4x^2 - 3x - 2 = Căn X + 2 . B) Giải Hệ Phương Trình: Lxy - Tự Học 365

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

a) Điều kiện xác định: \(x \ge  - 2.\)

Phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}16{x^2} - 12x - 8 = 4\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 8x + 1 = 4\left( {x + 2} \right) + 4\sqrt {x + 2}  + 1 \Leftrightarrow {\left( {4x - 1} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {x + 2}  + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x - 1 = 2\sqrt {x + 2}  + 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - 5x - 1 = 0\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{8}\\4x - 1 =  - 2\sqrt {x + 2}  - 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  =  - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - x - 2 = 0\\ - 2 \le x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{8}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{8}\); \(x = \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{8}\).

b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0;\,\,x \ne 2\\y \ne 0;\,\,y \ne 2\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) ta có: \(xy - x - y =  - 5 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) =  - 4\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = a\\y - 1 = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = {a^2} - 1\\{y^2} - 2y = {b^2} - 1\\ab =  - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2} - 2x}} + \dfrac{1}{{{y^2} - 2y}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} - 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} - 1}} = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2}}{{{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2} + 1}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2}}{{17 - {a^2} - {b^2}}} = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 6 = 34 - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 8 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 8\\ \Leftrightarrow a + b = 8 + 2ab = 8 + 2\left( { - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow b =  - a \Leftrightarrow 2{a^2} = 8 \Leftrightarrow a =  \pm 2.\\TH1:\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right.\\TH2:\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left( { - 1;3} \right)\) và \(\left( {3; - 1} \right)\)