Xét Vị Trí Tương đối Của Hai đường Thẳng Bằng Máy Tính CASIO Fx ...

Có thể bạn quan tâm

Bài này thuộc phần 5 trong 7 phần của series Ứng dụng máy tính Casio fx-580VN X vào chương trình Toán THPT

Về phương diện vị trí hai đường thẳng trên mặt phẳng có ba vị trí tương đối là cắt nhau, song song và trùng nhau; hai đường thẳng trong không gian thì có thêm một vị trí nữa là chéo nhau

Đối với hai đường thẳng trên mặt phẳng chúng ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách giải hệ hai phương trình hai ẩn

Đối với hai đường thẳng trong không gian chúng ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách tính tích có hướng và tích hỗn hợp

Tất cả các công việc trên đều có thể thực hiện dễ dàng bằng máy tính CASIO fx-580VN X

Mục lục nội dung

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng
- 1.1 Kiến thức Toán học
- 1.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X
- 1.3 Ví dụ minh họa
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
- 2.1 Kiến thức Toán học
- 2.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X
- 2.3 Ví dụ minh họa

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng

1.1 Kiến thức Toán học

Trên mặt phẳng cho đường thẳng và lần lượt có phương trình tổng quát là và

Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{llll}ax&+by&+c&=0\\a'x&+b'y&+c'&=0\end{array}\right.$

Nếu hệ phương trình có một nghiệm duy nhất thì cắt
Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì song song
Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì trùng

1.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X

Có nhiều thủ thuật để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng như đa biểu thức, phương thức tính toán Verify, phương thức tính toán Equation/ Func, …

Trong đó thủ thuật sử dụng phương thức tính toán Equation/ Func tức giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tối ưu nhất

Chú ý 1.2

Nếu phương trình đường thẳng được cho dưới dạng tham số, đoạn chắn thì bạn cần chuyển về tổng quát trước khi áp dụng thủ thuật

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Equation/ Func

Bước 2 Chọn Simul Equation

Bước 3 Nhấn phím 2

Bước 4 Nhập các hệ số của hệ phương trình

Bước 5 Nhấn phím =

Nếu máy tính thông báo thì hai đường thẳng cắt nhau
Nếu máy tính thông báo No Solution thì hai đường thẳng song song
Nếu máy tính thông báo Infinite Solution thì hai đường thẳng trùng nhau

1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.1

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\5x~+&7y=-&11\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy cắt và tọa độ giao điểm là $\left(-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{4}{3}\right)$

Ví dụ 1.3.2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\x~+&2y=-&13\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy song song

Ví dụ 1.3.3

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\2x~+&4y=-&6\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy trùng

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

2.1 Kiến thức Toán học

Trong không gian cho đường thẳng đi qua điểm có véctơ chỉ phương $\vec{u_1}$ và đường thẳng đi qua điểm có véctơ chỉ phương $\vec{u_2}$

trùng khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left\mspace{1mu}[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&=\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}\right]&=\vec{0}\end{array}\right.$

song song khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left\mspace{1mu}[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&=\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}\right]&\neq\vec{0}\end{array}\right.$

cắt khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&\neq\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}&=0\end{array}\right.$

chéo khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&\neq\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_{1}M_{2}}&\neq0\end{array}\right.$

Chú ý 2.1

$[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$ được gọi là tích có hướng của $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$
$\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}$ được gọi là tích hỗn hợp của $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$ , $\overrightarrow{M_1M_2}$
Tích có hướng của hai véctơ là một véctơ
Tích hỗn hợp của ba véctơ là một số

Các phép tính này đều có thể thực hiện dễ dàng nhờ vào phương thức tính toán Vector của máy tính CASIO fx-580VN nên bạn không cần bâng khuâng

2.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Định nghĩa $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$ , $\overrightarrow{M_1M_2}$

Bước 3 Tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$

Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]$
Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\neq\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}$

Bước 4 Kết luận

Nếu $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]=\vec{0}$ thì trùng ngược lại song song
Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}=0$ thì cắt ngược lại chéo

2.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.3.1

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\y=4-t\\z=5+2t\end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l}x=2+3t'\\y=5-3t'\\z=3+6t'\end{array}\right.$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; -1; 2), \vec{u_2}=(3; -3; 6), \overrightarrow{M_1M_2}=(-1; 1; -2)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo

Bước 3 Tính tích có hướng

Suy ra và chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Bước 4 Tính tích có hướng

Vậy trùng

Ví dụ 2.3.2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\y=-3+t\\z=1+t\end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l} x=5+2t'\\ y=1-t'\\ z=5-t' \end{array}\right.$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(-2; 1; 1), \vec{u_2}=(2; -1; -1), \overrightarrow{M_1M_2}=(2; 4; 4)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo

Bước 3 Tính tích có hướng

Suy ra và chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Bước 4 Tính tích có hướng

Vậy song song

Ví dụ 2.3.3

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=1+3t \\ z=1-t \end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l} x=-1+3t'\\ y=-1+2t'\\ z=t' \end{array}\right.$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; 3; -1), \vec{u_2}=(3; 2; 1), \overrightarrow{M_1 M_2}=(-3; -2; -1)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo

Bước 3 Tính tích có hướng

Suy ra và chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Bước 4 Tính tích hỗn hợp

Vì hiện tại là nên chúng ta sẽ nhập $VctAns \cdot VctC$

Vậy cắt

Ví dụ 2.3.4

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l} x=7+t \\ y=3+2 t \\ z=9-t \end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l} x=3-t'\\ y=1+2t'\\ z=1+3t' \end{array}\right.$