Integrali Delle Funzioni Elementari: Tabella Riassuntiva - WeSchool

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L'integrale indefinito di una funzione $f(x)$ è costituito da tutte le sue primitive, ovvero da tutte quelle fuzioni che, derivate, restituiscono proprio $f$. Una tabella riassuntiva delle primitive più comuni può essere quella che segue, dove abbiamo calcolato le primitive di alcune funzioni elementari. Tali primitive sono divise in tre gruppi: Videolezione "Integrazione per sostituzione: formule ed esempi di integrali risolti"

  1. Primitive di funzioni: costante, potenza e radice,
  2. Primitive di funzioni goniometriche,
  3. Primitive di funzioni esponenziali e logaritmiche.

Nelle tabelle seguenti, la costante $c$ è un numero reale arbitrario $c \in \mathbb R$.

1) Funzioni costanti, potenze (con esponente naturale o reale) e radici

Funzione $f(x)$ Intergrale Indefinito $\int f(x)\ dx$
 $1$ (funzione costante)  $\displaystyle{\int dx = \int 1 \ dx = x +c}$
 $x$  $\displaystyle{\int x \ dx=\frac{1}{2}x^2+c}$
 $\displaystyle{x^{\alpha}}$, per $\alpha\in \mathbb{R},\ \alpha \neq -1$  $\displaystyle{\int x^{\alpha} \,dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+c}$
 $\displaystyle{\frac{1}{x} = x^{-1}}$  $\displaystyle{\ln{|x|}+c}$

Le funzioni irrazionali del tipo $y=\sqrt[n]{x}$ possono essere trasformate in potenze a esponente frazionario grazie alle proprietà delle potenze $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$, ricadendo così nel caso precedente delle potenze, dato che la formula fornita vale per $\alpha$ numero reale.

Vediamo alcuni esempi: $\int \sqrt{x}\ dx= \int x^{\frac{1}{2}} \ dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}+c$$\int \frac{1}{x^2}\ dx = \int x^{-2} \ dx = -\frac{1}{x}+c$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \ dx = 2\sqrt{x}+c$

2) Funzioni goniometriche

Funzione $f(x)$ Intergrale Indefinito $\int f(x)\ dx$
 $\sin x$  $\int \sin{x} \ dx = -\cos{x} + c $
 $\cos x$  $\int \cos{x}\ dx = \sin{x} + c$
 $\displaystyle{\frac{1}{\cos^2{x}}}$  $\displaystyle{\int \frac{1}{\cos^2{x}}\ dx = \tan{x}+c}$
 $\displaystyle{\frac{1}{\sin^2{x}}}$  $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin^2{x}}\ dx = \cot{x}+c}$
 $\displaystyle{\tan{x}}$  $\displaystyle{\int \tan{x}\ dx = -\ln{|\cos{x}|}+c }$
 $\displaystyle{\cot{x}}$  $\displaystyle{\int \cot{x}\ dx = -\ln{|\sin{x}|}+c }$

Poi possiamo ricordare che ci sono delle funzioni irrazionali fratte che hanno come primitive delle funzioni goniometriche: $\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin{x}+c}$ e $\displaystyle{\int \frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan{x}+c}$

3) Funzioni esponenziali e logaritmiche

Funzione $f(x)$ Intergrale Indefinito $\int f(x)\ dx$
 $e^x$, $e$ numero di Nepero  $\int e^x \ dx = e^x+c $
 $a^x$, con $a \in \mathbb R$, $ a > 0$ e $a \neq 1$  $\displaystyle{\int a^x\ dx = \frac{1}{\ln{a}}a^x+c}$

Abbiamo visto nella prima tabella che il logaritmo è la primitiva di una funzione razionale e per comodità lo riportiamo anche qui: $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln{|x|}+c$

Quando ci apprestiamo a calcolare le primitive di una funzione ci può aiutare a intuire quali siano le funzioni coinvolte. Inoltre è importante aggiungere $+c$, che rappresenta un numero reale qualunque, in quanto tutte le primitive di una funzione differiscono tra loro per una costante.

Ricorda anche che non sempre il processo di integrazione è immediato, a volte necessita di metodi di integrazione specifici (es: per parti o per sostituzione).

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