50 Bài Tập Hàm Số Liên Tục

• Lớp 12
  • Toán học 12
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cùng khám phá
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • SBT Toán - Cánh diều
    • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Ngữ văn 12
    • Soạn văn - Kết nối tri thức
    • Soạn văn - Cánh diều
    • Soạn văn - Chân trời sáng tạo
    • SBT Văn 12 - Kết nối tri thức
    • SBT Văn 12 - Cánh diều
    • SBT Văn 12 - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Văn 12 - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Văn 12 - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 12
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Friends Global
    • Tiếng Anh - iLearn Smart World
    • Tiếng Anh - Bright
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Global
    • SBT iLearn Smart World
    • >> Xem thêm
  • Vật lí 12
    • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
    • SGK Vật Lí - Cánh diều
    • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
    • SBT Vật lí - Cánh diều
    • SBT Vật lí - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Lí - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Lí - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Hóa học 12
    • SGK Hóa - Kết nối tri thức
    • SGK Hóa - Cánh diều
    • SGK Hóa - Chân trời sáng tạo
    • SBT Hóa - Kết nối tri thức
    • SBT Hóa - Cánh diều
    • SBT Hóa - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Hóa - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Sinh học 12
    • SGK Sinh - Kết nối tri thức
    • SGK Sinh - Cánh diều
    • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
    • Trắc nghiệm Sinh - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Sinh - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Sinh - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Sinh - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử 12
    • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • SGK Lịch sử - Cánh diều
    • SBT Lịch sử - Cánh diều
    • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Cánh diều
  • Địa lí 12
    • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SGK Địa lí - Cánh diều
    • SBT Địa lí - Cánh diều
    • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Cánh diều
  • GD kinh tế và pháp luật 12
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
    • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
  • Công nghệ 12
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • Tin học 12
    • SGK Tin học - Cánh diều
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SBT Tin học - Kết nối tri thức
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 12
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
  • GD Quốc phòng và An ninh 12
    • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
  • Giáo dục thể chất 12
    • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
• Lớp 11
  • Ngữ văn 11
    • Soạn văn - Kết nối tri thức - chi tiết
    • Soạn văn - Kết nối tri thức - siêu ngắn
    • Soạn văn - Cánh Diều - chi tiết
    • Soạn văn - Cánh Diều - siêu ngắn
    • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - chi tiết
    • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
    • Chuyên đề học tập Văn - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Văn - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Toán học 11
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cùng khám phá
    • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Toán - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 11
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Friends Global
    • Tiếng Anh - iLearn Smart Wolrd
    • Tiếng Anh - Bright
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Global
    • SBT iLearn Smart World
    • >> Xem thêm
  • Vật lí 11
    • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
    • SGK Vật Lí - Cánh diều
    • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Lí - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Lí - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
    • SBT Vật lí - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Hóa học 11
    • SGK Hóa học - Kết nối tri thức
    • SGK Hóa học - Cánh diều
    • SGK Hóa học - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Hóa - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Hóa - Chân trời sáng tạo
    • SBT Hóa - Kết nối tri thức
    • SBT Hóa - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Sinh học 11
    • SGK Sinh - Kết nối tri thức
    • SGK Sinh - Cánh diều
    • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
    • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Sinh - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Sinh - Chân trời sáng tạo
    • SBT Sinh - Kết nối tri thức
    • SBT Sinh - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử 11
    • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • SGK Lịch sử - Cánh diều
    • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
    • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • SBT Lịch sử - Cánh diều
  • Địa lí 11
    • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SGK Địa lí - Cánh diều
    • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
    • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Địa lí - Cánh diều
  • GD kinh tế và pháp luật 11
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
    • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
    • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
    • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 11
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
  • Công nghệ 11
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • Tin học 11
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Cánh diều
  • Giáo dục thể chất 11
    • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
  • GD Quốc phòng và An ninh 11
    • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
• Lớp 10
  • Ngữ văn 10
    • Soạn văn - Kết nối tri thức - siêu ngắn
    • Soạn văn - Kết nối tri thức - chi tiết
    • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
    • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - chi tiết
    • Soạn văn - Cánh Diều - siêu ngắn
    • Soạn văn - Cánh Diều - chi tiết
    • Tác giả tác phẩm
    • Văn mẫu - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Toán học 10
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
    • SBT Toán - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 10
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Friends Global
    • Tiếng Anh - iLearn Smart World
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • Tiếng Anh - Bright
    • Tiếng Anh - Explore New Worlds
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Global
    • >> Xem thêm
  • Vật lí 10
    • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
    • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
    • SGK Vật Lí - Cánh diều
    • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
    • SBT Vật lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Vật lí - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Lí - Kết nối tri thức
    • Bài tập trắc nghiệm Lí - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Hóa học 10
    • SGK Hóa - Kết nối tri thức
    • SGK Hóa - Chân trời sáng tạo
    • SGK Hóa - Cánh diều
    • SBT Hóa - Kết nối tri thức
    • SBT Hóa - Chân trời sáng tạo
    • SBT Hóa 10 - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Hóa 10 – Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Sinh học 10
    • SGK Sinh - Kết nối tri thức
    • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
    • SGK Sinh - Cánh diều
    • SBT Sinh - Kết nối tri thức
    • SBT Sinh - Chân trời sáng tạo
    • SBT Sinh - Cánh diều
    • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
    • Chuyên đề học tập Sinh - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử 10
    • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • SGK Lịch sử - Cánh Diều
    • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
    • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • SBT Lịch sử - Cánh Diều
    • Chuyên đề học tập Lịch sử - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Sử - kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Địa lí 10
    • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Địa lí - Cánh Diều
    • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
    • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • Trắc nghiệm Địa lí - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • Trắc nghiệm Địa lí - Cánh Diều
    • >> Xem thêm
  • Tin học 10
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Cánh Diều
    • SBT Tin học - Kết nối tri thức
  • Công nghệ 10
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • GD kinh tế và pháp luật 10
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - KNTT
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - CTST
    • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 10
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh Diều
  • Giáo dục thể chất 10
    • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
  • GD Quốc phòng và An ninh 10
    • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
• Lớp 9
  • Toán học 9
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Cùng khám phá
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
    • SBT Toán - Cánh diều
    • Vở thực hành Toán
    • >> Xem thêm
  • Ngữ văn 9
    • Soạn văn - Kết nối tri thức
    • Soạn văn - Chân trời sáng tạo
    • Soạn văn - Cánh diều
    • Tác giả - Tác phẩm văn
    • Vở thực hành văn
    • SBT Văn - Kết nối tri thức
    • SBT Văn - Chân trời sáng tạo
    • SBT Văn - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 9
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Friends Plus
    • Tiếng Anh - iLearn Smart World
    • Tiếng Anh - Right on!
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Plus
    • SBT iLearn Smart World
    • >> Xem thêm
  • Khoa học tự nhiên 9
    • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
    • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
    • SGK Khoa học tự nhiên 9 Chân trời sáng tạo
    • SBT KHTN - Kết nối tri thức
    • SBT KHTN - Cánh diều
    • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
    • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm KHTN - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử và Địa lí 9
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
  • GDCD 9
    • Giáo dục công dân - Kết nối tri thức
    • Giáo dục công dân - Chân trời sáng tạo
    • Giáo dục công dân - Cánh diều
  • Tin học 9
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Cánh diều
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SBT Tin học - Kết nối tri thức
    • SBT Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SBT Tin học - Cánh diều
  • Công nghệ 9
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 9
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
• Lớp 8
  • Ngữ văn 8
    • Soạn văn chi tiết - KNTT
    • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
    • Soạn văn chi tiết - CTST
    • Soạn văn siêu ngắn - CTST
    • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
    • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
    • SBT Văn - Kết nối tri thức
    • SBT Văn - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Toán học 8
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Cùng khám phá
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
    • SBT Toán - Cánh diều
    • Vở thực hành Toán
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 8
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Friends Plus
    • Tiếng Anh - iLearn Smart World
    • Tiếng Anh - Right on!
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Plus
    • SBT iLearn Smart World
    • >> Xem thêm
  • Khoa học tự nhiên 8
    • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
    • SGK Khoa học tự nhiên - Chân trời sáng tạo
    • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
    • SBT KHTN - Kết nối tri thức
    • SBT KHTN - Cánh diều
    • Vở thực hành Khoa học tự nhiên
    • Đề thi, đề kiểm tra KHTN - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra KHTN - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử và Địa lí 8
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
    • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
    • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
    • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Lịch sử - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • GDCD 8
    • Giáo dục công dân - Kết nối tri thức
    • Giáo dục công dân - Chân trời sáng tạo
    • Giáo dục công dân - Cánh diều
    • SBT GDCD - Kết nối tri thức
    • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
    • SBT GDCD - Cánh diều
  • Công nghệ 8
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • Tin học 8
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SGK Tin học - Cánh diều
    • SBT Tin học - Kết nối tri thức
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 8
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
  • Âm nhạc 8
    • SGK Âm nhạc - Kết nối tri thức
    • SGK Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
    • SGK Âm nhạc - Cánh diều
  • Mỹ thuật 8
    • SGK Mĩ thuật - Kết nối tri thức
    • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 1
    • SGK Mĩ thuật - Cánh diều
    • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 2
  • Giáo dục thể chất 8
    • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
• Lớp 7
  • Ngữ văn 7
    • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
    • Soạn văn chi tiết - KNTT
    • Soạn văn siêu ngắn - CTST
    • Soạn văn chi tiết - CTST
    • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
    • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
    • Tác giả - Tác phẩm văn
    • Văn mẫu - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Toán học 7
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
    • SBT Toán - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán- Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 7
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Friends Plus
    • Tiếng Anh - iLearn Smart World
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • Tiếng Anh - Right on!
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Plus
    • SBT iLearn Smart World
    • >> Xem thêm
  • Khoa học tự nhiên 7
    • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
    • SGK Khoa học tự nhiên - Chân trời sáng tạo
    • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
    • SBT KHTN - Kết nối tri thức
    • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
    • SBT KHTN - Cánh diều
    • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
    • Bài tập trắc nghiệm Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử và Địa lí 7
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh Diều
    • SBT Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • SBT Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tin học 7
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Cánh Diều
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SBT Tin học - Kết nối tri thức
  • Công nghệ 7
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • GDCD 7
    • SGK GDCD - KNTT
    • SGK GDCD - CTST
    • SGK GDCD - Cánh diều
    • Bài tập tình huống GDCD
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 7
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh Diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
  • Âm nhạc 7
    • Âm nhạc - Kết nối tri thức
    • Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
    • Âm nhạc - Cánh diều
• Lớp 6
  • Ngữ văn 6
    • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
    • Soạn văn chi tiết - KNTT
    • Soạn văn siêu ngắn - CTST
    • Soạn văn chi tiết - CTST
    • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
    • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
    • Tác giả - Tác phẩm văn
    • SBT Văn - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Toán học 6
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SBT Toán - Kết nối tri thức
    • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
    • SBT Toán - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 6
    • Global Success (Pearson)
    • Tiếng Anh - Friends plus
    • Tiếng Anh - iLearn Smart World
    • Tiếng Anh - Right on
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • Tiếng Anh - Explore English
    • SBT Global Success
    • SBT Friends Plus
    • >> Xem thêm
  • Khoa học tự nhiên 6
    • SGK KHTN - Kết nối tri thức
    • SGK KHTN - Chân trời sáng tạo
    • SGK KHTN - Cánh Diều
    • SBT KHTN - Kết nối tri thức
    • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
    • SBT KHTN - Cánh Diều
    • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm KHTN - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử và Địa lí 6
    • SGK Lịch sử và Địa lí - KNTT
    • SGK Lịch sử và Địa lí - CTST
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh Diều
    • SBT Lịch sử và Địa lí - KNTT
    • SBT Lịch sử và Địa lí - CTST
    • SBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa Lí - KNTT
    • Trắc nghiệm Lịch Sử và Địa Lí - CTST
    • >> Xem thêm
  • GDCD 6
    • SGK GDCD - KNTT
    • SGK GDCD - CTST
    • SGK GDCD - Cánh Diều
    • SBT GDCD - Kết nối tri thức
    • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
    • SBT GDCD - Cánh diều
  • Công nghệ 6
    • Công nghệ - Kết nối tri thức
    • Công nghệ - Cánh Diều
    • Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SBT Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SBT Công nghệ - Cánh diều
    • SBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
  • Tin học 6
    • Tin học - Kết nối tri thức + chân trời sáng tạo
    • Tin học - Cánh Diều
    • SBT Tin học - Kết nối tri thức
    • SBT Tin học - Cánh Diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 6
    • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
    • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • SBT Trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
    • SBT Trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
    • Thực hành Trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
  • Âm nhạc 6
    • Âm nhạc - Kết nối tri thức
    • Âm nhạc - Cánh Diều
    • Âm nhạc: Chân trời sáng tạo
  • Mỹ thuật 6
    • Mĩ thuật - Kết nối tri thức
    • Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo
    • Mĩ thuật - Cánh diều
• Lớp 5
  • Toán học 5
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Bình Minh
    • VBT Toán - Kết nối tri thức
    • VBT Toán - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tiếng việt 5
    • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • Tiếng Việt - Cánh diều
    • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • VBT Tiếng Việt - Cánh diều
    • Văn mẫu lớp 5
    • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 5
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Family and Friends
    • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • Tiếng Anh - Explore Our World
    • Tiếng Anh - Phonics Smart
    • SBT Tiếng Anh - Global Success
    • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
    • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử và Địa lí 5
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
  • Khoa học 5
    • SGK Khoa học - Kết nối tri thức
    • SGK Khoa học - Chân trời sáng tạo
    • SGK Khoa học - Cánh diều
    • VBT Khoa học - Kết nối tri thức
  • Đạo đức 5
    • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
    • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
    • SGK Đạo đức - Cánh diều
  • Tin học 5
    • SGK Tin học - Cánh diều
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
  • Công nghệ 5
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 5
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 1
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 2
• Lớp 4
  • Toán học 4
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Bình Minh
    • VBT Toán - Kết nối tri thức
    • Vở thực hành Toán
    • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán - Cánh diều
    • >> Xem thêm
  • Tiếng việt 4
    • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • Tiếng Việt - Cánh diều
    • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Cánh diều
    • Ôn tập hè Tiếng Việt
  • Tiếng Anh 4
    • Tiếng Anh - Global Sucess
    • Tiếng Anh - Family and Friends
    • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • Tiếng Anh - Phonics Smart
    • Tiếng Anh - Explore Our World
    • SBT Tiếng Anh - Global Success
    • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
    • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • >> Xem thêm
  • Lịch sử và Địa lí 4
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
  • Khoa học 4
    • SGK Khoa học - Kết nối tri thức
    • SGK Khoa học - Chân trời sáng tạo
    • SGK Khoa học - Cánh diều
  • Đạo đức 4
    • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
    • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
    • SGK Đạo đức - Cánh diều
  • Tin học 4
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SGK Tin học - Cánh diều
  • Công nghệ 4
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 4
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 1
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 2
  • Âm nhạc 4
    • SGK Âm nhạc - Kết nối tri thức
    • SGK Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
    • SGK Âm nhạc - Cánh diều
  • Mỹ thuật 4
    • SGK Mĩ thuật - Kết nối tri thức
    • SGK Mĩ thuật - Cánh diều
    • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 1
    • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 2
  • Giáo dục thể chất 4
    • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
    • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
• Lớp 3
  • Toán học 3
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh diều
    • VBT Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán - Cánh diều
    • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
    • Đề thi, đề kiểm tra Toán - Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Tiếng việt 3
    • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • Tiếng Việt - Cánh diều
    • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • VBT Tiếng Việt - Cánh diều
    • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 3
    • Tiếng Anh - Global Success
    • Tiếng Anh - Family and Friends
    • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • Tiếng Anh - Explore Our World
    • Tiếng Anh - Phonics Smart
    • SBT Tiếng Anh - Global Success
    • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
    • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • >> Xem thêm
  • Tin học 3
    • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • SGK Tin học - Cánh diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 3
    • SGK Hoạt động trải nghiệm- Kết nối tri thức
    • SGK Hoạt động trải nghiệm- Chân trời sáng tạo
    • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
  • Công nghệ 3
    • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
    • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • SGK Công nghệ - Cánh diều
  • Tự nhiên và xã hội 3
    • Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
    • Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
    • Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
  • Âm nhạc 3
    • Âm nhạc - Kết nối tri thức
    • Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
    • Âm nhạc - Cánh diều
  • Đạo đức 3
    • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
    • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
    • SGK Đạo đức - Cánh diều
• Lớp 2
  • Toán học 2
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • SGK Toán - Cánh Diều
    • VBT Toán - KNTT
    • VBT Toán - CTST
    • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
    • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
    • Trắc nghiệm Toán - Cánh Diều
    • >> Xem thêm
  • Tiếng việt 2
    • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • Tiếng Việt - Cánh Diều
    • Văn mẫu - Kết nối tri thức
    • Văn mẫu - Chân trời sáng tạo
    • Văn mẫu - Cánh diều
    • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • >> Xem thêm
  • Tiếng Anh 2
    • Tiếng Anh - Kết nối tri thức
    • Tiếng Anh - Family and Friends
    • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
    • Tiếng Anh - Phonics Smart
    • Tiếng Anh - English Discovery
    • Tiếng Anh - Explore Our World
    • Family & Friends Special
    • SBT Kết nối tri thức
    • >> Xem thêm
  • Tự nhiên và xã hội 2
    • Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
    • Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
    • Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
    • VBT Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
    • VBT Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
    • VBT Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
  • Đạo đức 2
    • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
    • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
    • SGK Đạo đức - Cánh Diều
    • VBT Đạo đức - Kết nối tri thức
    • VBT Đạo đức - Chân trời sáng tạo
    • VBT Đạo đức - Cánh Diều
  • Âm nhạc 2
    • Âm nhạc 2 - Kết nối tri thức
    • Âm nhạc 2 - Chân trời sáng tạo
    • Âm nhạc 2 - Cánh diều
    • VBT Âm nhạc - Kết nối tri thức
    • VBT Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
    • VBT Âm nhạc - Cánh diều
  • Mỹ thuật 2
    • Mĩ thuật- Kết nối tri thức
    • Mĩ thuật- Chân trời sáng tạo
    • Mĩ thuật - Cánh Diều
  • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 2
    • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo
    • VTH Hoạt động trải nghiệm - Cánh Diều
    • VBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
• Lớp 1
  • Tiếng việt 1
    • Đề thi, kiểm tra Tiếng Việt
    • SGK Tiếng Việt - Kết nối tri thức
    • SGK Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
    • SGK Tiếng Việt - Cánh diều
  • Toán học 1
    • SGK Toán - Kết nối tri thức
    • SGK Toán - Cánh diều
    • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
    • Trắc nghiệm Toán
  • Tiếng Anh 1
    • Chứng chỉ Cambridge Pre A1 Starters
  • Truyện cổ tích 1
    • Truyện cổ tích
  • Tự nhiên và xã hội 1
    • Tự nhiên & xã hội
    • VBT Tự nhiên & xã hội
  • Đạo đức 1
    • VBT Đạo Đức
• Công cụ
  • Ngữ văn
    • Từ đồng nghĩa, trái nghĩa
    • Thành ngữ Việt Nam
    • Ca dao, tục ngữ
    • Chính tả tiếng Việt
    • Từ láy
  • Tiếng Anh
    • Động từ bất quy tắc
    • Cụm động từ (Phrasal verbs)

• PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
  • Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
    • 100 bài tập hàm số lượng giác
    • 100 bài tập phương trình lượng giác cơ bản
    • 100 bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp
  • Chương 2: Tổ hợp - Xác suất
    • 100 bài tập quy tắc đếm
    • 200 bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
    • 100 bài tập nhị thức Newton
    • 200 bài tập xác suất của biến cố
  • Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng- Cấp số nhân
    • 100 bài tập phương pháp quy nạp toán học
  • Chương 4: Giới hạn
    • 100 bài tập giới hạn
    • 100 bài tập hàm số liên tục
  • Chương 5: Đạo hàm
    • 200 bài tập đạo hàm
    • 50 bài tập tiếp tuyên của đồ thị hàm số
    • 50 bài tập đạo hàm cấp cao
• PHẦN HÌNH HỌC
  • Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
    • 100 bài tập phép tịnh tiến
    • 100 bài tập phép đối xứng trục
    • 100 bài tập phép đối xứng tâm
    • 100 bài tập phép quay
    • 100 bài tập phép vị tự
  • Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
    • 100 bài tập đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
    • 100 bài tập hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
    • 100 bài tập đường thẳng song song với mặt phẳng
    • 100 bài tập hai mặt phẳng song song
  • Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
    • 40 bài tập vecto trong không gian
    • 60 bài tập hai đường thẳng vuông góc
    • 100 bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
    • 100 bài tập hai mặt phẳng vuông góc
• 100 bài tập khoảng cách

Trắc nghiệm Toán 11 có đáp án và lời giải chi tiết 100 bài tập hàm số liên tục

50 bài tập hàm số liên tục

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

• A 0
• B 1
• C 2
• D 3

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)\). Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại điểm \(x=1\)?

• A \(y=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{1-{{x}^{2}}}\)                                                                       
• B \(y=\sqrt{x-3}\)
• C \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1\)                                                           
• D  \(y=\frac{x+1}{x-1}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: “Các hàm số phân thức, đa thức, căn bậc đều liên tục trên tập xác định của nó”.

Do đó, ta chỉ cần chỉ ra tập xác định của hàm số và kiểm tra xem điểm \(x=1\( có thuộc tập xác định của hàm số hay không và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: Hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{1-{{x}^{2}}}\) có tập xác định \(D=R\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\) nên nó không liên tục tại \(x=1\).

Đáp án B: Hàm số \(y=\sqrt{x-3}\) có tập xác định \(D=\left[ 3;+\infty  \right)\) và \(1\notin D\) nên nó không liên tục tại \(x=1\).

Đáp án C: Hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1\) có tập xác định \(D=R\) nên nó liên tục tại \(x=1\).

Đáp án D: Hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) có tập xác dịnh \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\) nên nó không liên tục tại \(x=1\).

Chọn C.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 {\text{ khi }}x \le 1\\x + m{\text { khi }}x > 1\end{array} \right.\) liên tục tại điểm x0 = 1 khi m nhận giá trị

• A  m = 1
• B m = 2   
• C m bất kỳ    
• D m = –1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{ }}\,\,\,\,{\text{ khi }}x \ne a\\b\,\,\,{\rm{ }}\,\,{\text{khi }}x = a\end{array} \right.\) liên tục tại điểm x = a

+ Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) = L\)

+ Tìm điều kiện cần và đủ để \(L = f\left( a \right) = b\), từ đó suy ra điều kiện cần tìm

Lời giải chi tiết:

\(f\left( 1 \right) = {1^2} - 1 = 0\)

Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\)

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,\,x \ne  - 1 \hfill \cr   3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x =  - 1 \hfill \cr   1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\)

• A Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn \(\left( { - 1;0} \right)\)
• B Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.
• C Liên tục tại mọi điểm \(x \in R\)         
• D Liên tục tại mọi điểm trừ \(x =  - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và \(x =  - 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}\) có TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) , hàm phân thức liên tục trên TXĐ nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên D.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {{{x^3} + 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 3 = f\left( { - 1} \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + 1} \over {x + 1}} = 1 = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 5x + 6}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng nào sau đây?

• A \(\left( { - \infty ;3} \right)\)
• B \(\left( {2;3} \right)\)
• C \(\left( { - 3;2} \right)\)
• D \(\left( { - 3; + \infty } \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3; - 2} \right\} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)\) nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right);\,\,\left( { - 3; - 2} \right);\,\,\left( { - 2; + \infty } \right)\). Vì \(\left( {2;3} \right) \subset \left( { - 2; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\left( {2;3} \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{3 - x} \over {\sqrt {x + 1}  - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 3 \hfill \cr   m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng :

• A \(-4\)
• B \(4\)
• C \(-1\)
• D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{3 - x} \over {\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{\left( {3 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)} \over {x + 1 - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( -{\sqrt {x + 1}  - 2} \right) = -4\)

Đề hàm số liên tục tại x = 3 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow m =- 4\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{   - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0 \hfill \cr   {{{x^2}} \over {1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1 \hfill \cr   {x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1 \hfill \cr}  \right.\)

• A Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
• B Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
• C Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
• D Liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 1

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^2}} \over {1 + x}} = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} \right) = 0 \hfill \cr   f\left( 0 \right) = {0 \over {1 + 0}} = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 0.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2}} \over {1 + x}} = {1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không kiên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(y=\left\{ \begin{align} \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{x-1}\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x\ne 1 \\  2a+x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x=1 \\ \end{align} \right.\)  liên tục tại \(x=1\) là

• A

   \(\frac{1}{2}.\)                     

• B

   \(-\frac{1}{4}.\)                    

• C

   \(\frac{3}{4}.\)                       

• D  \(1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa của hàm số liên tục: Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\,\,\Leftrightarrow \,\,\underset{x\,\,\to \,\,{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{x-1}=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+2 \right)}\)

                  \(=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+2 \right)}=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}=\frac{1}{2}.\)

Để hàm số liên tục tại \(x=1\)\(\Leftrightarrow \)\(\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,y=y\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}=2a+1\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}.\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho phương trình \( - 4{x^3} + 4x - 1 = 0.\) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau

• A Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - 2;0} \right)\)
• B Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
• C Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
• D Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và có \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất 1 số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = 23,\,\,f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {5 \over 2} \Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( { - {1 \over 2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - 2; - {1 \over 2}} \right) \subset \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {5 \over 2},\,\,f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 2} \Rightarrow f\left( { - {1 \over 2}} \right).f\left( {{1 \over 2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 2};\,\,f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( {{1 \over 2}} \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( {{1 \over 2};1} \right).\)

Mà \(\left( { - 2; - {1 \over 2}} \right) \cap \left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right) \cap \left( {{1 \over 2};1} \right) = \emptyset  \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{\sqrt {1 + x}  - 1} \over x}\quad \;khi\;\;\,\,\,x > 0 \hfill \cr   a + 2x\quad \;\quad \,\,\,\,\,\,khi\;\;\,\,\,x \le 0 \hfill \cr}  \right.\)

Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số đã cho liên tục tại \(x = 0\)?

• A \({1 \over 2}\)
• B \({-1 \over 2}\)
• C \({3 \over 2}\)
• D \({2 \over 3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {1 + x}  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{1 + x - 1} \over {x\left( {\sqrt {1 + x}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {\sqrt {1 + x}  + 1}} = {1 \over 2}  \cr   & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a + 2x} \right) = a = f\left( 0 \right) \cr} \)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = {1 \over 2}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hàm số f(x) chưa xác định tại \(x = 0\) và  \(f(x) = {{{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2}}}\). Để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\), phải gán cho \(f\left( 0 \right)\) giá trị bằng bao nhiêu?

• A 2
• B 1
• C 0
• D 3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 2} \right) = 2\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  có đồ thị như hình dưới đây:

Chọn khẳng định đúng:

• A Hàm số liên tục tại \(x = 0\)  .
• B Hàm số liên tục tại \(x = 1\) .
• C Hàm số liên tục tại \(x = 4\) .  
• D Hàm số không liên tục tại \(x = 0\) .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, nhận xét tính liên tục của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) và gián đoạn tại các điểm \(x = 1,\,x = 4.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

• A \(f\left( x \right)\)  liên tục tại \(x = 1.\)
• B \(f\left( x \right)\)  liên tục tại \(x = 2\).                                 
• C \(f\left( x \right)\)liên tục tai \(x = 0\) .
• D \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) và \(x = 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục tại \(x = 1\) và \(x = 2\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm thuộc \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,2} \right\}.\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} = 1.\end{array}\)

Hàm số đã cho không xác định tại \(x = 1,\,\,x = 2\) nên hàm số gián đoạn tại \(x = 1,\,\,x = 2.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Hàm số nào sau đây không liên tục tại \(x = 0\)  ?

• A \(y = \tan x\)    
• B \(y = {x^2}\)  
• C \(y = \frac{1}{x}\)                  
• D \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét từng đáp án, và xét xem các hàm số có xác định tại \(x = 0\) hay không đó xét tính liên tục của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Trong các đáp án, ta thấy hàm số \(y = \frac{1}{x}\) không xác định tại  nên hàm số không liên tục tại \(x = 0.\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

• A \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) .
• B \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0;2} \right)\) .
• C \(f\left( x \right)\) liên tục trên  \(\left( {0; + \infty } \right)\)
• D \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) .

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dựa vào tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta thấy hàm số luôn xác định và liên tục trên tập xác định của nó.

Hàm số không xác định tại điểm \(x = 1  \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 1.\)

Vậy các đáp án A, B, C sai.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} \,\,{\rm{khi}}\,\,x > 5\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 1\end{array} \right.\) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?  

• A \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 7\) .
• B \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) .
• C \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 5\) .
• D \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 4\) .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} \,\,\,khi\,\,\,x > 5\\1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.\)

Ta có hàm số xác định và liên tục với mọi \(x \in \left( {5; + \infty } \right) \cup \left\{ 1 \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x = 7.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}}\,\,\,khi\,\,x > 2\\mx - 4\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\end{array} \right.\) liên tục tại \(x=2.\)

• A  \(m=1.\)                                 
• B  Không tồn tại \(m.\)              
• C  \(m=3.\)                                 
• D  \(m=-2.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \({{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-2 \right)}{x-2}=2;\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(mx-4)=2m-4\)và  \(f(2)=2m-4\).

Khi đó, để hàm số đã cho liên tục tại \(x=2\) thì \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\) \(\Leftrightarrow 2m-4=2\Leftrightarrow m=3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}  & \frac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}{x-1}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x\ne 1 \\  & ax+\frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x=1 \\ \end{align} \right..\) Xác định a để hàm số liên tục trên R.

• A \(a=-\frac{5}{2}\)                            
• B   \(a=\frac{5}{2}\)                               
• C \(a=\frac{15}{2}\)
• D \(a=-\frac{15}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Hàm số f(x) liên tục trên R khi và chỉ khi : \(f\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to x_{_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có: \(f\left( 1 \right)=a.1+\frac{5}{2}=a+\frac{5}{2}.\)

\(\begin{align}  & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}{x-1} \\  & =\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x-3 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-3x-3 \right)=1-3-3=-5. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục \(\Leftrightarrow a+\frac{5}{2}=-5\Leftrightarrow a=-\frac{15}{2}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ }}\text{ nếu }{\rm{ }}x > 1\\a{x^2} + bx + \dfrac{1}{4}{\rm\text{ nếu }}x < 1\\a - b - \dfrac{7}{4}{\rm\text{ nếu }}x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\). Tính \(A = 2018a + b\)

• A 52
• B 2017
• C 2018
• D 2019

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {a{x^2} + bx + \dfrac{1}{4}} \right) = a + b + \frac{1}{4}\\f\left( 1 \right) = a - b - \dfrac{7}{4}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại x = 1 nên ta có 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = a + b + \dfrac{1}{4} = a - b - \dfrac{7}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow A = 2018a + b = 2018 - 1 = 2017.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\{\rm{ax}} + 1\,\,\,khi\,x > 1.\,\,\end{array} \right.\)

Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = 1.\)

• A \(a = \dfrac{1}{2}.\)
• B \(a = - 1.\)
• C \(a = - \dfrac{1}{2}.\)
• D  \(a = 1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số để tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right).\)Sau đó xác định điều kiện của \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2},\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{\rm{ax}} + 1} \right) = a + 1\,\,\left( 2 \right).\)

Hơn nữa \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta nhận được \(a + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}  & \frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}\,\,\,\,khi\,\,\,x\ne 4 \\ & a+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x=4 \\\end{align} \right..\) Tìm tất cả giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4.\)

• A \(a=\frac{5}{2}\)                                
• B  \(a=-\frac{11}{6}\)                                       
• C \(a=3\)             
• D \(a=2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5} \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}\)

       \(=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\frac{1}{6}.\)

Mà \(f\left( 4 \right)=a+2.\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4\Leftrightarrow a+2=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=-\frac{11}{6}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{\sin 5x} \over {5x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr   a + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\). Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

• A \(1\)
• B \(-1\)
• C \(-2\)
• D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x} = 1\), xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}} = 1;\,\,f\left( 0 \right) = a + 2\)

Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(a + 2 = 1 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{\tan x} \over x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \hfill \cr   0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?

• A \(\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)
• B \(\left( { - \infty ;{\pi  \over 4}} \right)\)         
• C \(\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right)\)          
• D R

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0, sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x} = 1\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x}.{1 \over {\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {1 \over {\cos x}} = 1.{1 \over 1} = 1 \hfill \cr   f\left( 0 \right) = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0, do đó loại các đáp án B, C, D.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{3 - \sqrt {9 - x} } \over x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9 \hfill \cr   m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr   {3 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9 \hfill \cr}  \right.\). Tìm m để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

• A \({1 \over 3}\)
• B \({1 \over 2}\)
• C \({1 \over 6}\)
• D 1

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 9.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên \(\left( {0;9} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right)\), ta cần xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 9.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3 - \sqrt {9 - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{9 - \left( {9 - x} \right)} \over {x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {3 + \sqrt {9 - x} }} = {1 \over 6} \hfill \cr   f\left( 0 \right) = m \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \) Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow {1 \over 6} = m\).

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} {3 \over x} = {1 \over 3} \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} {{3 - \sqrt {9 - x} } \over x} = {{3 - 0} \over 9} - {1 \over 3} \hfill \cr   f\left( 9 \right) = {3 \over 9} = {1 \over 3} \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 9.

Vậy với \(m = {1 \over 6}\) thì hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1 \hfill \cr}  \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

• A Hàm số liên tục tại x = 1 và \(x =  - 1\)
• B Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm \(x =  - 1\).
• C Hàm số không liên tục tại x = 1 và \(x =  - 1\).
• D Tất cả đều sai.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x = 1 và \(x =  - 1\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\, - 1 \le x \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{  x > 1 \hfill \cr   x <  - 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right| = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos {{\pi x} \over 2} = \cos {\pi  \over 2} = 0 \hfill \cr   f\left( 1 \right) = \cos {\pi  \over 2} = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 1.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \cos {{\pi x} \over 2} = \cos {{ - \pi } \over 2} = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left| {x - 1} \right| = 2 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x =  - 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Chọn giá trị của \(f\left( 0 \right)\) để hàm số \(f\left( x \right) = {{\root 3 \of {2x + 8}  - 2} \over {\sqrt {3x + 4}  - 2}}\) liên tục tại điểm x = 0.

• A \(1\)
• B \(2\)
• C \({2 \over 9}\)
• D \({1 \over 9}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\root 3 \of {2x + 8}  - 2} \over {\sqrt {3x + 4}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {2x + 8 - 8} \right)\left( {\sqrt {3x + 4}  + 2} \right)} \over {\left( {{{\root 3 \of {2x + 8} }^2} + 2\root 3 \of {2x + 8}  + 4} \right)\left( {3x + 4 - 4} \right)}}  \cr   &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\left( {\sqrt {3x + 4}  + 2} \right)} \over {3\left( {{{\root 3 \of {2x + 8} }^2} + 2\root 3 \of {2x + 8}  + 4} \right)}} = {{2.\left( {2 + 2} \right)} \over {3\left( {{2^2} + 2.2 + 4} \right)}} = {2 \over 9} \cr} \)

Để hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = {2 \over 9}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

 Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+mx\ \ khi\ \ x\le 1 \\ & \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\ \ khi\ \ x>1 \\ \end{align} \right..\) Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại \(x=1.\)

• A \(\frac{1}{3}\)                                             
• B    \(-\frac{3}{4}\)                                               
• C \(0\)                                        
• D  \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( 1 \right)={{1}^{2}}+m.1=m+1.\)

\(\begin{align}  & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3-4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}. \\  & \underset{x\to 1-}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+mx \right)=1+m. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục \(\Leftrightarrow m+1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{e^{ax}} - {e^{3x}}}}{{2x}}\;\;\;khi\;\;x \ne 0\\\frac{1}{2}\;\;\;\;khi\;\;\;x = 0\end{array} \right..\) Tìm giá trị của a để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({{x}_{0}}=0\).

• A \(a=2\)                        
• B \(a=-\frac{1}{4}\)                               
• C \(a=4\)                        
• D \(a=-\frac{1}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{u}}-1}{u}=1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{ax}}-{{e}^{3x}}}{2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{ax}}-1-\left( {{e}^{3x}}-1 \right)}{2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{2}.\frac{{{e}^{ax}}-1}{ax}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{2}.\frac{{{e}^{3x}}-1}{3x}=\frac{a-3}{2}\)

Hàm số f(x) liên tục tại \({{x}_{0}}=0\)  khi và chỉ khi \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \frac{a-3}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=4\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{align}  \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\,\,khi\,\,\,x>0 \\  \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m\,\,khi\,\,x\le 0 \\ \end{align} \right.\,\,\)liên tục trên R.

• A \(m=\frac{3}{2}\).                             
• B  \(m=\frac{1}{2}\).                            
• C \(m=-2\).                                 
• D  \(m=-\frac{1}{2}\). 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại mọi điểm \({{x}_{0}}\) khi và chỉ khi \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\).

- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên D khi và chỉ khi \(y=f(x)\) liên tục tại mọi điểm \({{x}_{0}}\in D\).

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;0 \right),\,\,\left( 0;+\infty  \right)\). Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại điểm \(x=0\) (*)

Ta có:

\(\begin{align}  \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2} \\  \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m \right)=1-m \\  f(0)=\sqrt{{{0}^{2}}+1}-m=1-m \\ \end{align}\)

(*) \(\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow 1-m=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên tập \(\mathbb{R}\)?

• A \(y = 5{x^2} - 2.\)
• B \(y = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}.\)
• C \(y = x - \sqrt {x + 1} .\)
• D \(y = \tan x + 2018.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hàm đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm phân thức liên tục trên TXĐ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy ở đáp án A, hàm số \(y = 5{x^2} - 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}{\rm{\,\,\,khi  }}\,\,\,x \ge {\rm{0,}}\,\,x \ne 4\\\frac{1}{4}{\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi  }}\,\,\,x = 4\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất:

• A Hàm số liên tục tại \(x = 4\)
• B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại \(x = 4\)
• C Hàm số không liên tục tại \(x = 4\)
• D Hàm số không liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 4.\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định là liên tục với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\,\)

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 4:\)

Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{1}{4} = f(4)\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 4\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ge  - 1\\x + a\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,x <  - 1\end{array} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a\)  bằng:

• A \(-1\)
• B \(-2\)
• C \(0\)
• D \(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục hàm số tại \(x =  - 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right).\)

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x =  - 1.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) =  - 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 2.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x + a} \right) = a - 1\end{array}\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x =  - 1 \Leftrightarrow a - 1 =  - 2 \Leftrightarrow a =  - 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}}\,\,\,\,\,khi\,x < 2}\\{\,\,2 - x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

• A Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)   
• B Hàm số liên tục tại mọi điểm
• C Hàm số không liên tục trên \(\left( {2: + \infty } \right)\)                    
• D Hàm số gián đoạn tại  điểm \(x = 2\) .

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 2.\)

 Ta có : \(f(2) = 2 - 2 = 0.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 2 - 2 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{2(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 3}}{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} =  - \frac{1}{{24}}.\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\end{array}\) 

\( \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

• A \(f\left( x \right) = \tan x + 5\)
• B \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\)
• C \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \)
• D \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 4}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên TXĐ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\].

Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) có TXĐ \(D = \left[ {6; + \infty } \right)\).

Do đó ba hàm số trên không thể liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hãy chọn mệnh đề đúng.

• A

  Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng không liên tục tại \(x = 0\).

• B Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại \(x = 0\).
• C Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm tại \(x = 0\).
• D Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục và không có đạo hàm tại \(x = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Hàm số có đạo hàm tại \(x = {x_0}\) thì hàm số đó phải liên tục tại \(x = {x_0}\).

 

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \(x = {x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \Rightarrow \) Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\).

 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\,\,khi\,\,x < 2\\mx + m + 1\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 2\).

• A \(m = \dfrac{1}{6}\)
• B \(m =  - \dfrac{1}{6}\)
• C \(m =  - \dfrac{1}{2}\)
• D \(m = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \(x = {x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1\\f\left( 2 \right) = 3m + 1\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{6}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho phương trình \(m{x^3} - x + 1 = 0\) . Điều nào sau đây  đúng?

• A Phương trình vô nghiệm         
• B Phương trình luôn có ba nghiệm phân biệt                
• C Phương trình có ít nhất một nghiệm   
• D Phương trình có ít nhất hai nghiệm

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp \(m = 0\) và  \(m \ne 0\) .

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = m{x^3} - x + 1\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Ta có:

+) Với \(m = 0\) thì \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với \(m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc \(3 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Phương trình \(x\cos x - {x^2} + 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng nào? 

• A \(\left( { - 4; - 3} \right)\)
• B \(\left( {0;1} \right)\)  
• C \(\left( {1;2} \right)\)               
• D \(\left( {3;4} \right)\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt  \(f\left( x \right) = x\cos x - {x^2} + 1\) xét trên các khoảng.

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(f\left( x \right) = x\cos x - {x^2} + 1\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

Ta có: \(f\left( 1 \right) = \cos 1 > 0;\,\,\,\,f\left( 2 \right) = 2\cos 2 - 3 < 0 \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0 \Rightarrow \) phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow \)đáp án C đúng.

Với  \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì  \(f\left( x \right) = x\cos x + \left( {1 - {x^2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)  vô nghiệm trong \(\left( {0;\,\,1} \right).\)

Với  \(\left| x \right| \ge 3\) thì  \(f\left( x \right) \le  - {x^2} + \left| {x\cos x} \right| + 1 = \left| x \right|\left[ {\left| {\cos x} \right| - 1} \right] - \left| x \right|\left[ {\left| {\frac{x}{2}} \right| - 1} \right] + \left[ {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right] < 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)  vô nghiệm với mọi \(\left| x \right| \ge 3.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Xác định \(a,b\)để các hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\sin x\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,{\rm{ }}\,\left| x \right| \le \frac{\pi }{2}}\\{ax + b\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\left| x \right| > \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biểu thức \(\frac{4}{{{a^2}}} + {b^2}\) bằng?

• A \(4{\pi ^2} + 1\)           
• B \({\pi ^2} + 1\)             
• C \({\pi ^2}\)       
• D \(\frac{4}{{{\pi ^2}}} + 1\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định \(a\) và \(b\) để hàm số liên tục tại \(x =  \pm \frac{\pi }{2}.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\,\left| x \right| \le \frac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\,\,\left| x \right| > \frac{\pi }{2}\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\, - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \in \left( { - \infty ; - \frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2}; + \infty } \right)\end{array} \right..\)

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\,\left( {\frac{\pi }{2}; + \infty } \right)\) .

Ta có:  \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1;\,\,f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - 1.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \sin x =  - 1;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - \frac{\pi }{2}a + b.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \sin x = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = \frac{\pi }{2}a + b.\end{array}\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x =  \pm \frac{\pi }{2}\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}a + b = 1\\ - \frac{\pi }{2}a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + {b^2} = \frac{4}{{{{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)}^2}}} + 0 = {\pi ^2}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Tìm \(m\) để các hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{\,\,\,\,khi }}\,\,\,x \ne 1\\3m - 2{\rm{\,\,\,khi }}\,\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

• A \(m = 1\)          
• B \(m = \frac{{13}}{9}\)  
• C \(m = 2\)          
• D \(m = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\) .

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x = 1\)

Ta có: \(f(1) = 3m - 2\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1 + x + \sqrt[3]{{x - 2}}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + \frac{{x + \sqrt[3]{{x - 2}}}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^3} + x - 2}}{{(x - 1)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}}}} \right] = \frac{7}{3}.\end{array}\)       

Nên hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow 3m - 2 = \frac{7}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{9}.\)

Vậy \(m = \frac{{13}}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Xác định \(a,b\)để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}}{\rm{\,\,\,khi }}\,\,\,x \ne 0,\,\,x \ne 2\\a{\rm{\,\,\,\,\,khi }}\,\,\,x = 2\\b{\rm{ \,\,\,\,\,khi }}\,\,x = 0\end{array} \right.\,\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính giá trị \({a^3} + {b^3}\) có kết quả?

• A \(-2\)
• B \(7\)
• C \(1\)
• D \(0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của \(f\left( x \right)\) tại \(x = 0;\,x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\,\,\left( {0;2} \right) ;\,\left( {2; + \infty } \right)\) .

Ta có: \(f\left( 0 \right) = b;\,\,\,f\left( 2 \right) = a.\)

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right..\)

Khi đó:  \({a^3} + {b^3} = {1^3} + {\left( { - 1} \right)^3} = 0.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Xác định a để hàm số \(\,f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2}\\{\,\,\left( {1 - a} \right)x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Tổng các giá trị \(a\) thõa mãn là?

• A \(\frac{1}{2}\)              
• B \( - \frac{1}{2}\)           
• C \(-1\)
• D \(1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định a để hàm số liên tục tại \(x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại điểm \(x = 2.\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = \left( {1 - a} \right).2 = 2 - 2a.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - a} \right)x = 2\left( {1 - a} \right) = 2 - 2a.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {a^2}\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right) = 4{a^2}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) \(2 - 2a = 4{a^2} \Leftrightarrow 4{a^2} + 2a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\a =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{2} + \left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}.\)  

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  x\sin {2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr   a\cos x - 5\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr}  \right.\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục trên R.

• A a = 5
• B a = 7
• C \(a = {{11} \over 2}\)
• D Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0. Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Để hàm số liên tục trên R ta cần chứng minh hàm số liên tục tại x = 0.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos x - 5} \right) = a - 5 = f\left( 0 \right)\)

Ta có \(0 \le \left| {x\sin {2 \over x}} \right| \le \left| x \right|,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| x \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sin {2 \over x}} \right) = 0\)

Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a - 5 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right.\) liên tục trên R. Khi đó giá trị của a và b là:

• A \(\left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 1 \hfill \cr}  \right.\)
• B \(\left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 2 \hfill \cr}  \right.\)         
• C

  \(\left\{ \matrix{  a = {1 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

• D \(\left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các tập xác định của chúng.

+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x =  \pm {\pi  \over 2}\)

+) Để hàm số liên tục tại \(x =  \pm {\pi  \over 2}\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right);\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - {\pi  \over 2} \le x \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{  x > {\pi  \over 2} \hfill \cr   x <  - {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {\pi  \over 2}} \right) \cup \left( { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right) \cup \left( {{\pi  \over 2}; + \infty } \right)\)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại các điểm \(x =  \pm {\pi  \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right) \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Ta có

\(\eqalign{  & \left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a{\pi  \over 2} + b \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin {\pi  \over 2} = 1 \hfill \cr   f\left( {{\pi  \over 2}} \right) = \sin {\pi  \over 2} = 1 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow a{\pi  \over 2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr   & \left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) = \sin \left( { - {\pi  \over 2}} \right) =  - 1 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - a{\pi  \over 2} + b \hfill \cr   f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) = \sin {{ - \pi } \over 2} =  - 1 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow  - a{\pi  \over 2} + b =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  a{\pi  \over 2} + b = 1 \hfill \cr    - a{\pi  \over 2} + b =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên [a; b]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

• A Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
• B Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
• C Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
• D Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm \(x =  \pm \sqrt 5  \in \left( { - 3;3} \right)\)

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0 \hfill \cr   x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x =  - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\).

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

TH1: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) > 0 \hfill \cr   f\left( b \right) > 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

TH2: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) < 0 \hfill \cr   f\left( b \right) < 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\).

Vậy không có giá trị nào của x để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,5x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\{x^2} + 1\,\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

• A Hàm số gián đoạn tại \(x = 0\).
• B Hàm số liên tục tại \(x = 0\).
• C Hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).
• D

  Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \({x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: .

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {5x} \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \(x = 0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}.\)

• A \(\frac{3}{2}.\)
• B \(3\)
• C \(1\)
• D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Rút gọn biểu thức rồi tìm giới hạn.

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định tại \(x = {x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 1} \right) = 2.2 - 1 = 3.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Tìm \(m\) để các hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4}  + 3{\rm{\,\,\,\,khi }}\,\,x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{\,\,\,\,khi }}\,\,x < 2\end{array} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

• A \(m =  - \frac{1}{6}\)
• B \(m = 1\)                      
• C \(m = 0\)          
• D \(m = 5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2.\) 

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên  khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\).

Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m \ne 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}.\)

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Giả sử đa thức \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}.\) Khi đó ta có:

\( \Rightarrow g\left( 2 \right) > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m + 3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 6.\)

\( \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6\)

\( \Rightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6\) (*)  thì  \(g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*))

Vậy \(m = 5\) là  giá trị cần tìm.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 6}  - a}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\{x^3} - \left( {2b + 1} \right)x\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Trong đó \(a\) và \(b\)là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại \(x = 3\). Số nhỏ hơn trong hai số \({\rm{a}}\) và \(b\) là?

• A \(2\)
• B \(3\)
• C \(4\)
• D \(5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) \,;\,\,f\left( 3 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 3\left( {2b + 1} \right) = 24 - 6b\).

Đặt \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 6}  - a.\) Ta có: \(g\left( 3 \right) = 3 - a\).

Ta thấy nếu \(g\left( 3 \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 3\) thì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \infty \) nên hàm số không thể liên tục tai \(x = 3.\)

Nếu \(g\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3\) thì

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6}  - 3}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 6}  - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  + 2}}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 3\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 24 - 6b = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{35}}{9}\) .

Số nhỏ hơn  là \(a = 3\) .

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Tính tổng các giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = 0\) có nghiệm ?

• A \(1\)
• B \(3\)
• C \(6\)
• D \(10\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp \({m^2} \ge 4;\,\,\,{m^2} < 4.\) 

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2\)

Với  \(m = 1\) ta có phương trình  \( - 3{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = 0\).

Có \(f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) =  - 2 < 0 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm trong \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Với \(m = 2\) ta có  phương trình \({x^3} + {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x \approx  - 1,69 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm.

Với \(m \ge 3\) , ta có \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = \left( {{m^2} - 5} \right){x^4} + {\left( {{x^2} + \frac{x}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{x^2} + 2 > 0 \Rightarrow \) phương trình trên vô nghiệm.

Tổng các giá trị \(m\)  thỏa mãn bài toán là: \(1 + 2 = 3.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

• 30 bài tập khoảng cách vận dụng, vận dụng cao
• 40 bài tập khoảng cách thông hiểu
• 30 bài tập khoảng cách nhận biết
• 20 bài tập hai mặt phẳng vuông góc mức độ vận dụng cao
• 40 bài tập hai mặt phẳng vuông góc mức độ vận dụng

Bài giải mới nhất

• 30 bài tập khoảng cách vận dụng, vận dụng cao
• 40 bài tập khoảng cách thông hiểu
• 30 bài tập khoảng cách nhận biết
• 20 bài tập hai mặt phẳng vuông góc mức độ vận dụng cao
• 40 bài tập hai mặt phẳng vuông góc mức độ vận dụng

×

Báo lỗi góp ý

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Sai chính tả

Giải khó hiểu

Giải sai

Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Gửi góp ý Hủy bỏ Liên hệ Chính sách

Copyright © 2021 loigiaihay.com