100 Bài Tập Sử Dụng định Lý Fermat Nhỏ Và định Lý Euler Có Lời Giải

Có thể bạn quan tâm

Bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó phù hợp cho học sinh lớp 10 chuyên toán

Phần I. Đề Bài

Bài 1. Chứng minh định lý Fermat nhỏ (Nêu 3 cách chứng minh: Thặng dư thu gọn, qui nạp, tổ hợp)

Bài 2. Chứng minh định lý Euler (Nêu 2 cách chứng minh: Thặng dư tho gọn, dùng Fermat)

Bài 3. Cho ${a}$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng bât cứ thừa số nguyên tố nào lớn hơn 2 của ${a^2 +1}$ đều có dạng ${4m+1}$ . Từ đó chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng ${4m+1}$

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ sao cho ${5^{p^2}+1\equiv 0\left ( mod{p^2} \right )}$ .

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố ${p}$ tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn ${2^{n} -n \equiv 0\left ( mod p \right )}$ .

Bài 6. (Bulgarian MO-1995). Tìm tất cả các số nguyên ${n> 1}$ sao cho ${a^{25} -a\equiv 0 (mod n)}$ vói mọi số nguyên dương a.

Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7 chia hết ${2^n -1}$ .

Bài 8. Chứng minh rằng ${2^n +1}$ không chia hết cho 7 với mọi n nguyên dương.

Bài 9. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2 và a,b là hai số tự nhiên lẻ sao cho a+b chia hết cho p và a-b chia hết cho p-1. Chứng minh rằng ${a^b +b^a}$ chia hết cho 2p.

Bài 10. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7 . Chứng minh rằng ${3^p - 2^p\equiv 1 (mod 42p)}$ .

Bài 11. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng ${\frac{9^p -1}{8}}$ là một hợp số lẻ không chia hết cho 3 và ${3^{\frac{9^p -1}{8}-1} \equiv 1 \left ( mod\frac{9^p -1}{8} \right )}$ .

Bài 12. Cho p là số nguyên tố lẻ có dạng ${k.2^t +1}$ . Với t là số nguyên dương và k là số tự nhiên lẻ. Giả thiết x, y là các số tự nhiên mà ${x^{2^t}+y^{2^t}}$ là bội của p. Chứng minh rằng khi đó cả x và y đều là bội của p.

Bài 13. Chứng minh rằng không tồn tại một dãy vô hạn các số nguyên tố ${\left \{ p_{n} \right \}}$ thõa mãn ${\left | p_{n+1}-2p_{n} \right |=1}$ với mọi n nguyên dương.

Bài 14. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng ${p^{p+1}+(p+1)^p}$ không là một số chính phương.

Bài 15: Cho ${n}$ là một số tự nhiên chẵn. Hãy tìm ước chung lớn nhất của tất cả các số có dạng ${a^n -a}$ với a nguyên.

Bài 16. (Mathlink contest 2004) Cho 2004 số nguyên không âm ${a_{1};a_2;...a_{2004}}$ sao cho ${\sum_{i=1}^{2004} a_{i}^{n}}$ là số chính phương với mọi n. Tìm số số hạng nhỏ nhất bằng không.

Bài 17. Dùng định lý Fermat nhỏ chứng minh định lý Euler.

Bài 18. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương m,n sao cho ${\left ( a^{m}+b^{n}-1 \right )\vdots ab}$ . Với a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

Bài 19. Cho n là số nguyên dương không nhỏ hơn 5. Chứng minh rằng $2^{\varphi \left ( n \right )}-1$ có ước nguyên tố không phải là ước nguyên tố của n.

Bài 20. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương s luôn tồn tại số nguyên dương r là bội của s và tổng các chữ số của r bằng s.

Bài 21. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng ${p^8-1}$ chia hết cho 240.

Bài 22. Cho dãy số ${\left \{ a_{n} \right \}}$ . xác định bởi ${a_{1}=1, a_{n+1}=2^{a_n}}$ . Chứng minh rằng ${a_n\equiv a_{n-1}\left ( modm \right )}$ với mọi m nguyên dương không lớn hơn n.

Bài 23. Cho a là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng tập A= ${\left \{ a^{k+2} +a^{k+1} -1, k\in \mathbb{N} \right \}}$ chứa một tập con vô hạn và bất kì 2 phần tử của nó nguyên tố cùng nhau.

Bài 24. Chứng minh rằng dãy $u_n= 2^n -n$ chứa vô hạn cặp số nguyên tố cùng nhau.

Bài 25. Tồn tại hay không số nguyên n lớn hơn 1 sao cho n là ước của ${2^n -1}$

Bài 26. Cho n là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 4. Chứng minh rằng ${\prod_{i=1}^{n-1}\left ( 4^i -2^i \right )\vdots n}$ .

Bài 27. Giả sử phương trình ${x^{2017} +ax^{2}+bx+c=0}$ với a,b,c là các số nguyên có 3 nghiệm nguyên là ${x_1 , x_2 , x_3}$ . Chứng minh rằng ${c\left ( x_1 -x_2 \right )\left ( x_2 -x_3 \right )\left ( x_3 -x_1 \right )\vdots 2017}$ .

Bài 28. Tìm x, y nguyên thỏa mãn ${x^2+xy+y^2+14x+14y+2018}$ chia hết cho 101.

Bài 29. Tìm số dư trong phép chia $1776^{1492!}$ cho 2000.

Bài 30. Cho a, b là các số nguyên dương tùy ý. Chứng minh rằng trong cấp số cộng ${u_k=ak+b, k=0,1,2,....}$ có vô hạn số hạng mà tập các ước nguyên tố của chúng là như nhau.

Bài 31. Cho n là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng ${2^{n!} \vdots \left (n^2 -1 \right )}$ .

Bài 32. Cho a>1 là số nguyên dương lẻ. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn $a^{n}-1 \vdots 2^{2000}$ .

Bài 33. Kí hiệu X là tập hợp các số nguyên có dạng ${\sum_{i=0}^{k}a_{2i}.10^{2i}}$ , trong đó k là một số nguyên không âm và $a_{2i}$ thuộc tập {1,2,3,…,9}. Chứng minh rằng mỗi số nguyên dạng ${2^p.3^q}$ với p, q là các số nguyen không âm chia hết cho mọi phần tử của X.

Bài 34. Cho ${n=p_1^{r_1} p_{2}^{r_2}...p_{k}^{r_k}}$ và số nguyên dương r>1. Chứng minh rằng các khẳng định sau đây là tương đương

i) Phương trình ${x^{r}\equiv a\left ( modn \right )}$ có một nghiệm với mọi a.

ii) ${r_1 =r_2=...=r_k =1}$ và ${\left ( p_{i -1}, r \right )=1}$ vói mọi ${i\in \left \{ 1,2,...,k \right \}}$ .

Bài 35. Cho p là số nguyên tố có dạng 3k+2 Chứng minh rằng vói mọi số nguyên x,y mà ${x^{3} \equiv y^{3}\left ( modp \right )}$ thì ${x \equiv y\left ( modp \right )}$ .

Bài 36. Cho đa thức ${P\left ( x \right )=x^3-11x^2-87x+m. }$ . Cmr với mọi số nguyên m tồn tại số nguyên n sao cho P(n) chia hết cho 191.

Bài 37. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì mỗi ước nguyên tố của ${2^p -1}$ đều lớn hơn p.

Bài 38. Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố ${\left ( p,q,r \right )}$ thỏa mãn: ${q^{r} +1\vdots p, r^{p} +1\vdots q, p^{q} +1\vdots r}$ .

Bài 39. Cho ${n=u.2^m +1}$ vói u nguyên dương lẻ, m nguyên dương và ${u<2^m}$ . Biết rằng tồn tại số nguyên tố p lớn hơn 2 thỏa mãn ${p^{\frac{n-1}{2}} \vdots n}$ .Chứng minh rằng n là số nguyên tố.

Bài 40. Tìm tất cả số nguyên tố p,q sao cho ${2016^{q}+1\vdots p^2 +1}$ và ${2016^{p}+1\vdots q^2 +1}$ .

Bài 41. Tìm số nguyên dương n để ${3^n -1\vdots n^3}$ .

Bài 42. Với mỗi số nguyên a, đặt ${n_{a}=101a-100.2^a}$ . Chứng minh rằng nếu ${0\leq a,b,c,d\leq 99, n_a +n_b\equiv n_c +n_d\left ( mod 10100 \right )}$ thì ${\left \{ a,b \right \}=\left \{ c,d \right \}}$ .

Bài 43. Cho ${n\geq 2, p=2^n +1}$ . Chứng minh rằng nếu ${3^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \left ( modp \right )}$ thì p là số nguyên tố.

Bài 44. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 và ${\prod_{i=1}^{p}\left ( i^2 +1 \right )-4}$ không chia hết cho p. Chứng minh rằng ${\prod_{i=1}^{p}\left ( i^2 +1 \right )}$ chia hết cho p.

Bài 45. Cho ${p}$ là số nguyên tố có dạng ${8k+1, k>0}$ . Chứng minh rằng ${\left (2^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )\vdots p}$ .

Bài 46. Chứng minh định lý Wolstenholme và định lý Lagrange.

Bài 47. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ${x,y}$ thỏa mãn ${x^{7}-1=\left ( x-1 \right )\left ( y^5 -1 \right )}$ .

Bài 48. Cho p là số nguyên tố lẻ lớn hơn 3. Với mỗi ${i=1,2,3,....,p-1}$ kí hiệu $r_i$ là số dư khi chia ${i^p}$ cho ${p^2}$ . Chứng minh rằng ${S=\sum_{i=1}^{p-1}\left ( r_i+9 \right )}$ không chia hết cho ${p}$ .