Segment Circulaire - Wikipédia

L'aire totale de la portion de disque vaut S = θ 2 R 2 {\displaystyle S={\frac {\theta }{2}}R^{2}} . Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, A {\displaystyle A} , du segment circulaire (en vert) et celle, A 1 {\displaystyle A_{1}} , du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

A = S − A 1 {\displaystyle A=S-A_{1}}

L'aire du triangle vaut :

A 1 = 1 2 × base × hauteur = 1 2 × c × d = 1 2 × 2 R sin ⁡ ( θ / 2 ) × R cos ⁡ ( θ / 2 ) = R 2 2 × 2 sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) = R 2 2 sin ⁡ θ {\displaystyle A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }}

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : A = S − A 1 = θ 2 R 2 − R 2 2 sin ⁡ θ = R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })} .