08. KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng

Tải bản đầy đủ (.pdf) (7 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Ôn thi Đại học - Cao đẳng
>>
3. Toán học

08. KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.76 KB, 7 trang )

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – LỄ TÂN - NHƯ QUỲNH08. KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈThầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn BắcVIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VNHai cách để kiểm tra tính chất nghiệm của phương trình, tính chất nghiệm kép.Cách 1. Dùng bảng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát đồ thị hàm số.Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau 2 x + 1 = 2 x + 2 x − 1( x ∈ ℝ) .Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) với điều kiện x ≥X0.511.522.533.544.551nên ta có bảng sau:2F(X)0.585700.13620.43950.83771.29981.80882.35422.92893.5178Từ bảng giá trị trên, ta nhận đấy đồ thị có dấu hiệu như một parabol tiếp xúc với trục hoành tại nghiệmduy nhất.Cách 2. Dùng tính chất đạo hàm.Ví dụ. Ta xét bài toán phương trình sau 2 x + 1 = 2 x + 2 x − 1( x ∈ ℝ) .Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình, vớidbài trên ta tìm được nghiệm là x = 1 . Sau đó ta xét giá trị2x + 1 − 2 x − 2x − 1được hiểu làdxx =1()thay giá trị x = 1 vào biểu thức đạo hàm cấp 1 của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 − 2 x − 2 x − 1 và()d= 0.2x + 1 − 2 x − 2x − 1dxx =1Do đó kết luận x = 1 chính là nghiệm kép của phương trình.2 ( 2 x − 1)xVí dụ 1 [Video]. Giải phương trình+=133 x 2 − 32 x + 820 x 2 − 12 x + 1Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình 2 x x 2 + 3 + ( x + 1) 4 − 3x 2 = 6 x + 2Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình x 2 − 2 x + 1 + 2 x 2 − x + 4 = x 2 + x + 3.Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 − 11x + 21 = 3 3 4 x − 4.A.Phân tích CASIONhập vào máy tính 2 X 2 − 11X + 21 − 3 3 4 X − 4 = 0Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3.()Nhập vào máy tính 2 X 2 − 11X + 21 − 3 3 4 X − 4 : ( X − 3) = 0Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮCNhư vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 3.Ta có f ( x ) = 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 ⇒ f ' ( x ) = 4 x − 11 −43Ta tính được f ' ( 3) = 0. Để tính f '' ( 3) ta bấm như sau:d dBấm SHIFTvà nhập4 x − 11 −dx dX( 4x − 4)2.2  x =33( 4 x − 4) 1313Bấm dấu = đợi một lúc máy tính sẽ hiện⇒ f '' ( 3) = ≠ 0.33 f ( 3) = 0Như vậy  f ' ( 3) = 0 ⇒ x = 3 là nghiệm kép của (1) f '' ( 3) ≠ 03a + b = 3 4.3 − 4 = 21a=3441⇒Ta cần cân bằng ax + b = 4 x − 4 ⇒ 3a===22b = 13333 ( 4x − 4)3 ( 4.3 − 4 )4B. Lời giảiĐK: x ∈ ℝ(*)1Khi đó (1) ⇔ 3  x + 1 − 3 4 x − 4  − x − 3 + 2 x 2 − 11x + 21 = 03()⇔ x + 3 − 3 3 4 x − 4 + 2 x 2 − 12 x + 18 = 0(2)x+3 3222Đặt T = ( x + 3) + ( x + 3) 3 4 x − 4 + 3 ( 4 x − 4 ) =  3 4 x − 4 + + ( x + 3) ≥ 0.2  42 x = −3x+332Dấu " = " xảy ra ⇔  3 4 x − 4 + = ( x + 3) = 0 ⇔  32 4 4 x − 4 = 0Điều này là vô lý nên dấu " = " không xảy ra ⇒ T > 0.2Khi đó (2)( x + 3)⇔3− 27 ( 4 x − 4 )T+ 2 ( x2 − 6x + 9) = 0( x − 3) ( x + 15) + 2 x − 3 2 = 0x + 9 x 2 − 81x + 1352⇔+ 2 ( x − 3) = 0 ⇔( )TTx = 3( x − 3 ) 2 = 02  x + 15⇔ ( x − 3) + 2 = 0 ⇔ ⇔(3)T + x + 15 = 0 T 2T + x + 15 = 02x + 15x + 1522= 0 ⇒ ( x + 3) + ( x + 3) 3 4 x − 4 + 3 ( 4 x − 4 ) +=0(4)Ta có T +2223x+3 3x + 152VT ( 4 ) =  3 4 x − 4 +=0 + ( x + 3) +2  4222x + 3  3 ( x + 6 x + 9 ) + 2 ( x + 15 )3=  4x − 4 + +2 42x + 3  3 x 2 + 20 x + 57=  3 4x − 4 + +2 42Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC210  71x 3+2 + 3x+3 33=  4x − 4 +> 0. +2 4Do đó (3) ⇔ x = 3 thỏa mãn (1)Đ/s: x = 3C. Nhận xétCũng với hướng làm như trên ta có thể làm mịn hơn như sau:1Phương trình ⇔ 3  x + 1 − 3 4 x − 4  − x − 3 + 2 x 2 − 11x + 21 = 03()⇔ x + 3 − 3 3 4 x − 4 + 2 x 2 − 12 x + 18 = 0(2)211  473Ta có VT (1) =  x 2 − + 8 > 0 ⇒ 3 4 x − 4 > 0 ⇒ 4 x − 4 > 0 ⇒ x > 1.2 2Đặt T = ( x + 3) + ( x + 3) 3 4 x − 4 + 3 ( 4 x − 4 ) > 0, ∀x > 1.2Do đó (2)2( x + 3)⇔3− 27 ( 4 x − 4 )T+ 2 ( x2 − 6x + 9) = 0( x − 3) ( x + 15) + 2 x − 3 2 = 0x + 9 x 2 − 81x + 1352⇔+ 2 ( x − 3) = 0 ⇔( )TT2  x + 15(3)⇔ ( x − 3) + 2 = 0 Tx + 152Với x > 1 và T > 0 ⇒+ 2 > 0 nên (3) ⇔ ( x − 3) = 0 ⇔ x = 3 thỏa mãn (1)T23Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − 2 x + 2 = 2 x − 3 + 3 3 x − 5.A.Phân tích CASIONhập vào máy tính X 2 − 2 X + 2 − 2 X − 3 − 3 3 X − 5 = 0Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2.()Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 2 − 2 X − 3 − 3 3 X − 5 : ( X − 3) = 0Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 2.11Ta có f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 − 2 x − 3 − 3 3 x − 5 ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 2 −−.2 x − 3 3 ( 3x − 5 )2Ta tính được f ' ( 2 ) = 0. Để tính f '' ( 2 ) ta bấm như sau:dd 11Bấm SHIFTvà nhập2x − 2 −−dx dX2 x − 3 3 ( 3x − 5)2Bấm dấu = đợi một lúc máy tính sẽ hiện 5 ⇒ f '' ( 2 ) = 5 ≠ 0. x=2 f ( 2) = 0Như vậy  f ' ( 2 ) = 0 ⇒ x = 2 là nghiệm kép của (1) f '' ( 2 ) ≠ 0Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC2a + b = 2.2 − 3 = 1a = 1⇒Ta cần cân bằng ax + b = 2 x − 3 ⇒ 11== 1 b = −1a =2x − 32.2 − 32c + d = 3 3.2 − 5 = 1c = 111Ta cần cân bằng cx + d = 3 3x − 5 ⇒ ⇒c=== 1  d = −122333x−53.2−5()()Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:B. Lời giải3(*)2Khi đó (1) ⇔ x − 1 − 2 x − 3 + x − 1 − 3 3 x − 5 − 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 = 0ĐK: x ≥() (Đặt T = ( x − 1) + ( x − 1) 3 x − 5 +23)3( 3x − 5 )x −1  332=  3 3x − 5 + + ( x − 1) > 0, ∀x ≥ .2  4222( x − 1) − ( 2 x − 3) + ( x − 1) − ( 3x − 5) + x 2 − 4 x + 4 = 0⇔2Do đó (2)(2)3Tx −1 + 2x − 32x − 4x + 4x3 − 3x 2 + 42⇔++ ( x − 2) = 0Tx −1 + 2x − 3( x − 2)⇔2( x + 1)( x − 2 )+2+ ( x − 2) = 02Tx −1 + 2x − 31x +1 2⇔ ( x − 2) ++ 1 = 0(3)T x −1 + 2x − 331x +1Với x ≥ > 1 và T > 0 ⇒++ 1 > 0 nên (3) ⇔ x = 2 thỏa mãn (*)2Tx −1 + 2x − 3Đ/s: x = 281=2 x−2( x ∈ ℝ) .x −1+ 2 x − 2PHÂN TÍCH CASIO. Phương trình có chứa phân thức nên để nhân liên hợp với phân thức là cực kỳ khókhăn.Nhưng trước hết, dùng SHIFT CALC ta tìm được nghiệm của phương trình là x = 6 và kiểm tra tính chất81nghiệm bằng cách xét đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 10 x + 19 +−2 x−2.x −1+ 2 x − 21 81 1 +1x−2Ta có f ' ( x ) = 2 x − 10 −−⇒ f ' ( 6 ) = 0 nên suy ra x = 6 là nghiệm kép của2x−2x −1+ 2 x − 2Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − 10 x + 19 +()phương trình đã cho. Vì thế, trước tiên ta sẽ tạo hằng đẳng thức ( x − 6 ) sau đó giải phương trình còn lại2để tìm nhân tử chung là ( x − 6 ) , như sau:2x 2 − 10 x + 19 +8181= 2 x − 2 ⇔ ( x 2 − 12 x + 36 ) + 2 x − 17 +−2 x−2 =0x −1 + 2 x − 2x −1 + 2 x − 22 x 2 − 23x + 106 + 2 ( x − 16 ) x − 2812⇔ ( x − 6 ) +  2 x − 17 − 2 x − 2 +=0 = 0 ⇔ ( x − 6) +x −1+ 2 x − 2 x −1+ 2 x − 2.2Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮCBây giờ, ta chỉ cần xét đến phương trình 2 x 2 − 23 x + 106 + 2 ( x − 16 ) x − 2 = 0( ∗) .1ax + b = x − 2a=11x =64 nên nhân tử cần tìm là Ta lại xét ⇒ x−2 − x− .42( ax + b ) ' = x − 2 'b = 1x =62()()Do đó 2. ( ∗) ⇔ 4 x 2 − 46 x + 212 + 4 ( x − 16 ) x − 2 = 0 ⇔ 5 x 2 − 60 x + 180 + ( x − 16 ) 4 x − 2 − x − 2 = 0( x − 16 )( x − 6 )−2x − 164 x + 2622= 0 ⇔ ( x − 6)  5 −= 0. = 0 ⇔ ( x − 6) .x+2+4 x−2x+2+4 x−2 x+2+4 x−2Nênphươngtrìnhđãcho4 x + 261222⇔ 2 ( x − 6) + ( x − 6) ..= 0 ⇔ ( x − 6) = 0 ⇔ x = 6 .x + 2 + 4 x − 2 x −1+ 2 x − 24 x + 26Vì 2 +> 0; ∀x ≥ 2 .x + 2 + 4 x − 2 x −1+ 2 x − 2⇔ 5 ( x − 6)2()()LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ 2 .Phương trình đã cho tương đương với: ( x 2 − 12 x + 36 ) + 2 x − 17 +⇔ ( x − 6) +2⇔ 2 ( x − 6)Vì 2 +22 x 2 − 23 x + 106 + 2 ( x − 16 ) x − 281−2 x−2 =0x −1+ 2 x − 2=0x −1+ 2 x − 24 x + 26122+ ( x − 6) ..= 0 ⇔ ( x − 6) = 0 ⇔ x = 6 .x + 2 + 4 x − 2 x −1+ 2 x − 2(x + 2 + 44 x + 26x−2)( x − 1 + 2x−2)> 0; ∀x ≥ 2 . Nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 6 .(Ví dụ 7 [Tham khảo]. Giải phương trình 4 x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5 x − 1 + 9 − 5 x)( x ∈ ℝ)Lời giải:91Điều kiện: ≥ x ≥ . Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm kép x = 1 .5522 5 x − 1 = 2 = 2 x 5 x − 1 = 2 = 2 x  2 x − 5 x − 1 = 4 x + 5 x − 1 − 4 x 5 x − 1Khi đó là cácsuy ra ⇒29−5x=29−5x=2 9 − 5 x − 2 = 13 − 5 x − 4 9 − 5 xhằng đẳng thức cần tạo nên phương trình đã cho tương đương với:((( 4x2))) ()+ 5 x − 1 − 4 x 5 x − 1 + 13 − 5 x − 4 9 − 5 x + x − 1 = 02 x = 5 x − 1⇔ 2 x − 5x − 1 + 9 − 5x − 2 + x − 1 = 0 ⇔  9 − 5x = 2 ⇔ x = 1 x − 1 = 0Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .() ()2Ví dụ 8 [Tham khảo]. Giải phương trình 4()(2)()x + 1 − 3 x 2 + 13 x + 1 − 8 x = 4 x − 1 + 3Lời giải:()( x ∈ ℝ)Điều kiện: x ≥ 1 . Ta có − 4 x − 1 + 3 = 4 ( x − 1) − 4 x − 1 + 1 − 4 x = 2 x − 1 − 1 − 4 x .2Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮCNên phương trình đã cho tương đương với: 4()()()2x + 1 − 3 x 2 + 13 x + 1 − 8 x − 4 x + 2 x − 1 − 1 = 0 .()2⇔ 4 x 2 x + 1 + 13 x x + 1 − 12 x 2 − 12 x + 2 x − 1 − 1 = 0() ()⇔ x  x + 1 ( 4 x + 13) − 12 ( x + 1)  + ( 2 x − 1 − 1) = 0⇔ x x + 1 ( 4 x + 1 − 12 x + 1 ) + ( 2 x − 1 − 1) = 0⇔ x x + 1 ( 4 x + 4 − 12 x + 1 + 9 ) + ( 2 x − 1 − 1) = 0⇔ x x + 1 ( 2 x + 1 − 3) + ( 2 x − 1 − 1) = 0( ∗)x x + 1 2 x + 1 − 3 ≥ 0() nên phương trình ∗ trở thành:x +1 > 0 ⇒ ( )( 2 x − 1 − 1) ≥ 02⇔ x 4 x x + 1 + 13 x + 1 − 12 x − 12 + 2 x − 1 − 1 = 0222222Vì x ≥ 1 ⇒ x22 x + 1 = 352 x +1 − 3 = 2 x −1 −1 = 0 ⇔ ⇔x= .42 x − 1 = 15Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = .41Ví dụ 9 [Tham khảo]. Giải phương trình ( x − 3)  x + x  = ( x − 1) 2 x + 1 + 3 x − 112Lời giải:Điều kiện: x ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương với:(( x ∈ ℝ) .)pt ⇔ ( x − 3) x + 2 x = 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 6 x − 22⇔ x 2 − 3 x + 2 x x − 6 x = 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 6 x − 22⇔ x 2 − 3 x − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 2 x x − 12 x + 22 = 0()⇔  x 2 − 2 x + 1 − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 2 x + 1 + 2 x x − 3 x − 12 x + 20 = 0() (2⇔ x − 1 − 2x + 1 + 2 x + 5(()(x −2)2( ∗)=0) x −1 − 2x + 1 2 ≥ 0Vì x ≥ 0 ⇒ 2 x + 5 > 0 ⇒ nên phương trình ( ∗) trở thành:2 2 x +5x −2 ≥0 x − 1 = 2 x + 1x − 1 − 2x + 1 = x − 2 = 0 ⇔ ⇔ x = 4. x = 2Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4 .)()(Ví dụ 10 [Tham khảo]. Giải phương trình x 4 + 7 x 2 + 4 x + 3 = 2 x x 2 + x + 1 + 2 3 x 2 + x + 1Lời giải:() x2 − 2 x x + 1 + x + 1 = x − x + 1 2Điều kiện: x ≥ −1 . Ta có 4 x 2 − 4 x 3x 2 + x + 1 + 3 x 2 + x + 1 = 2 x − 3x 2 + x + 1Khi đó phương trình đã cho tương đương với:())2Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC) ((2pt ⇔ x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 x + 1 + x − x + 1 + 2 x − 3 x 2 + x + 1() ()2=0⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) − ( x3 − 2 x − 1) + x − x + 1 + 2 x − 3 x 2 + x + 12(⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) − ( x + 1) ( x 2 − x − 1) + x − x + 1(⇔ ( x 2 − x − 1) + x − x + 12) + ( 2x −2) + ( 2x −3x 2 + x + 12)2)2=03x 2 + x + 1)2=0=0 x2 − x − 1 = 0x ≥ 01+ 5⇔ x = x + 1⇔ 2⇔x=2x − x −1 = 022 x = 3 x + x + 1Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =1+ 5.2Ví dụ 11 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − x + 4 = ( x − 1) x + 2 + x3 + x 2 − 4 x + 6PHÂN TÍCH CASIOSử dụng SHIFT SOLVE với x = 2 ta được nghiệm x ≃ 3.302774567 .Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE ( Mode 7 ).Xét F ( X ) = X − X + 4 − ( X − 1) X + 2 + X + X − 4 X + 6 .Nhập các giá trị• Start ? START = 3.1 .• End ? END = 4 .• Step ? STEP = 0.1 .Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm trong lân cận giá trị 3.3đồng thời hàm số F ( X ) có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành. Vì23Đồng thời ta lại có:x3 + x 2 − 4 x + 6 =BẢNG GIÁ TRỊXF(X )3.13.23.33.43.53.63.73.83.94.00.02285.919.10 −34.346.10 −65.366.10 −30.02220.05070.09110.14350.2080.28492vậy nghiệm x ≃ 3.302774567 là nghiệm kép của F ( X ) = 0 .( x + 3) ( x 2 − 2 x + 2 )Thay x ≃ 3.302774567 vào các căn thức ta được: x + 2 ≃ 2.302775405 x + 2 ≃ 3.302774567 − 1 = x − 1⇒ x + 3 ≃ 2.5105327262 2 x + 3 ≃ x − 2 x + 2x2x22.510531957−+=(Vậy ta tạo hằng đẳng thức để có các biểu thức x − 1 − x + 2LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ −2 .Vì x ≥ −2 nên x + 3 > 0 do đóx3 + x 2 − 4 x + 6 =)2và(( x ∈ ℝ) .)2x + 3 − x2 − 2 x + 2 .( x + 3) ( x 2 − 2 x + 2 ) =x + 3. x 2 − 2 x + 2 .Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:pt ⇔ 2 x 2 − 2 x + 8 = 2 ( x − 1) x + 2 + 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2()⇔  x 2 − 2 x + 1 − 2 ( x − 1) x + 2 + x + 2  + x + 3 − 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 = 03 + 13 x − 1 = x + 2=0⇔⇔x=22 x + 3 = x − 2 x + 23 + 13.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x =2(⇔ x −1− x + 2) +(2x + 3 − x2 − 2 x + 2)2Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Tài liệu liên quan

• Hàng rào kĩ thuật trong thương mại của Mĩ với hàng thủy sản Việt Nam
  • 21
  • 951
  • 3
• bài tập đại cương về dao động điều hòa của thầy đặng việt hùng
  • 8
  • 3
  • 88
• tài liệu bài giảng phần đại cương về dao động điều hòa của thầy đặng việt hùng
  • 8
  • 1
  • 23
• Kĩ thuật tìm công thức của các hợp chất vô cơ
  • 19
  • 1
  • 8
• Kĩ thuật tìm công thức của các hợp chất vô cơ
  • 18
  • 495
  • 3
• 57 trắc nghiệm con lắc lò xo - thầy Đặng Việt Hùng
  • 5
  • 623
  • 6
• Dạng lượng giác của số phức thầy Đặng Việt Hùng
  • 8
  • 644
  • 1
• Moon.vn Một số đề thi thử môn Toán của thầy Đặng Việt Hùng
  • 26
  • 7
  • 125
• bài giảng vật lý của thầy đặng việt hùng toàn tập
  • 240
  • 1
  • 5
• Thử sức trước kì thi THPT quốc gia năm 2015 môn toán (đề số 30) thầy đặng việt hùng
  • 1
  • 891
  • 4

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(223.76 KB - 7 trang) - 08. KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc Tải bản đầy đủ ngay ×