Công Thức Heron để Tính Diện Tích Tam Giác - Lớp 9

Luyện tập - Chủ đề 2: Biến đổi căn thức - Bài 8 trang 31 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1. Giải bài tập Công thức Heron để tính diện tích tam giác

Công thức Heron để tính diện tích tam giác là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \), trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh và \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\) là nửa chu vi tam giác.

Tính diện tích tam giác ABC, biết ba cạnh của nó là \(AB = a,AC = \dfrac{a}{2},BC = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC.

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \dfrac{{AB + BC + CA}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2} + \dfrac{a}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{3a + a\sqrt 7 }}{2}} \right) = \dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

\(\begin{array}{l}S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \\ = \sqrt {\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4}\left( {\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4} - a} \right)\left( {\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4} - \dfrac{a}{2}} \right)\left( {\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4} - \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}} \right)} \\ = \sqrt {\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4}.\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7  - 4} \right)a}}{4}.\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7  - 2} \right)a}}{4}.\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7  - 2\sqrt 7 } \right)a}}{4}} \\ = \sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{4^4}}}.\left( {3 + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 7 } \right)\left( {3 - \sqrt 7 } \right)} \\ = \dfrac{{{a^2}}}{2}\sqrt {\left( {{3^2} - 7} \right)\left( {7 - 1} \right)}  = \dfrac{{{a^2}}}{2}\sqrt {2.6} \\ = \dfrac{{{a^2}}}{2}.2\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3 .\end{array}\)