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{{(\sqrt 3 )}^0}{{(\sqrt[3]{2})}^9} = 8} \end{array}} \right.$ Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8.$

   Bài viết mới nhất

   • Xác định hệ số trong khai triển $P(x) = {\left( {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}.$05/12/2018
   • Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn.05/12/2018
   • Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton05/12/2018
   • Kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp05/12/2018
   • Tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học05/12/2018
   moon, 5/12/18 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT > Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp >