2.5. Hạng Của Ma Trận | Môn: Đại Số Tuyến Tính - ELEARNING

Skip navigation

• Hướng dẫn tự học
• Bài 1. Ma trận
  • 1.1. Các khái niệm về ma trận
  • 1.2 Các phép toán trên ma trận
  • Test nhanh
  • Phần mềm, mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 2. Định thức
  • 2.1. Định nghĩa định thức
  • 2.2. Các tính chất của định thức
  • 2.3. Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
  • 2.4. Ma trận nghịch đảo
  • 2.5. Hạng của ma trận
  • Test nhanh
  • Phần mềm, mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính
  • 3.1. Dạng tổng quát của hệ PTTT
  • 3.2. Hệ Cramer
  • 3.3. Giải hệ PTTT bằng phương pháp Gauss
  • 3.4. Hệ PTTT thuần nhất
  • Test nhanh
  • Phần mềm mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 4. Ánh xạ tuyến tính
  • 4.1. Kiến thức bổ trợ về không gian véctơ (KGVT)
  • 4.2. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
  • 4.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
  • 4.4. Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính
  • Test nhanh
  • Phần mềm, mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 5. Giá trị riêng, véc tơ riêng
  • 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận
  • 5.2. Giá trị riêng, vector riêng của toán tử tuyến tính
  • Test nhanh
  • Phần mềm mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo

« Trước | Tiếp »

Cho $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ và số $p$ thỏa mãn $1\le p\le \min \left\{m,n\right\}$.

Ma trận vuông cấp $p$ suy từ $A$ bằng cách bỏ đi $(m –p)$ hàng, $(n –p)$ cột được gọi là ma trận con cấp $p$ của $A$, định thức của nó được gọi là định thức con cấp $p$ của $A$.

Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.

Dễ thấy, $1\le p\le \min \left\{3,4\right\}=3\Rightarrow p=1,2,3$.

$A$ không có định thức con cấp 4. Các định thức con cấp 3 của $A$: $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \end{array}\right|$, $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right|$, $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right|$

Các định thức con cấp 2 của $A$: $\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right|$,  $\left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {2} & {4} \end{array}\right|$ ...

Các định thức con cấp 1 của A là $1;\quad 2; \quad -1;\cdots$

Hạng của ma trận $A$ là cấp cao nhất của các định thức con khác không của $A$, kí hiệu $r\left(A\right)$.

Nhận xét, $0\le r\left(A\right)\le \min \left\{m,n\right\}$ ($r\left(A\right)=0$ khi $A$ là ma trận $\mathbf{O}$).

Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.

$A$ không có định thức con cấp 4, tất cả các định thức con cấp 3 đều bằng 0 mà tồn tại định thức con cấp 2 khác 0 nên $r\left(A\right)=2$.      

i) $r\left(A\right)=r\left(A^{t} \right).$

ii) $A\in\mathcal M_{n}$ và $\det \left(A\right)\ne 0$ thì $r\left(A\right)=n$.

Ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {5} \\ {3} & {2} \end{array}\right]$ có $\det \left(A\right)=-13\ne 0$ nên $r\left(A\right)=2$.

Cách 1. Áp dụng định nghĩa

Bước 1: Tính các định thức con từ cấp 2 trở lên.

Bước 2: Giả sử tìm được định thức con cấp $r$ của $A$ thì tính định thức con cấp $r+1$, nếu nó bằng 0 thì tính tiếp các định thức con cấp $r+2$,... cho đến khi tính hết các định thức có thể tìm được của $A$. Khi đó, định thức cấp $r+k, k=1,2,...$ lớn nhất có giá trị khác 0 chính là hạng của ma trận $A$. Nếu tất cả định thức con cấp $r+k, k=1,2,...$ đều bằng 0 thì hạng của $A$ là $r$. 

Ví dụ 10.  Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.   

Hướng dẫn. Ta có $D=\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right|=1\ne 0$.

Định thức con cấp 3 bao quanh D: $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \end{array}\right|=0$

Các định thức con cấp 3 khác: $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right|=0;\quad\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right|=0$.

$A$ không có định thức con cấp 4.                             

Vậy $r\left(A\right)=2$.

Cách 2. Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp (về hàng)

Chú ý

1. Các phép biến đổi sơ cấp (BĐSC) không làm thay đổi hạng của ma trận $A$ biến đổi sơ cấp thành ma trận $B$: $r(A)=r(B)$.
2. Hạng của ma trận có dạng bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó.

Các bước tìm hạng của ma trận khi áp dụng các phép BĐSC

Bước 1: Áp dụng các phép BĐSC đưa dần $A$ về dạng ma trận bậc thang $B$.

Bước 2: Áp dụng chú ý ii. ở trên để kết luận $r(A)$.

Ví dụ 11. Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.

Lời giải. $$\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{2} -h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -h_{1} \to h_{3} } \\ {h_{4} -2h_{1} \to h_{4} } \end{array}}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {2} \end{array}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{3} +h_{2} \to h_{3} } \\ {h_{4} +h_{2} \to h_{4} } \end{array}}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right]$$ Vậy, $r\left(A\right)=2$.

« Trước | Tiếp »