50 Bài Tập Về Cách Tính Diện Tích Tam Giác Bằng Tỉ Số Lượng Giác (có ...

Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác chi tiết - Toán lớp 9

A. Lý thuyết

Ôn lại các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn và công thức tính diện tích tam giác.

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

Công thức tính diện tích tam giác (dùng cho tất cả tam giác):

Diện tích = 12 (đường cao) x (cạnh đáy tương ứng)

Tức là: Cho tam giác ABC có đường cao AH ứng với cạnh BC.

SABC=12.AH.BC

* Ngoài công thức trên, ta còn có thể sử dụng tỉ số lượng giác để tính diện tích của tam giác, quan sát ở Bài 1 phần ví dụ mịnh họa dưới đây.

B. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng SABC=12.AB.AC.sinBAC^

Giải:

+) Vẽ tam giác nhọn ABC như hình, có đường cao BH.

+) Xét tam giác ABH vuông tại H:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

Nhận xét: Như vậy ta có thêm một cách tính diện tích tam giác nữa.

Tổng quát như sau: Diện tích của một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Bài 2: Cho tam giác ABC như hình vẽ. Có B^=30o, AB = 5 cm, BC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải:

Cách 1:

+) Kẻ đường cao AH ứng với cạnh BC. Xét tam giác AHB vuông tại H:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

Cách 2: Ta áp dụng cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khi đó diện tích tam giác ABC là

SABC = 12AB.BC.sinABC^=12.5.8.sin30°=10 (cm2)

Bài 3: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60°, biết AB + AC = 8 cm. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.

Giải:

+) Kẻ đường cao BK ứng với AC. Xét tam giác BKA vuông tại K .

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương AB và AC ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là 43cm2.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH ứng với cạnh BC như hình vẽ. Nhận định nào sau đây là sai ?

Đáp án: D.

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh SABC=12.AC.BC.sinC^

Đáp án: AH=AC.sinC^ ⇒SABC=12.AH.BC=12AC.BC.sinC^

Bài 3: Cho tam giác nhọn MNP có đường cao NK ứng với cạnh MP. Chứng minh rằng: SMNP=12.NP.MP.cosPNK^

Đáp án: NK=NP.cosPNK^⇒SMNP=12.NK.MP=12.NP.MP.cosPNK^

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC . Biết AB=12cm, AC=9cm, A^=60o. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án: SABC=273(cm2)

Bài 5: Cho tam giác nhọn HKI. Biết H^=30o,K^=70o, IH=10cm, IK=7cm. Tính diện tích tam giác HKI.

Đáp án: SHKI≈34,47(cm2)

Bài 6: Cho tam giác ABC như hình vẽ. Biết AB=14cm, AC=6cm, BAC^=120o. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án: SABC=213(cm2)

Bài 7: Cho hình thoi ABCD. Biết BAC^=30o, AB=5cm, AC=7cm. Tính diện tích hình thoi ABCD.

Đáp án: SABCD=17,5(cm2)

Bài 8: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60°, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 1AB+1AC=3AD

Đáp án:

Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC. Có A^=45o, AB+AC=18(cm). Tính diện tích lớn nhất của tam giác ABC.

Đáp án: SABCmax=8124(cm2)

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 5 cm, góc A bằng 30°. Trên tia đối của các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN = 6 cm. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác BCMN.

Đáp án: SBCNMmax=16(cm2)