270 Bài Toán Nâng Cao Lớp 9 (Có đáp án)

Các dạng Toán nâng cao lớp 9 có lời giải gồm 270 bài thuộc nhiều dạng toán khác nhau cả hình học và đại số.

TOP 270 bài Toán nâng cao lớp 9 được trình bày rất bài bản các dạng bài tập trọng tâm khác nhau có đáp án kèm theo. Qua đó giúp học sinh đối chiếu so sánh với kết quả mình đã làm thuận tiện hơn. Đồng thời có thể tự nhận xét được năng lực bản thân, thấy được lỗi sai cần tránh, kịp thời lấp đầy lỗ hổng kiến thức, tìm ra các phương pháp làm bài nhanh. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, bất đẳng thức Cosi, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

TOP 270 Bài toán nâng cao lớp 9 Có đáp án

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.

Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x2 – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(A=\frac{1}{x^{2}-4 x+9}\)

Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

\(a) \sqrt{7}+\sqrt{15} và 7\)

\(b) \sqrt{17}+\sqrt{5}+1 và \sqrt{45}\)

\(c) \frac{23-2 \sqrt{19}}{3} và \sqrt{27}\)

\(d) \sqrt{3 \sqrt{2}} và \sqrt{2 \sqrt{3}}\)

Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn \sqrt{2} nhưng nhỏ hơn \sqrt{3}

Câu 19. Giải phương trình: \(\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}+\sqrt{5 x^{2}+10 x+21}=5-2 x-x^{2}.\)

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=x^{2} y\) với các điều kiện x, y>0 và 2 x+x y=4.

Câu 21. Cho

\(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+\ldots .+\frac{1}{\sqrt{k(1998-k+1)}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}.\)

Hãy so sánh S và \(2 \cdot \frac{1998}{1999}.\)

Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.

Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?

Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:

Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:

Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].

Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của: với x, y, z > 0.

Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.

Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz (x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 39. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

Câu 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

\(M=\sqrt{x^{2}+4 x+4}+\sqrt{x^{2}-6 x+9}.\)

c) Giải phương trình: \(\sqrt{4 x^{2}+20 x+25}+\sqrt{x^{2}-8 x+16}=\sqrt{x^{2}+18 x+81}\)

Câu 43. Giải phương trình: \(2 x^{2}-8 x-3 \sqrt{x^{2}-4 x-5}=12.\)

Câu 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

\(A=\sqrt{x^{2}+x+2} \quad B=\frac{1}{\sqrt{1-3 x}} \quad C=2-\sqrt{1-9 x^{2}} \quad D=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}\)

Câu 45. Giải phương trình:\(\frac{x^{2}-3 x}{\sqrt{x-3}}=0\)

46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\(\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{x}.\)

47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(B=\sqrt{3-x}+x\)

48. So sánh:

\(a) \mathrm{a}=\sqrt{2+\sqrt{3}} và \mathrm{b}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)

\(b) \sqrt{5-\sqrt{13+4 \sqrt{3}}} và \sqrt{3}-1\)

c) \(\sqrt{\mathrm{n}+2}-\sqrt{\mathrm{n}+1}\) và \(\sqrt{\mathrm{n}+1}-\sqrt{\mathrm{n}}\) (n là số nguyên dương)

49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : \(\mathrm{A}=1-\sqrt{1-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^{2}}+(3 \mathrm{x}-1)^{2}.\)

50. Tính:

\(a) \sqrt{4-2 \sqrt{3}}\)

\(b) \sqrt{11+6 \sqrt{2}}\)

\(c) \sqrt{27-10 \sqrt{2}}\)

\(d) \mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{m}^{2}+8 \mathrm{~m}+16}+\sqrt{\mathrm{m}^{2}-8 \mathrm{~m}+16}\)

\(e) B=\sqrt{n+2 \sqrt{n-1}}+\sqrt{n-2 \sqrt{n-1}} \quad(n \geq 1)\)

51. Rút gọn biểu thức : \(M=\frac{8 \sqrt{41}}{\sqrt{45+4 \sqrt{41}}+\sqrt{45-4 \sqrt{41}}}.\)

52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : \((2 \mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}+(\mathrm{y}-2)^{2}+\sqrt{(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^{2}}=0\)

53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\(\mathrm{P}=\sqrt{25 \mathrm{x}^{2}-20 \mathrm{x}+4}+\sqrt{25 \mathrm{x}^{2}-30 \mathrm{x}+9}\).

54.. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất

54. Giải các phương trình sau :

\(a) \sqrt{x^{2}-x-2}-\sqrt{x-2}=0\)

\(b) \sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}+1=\mathrm{x}^{2}\)

\(c) \sqrt{x^{2}-x}+\sqrt{x^{2}+x-2}=0\)

\(d) x-\sqrt{x^{4}-2 x^{2}+1}=1\)

\(e) \sqrt{x^{2}+4 x+4}+|x-4|=0\)

\(g) \sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}=-5\)

\(h) \sqrt{\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+9}=1\)

\(i) \sqrt{\mathrm{x}+5}+\sqrt{2-\mathrm{x}}=\mathrm{x}^{2}-25\)

\(k) \sqrt{\mathrm{x}+3-4 \sqrt{\mathrm{x}-1}}+\sqrt{\mathrm{x}+8-6 \sqrt{\mathrm{x}-1}}=1\)

\(1) \sqrt{8 x+1}+\sqrt{3 x-5}=\sqrt{7 x+4}+\sqrt{2 x-2}\)

55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện :\(x y=1 và x>y. CMR: \frac{x^{2}+y^{2}}{2} \geq 2 \sqrt{2}.\)

56. Rút gọn các biểu thức

\(a) \sqrt{13+30 \sqrt{2+\sqrt{9+4 \sqrt{2}}}}\)

\(c) \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}\)

\(d) \sqrt{227-30 \sqrt{2}}+\sqrt{23+22 \sqrt{2}}\)

57. Chứng minh rằng \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

58. Rút gọn các biểu thức :

\(a) \mathrm{C}=\frac{\sqrt{6+2(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2})}-\sqrt{6-2(\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2})}}{\sqrt{2}}\)

\(b) \mathrm{D}=\frac{\sqrt{9-6 \sqrt{2}}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}}.\)

59. So sánh :

\(a) \sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}} và \sqrt{1+\sqrt{6}}\)

\(b) \sqrt{\sqrt{17+12 \sqrt{2}}} và \sqrt{2}+1\)

\(c) \sqrt{\sqrt{28-16 \sqrt{3}}} và \sqrt{5-2}\)

60. Cho biểu thức :\(A=\sqrt{x-\sqrt{x^2-4 x+4}}\)

a) Tìm tập xác định của biểu thức A

b) Rút gọn biểu thức A.

61. Rút gọn các biểu thức sau: : \(a) \sqrt{11-2 \sqrt{10}}\)

\(b) \sqrt{9-2 \sqrt{14}}\)

\(c) \frac{\sqrt{3}+\sqrt{11+6 \sqrt{2}}-\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}}\)

62. Cho a+b+c=0 ; a, b, \(c \neq 0\). Chứng minh đẳng thức \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)

63. giải bất phương trình:

64. Tìm x sao cho : \(\sqrt{x^2-3}+3 \leq x^2.\)

65. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất \(\mathrm{A}=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2\), biết rằng:

\(x^2\left(x^2+2 y^2-3\right)+\left(y^2-2\right)^2=1\)

66. Tìm x để biểu thức có nghĩa

\(a) \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}-\sqrt{2 \mathrm{x}-1}}}\)

\(b) B=\frac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{2 x+1}}+\sqrt{x^2-8 x+8}\)

67. Cho biểu thức: \(A=\frac{x+\sqrt{x^2-2 x}}{x-\sqrt{x^2-2 x}}-\frac{x-\sqrt{x^2-2 x}}{x+\sqrt{x^2-2 x}}.\)

a) Tìm giá trị của biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị của x để \(\mathrm{A}<2.\)

68. Tìm 20 chữ số phân đầu tiên của số : \(\sqrt{0,9999 \ldots .9}\) (20 chữ số 9)

69. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị, giá trị nhỏ nhất của \(\mathrm{A}=|\mathrm{x}-\sqrt{2}|+|\mathrm{y}-1| với |\mathrm{x}|+|\mathrm{y}|=5\)

70. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\mathrm{A}=\mathrm{x}^4+\mathrm{y}^4+z^4 biết rằng \mathrm{x} y+\mathrm{y} z+z \mathrm{x}=1\)

71. Trong hai số :\(\sqrt{n}+\sqrt{n+2} và 2 \sqrt{n+1}\) (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn?

72. Cho biểu thức \(A=\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}\). Tính giá trị của A theo hai cách.

73. Tính \(: (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{5})\)

74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : \(\sqrt{3}+\sqrt{5} ; \sqrt{3}-\sqrt{2} ; 2 \sqrt{2}+3\)

.........................

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Toán 9 nâng cao