6 Da Thuc Dac Trung Gia Tri Rieng - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (3 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

6 da thuc dac trung gia tri rieng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (121.49 KB, 3 trang )

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂNTài liệu hướng dẫn đội tuyển OLP 2011ĐA THỨC ĐẶC TRƯNGGIÁ TRỊ RIÊNGDạng của đa thức đặc trưng:Với A là một ma trận vuông cấp n thì đa thức đặc trưng của A có dạng:λE − A = λ n − c1λ n −1 + c2 λ n −2 + ⋯ + ( −1) cnnVới c k là tổng tất cả các định thức con chính cấp k của A.Ở đây định thức con chính của A được hiểu theo nghĩa là định thức con của matrận A với các dòng và các cột được lập từ A có cùng các chỉ số, do đó:c k = ∑ Dii ii ⋯⋯iiCkn1 2k1 2kTừ dạng của đa thức đặc trưng ta suy ra tổng của các giá trị riêng của A bằngvết của nó và tích của các giá trị riêng này bằng định thức của A.Giá trị riêng của đa thức ma trận:Với đa thức f ( x ) = x 2 :Giá trị riêng của ma trận A 2 bằng (tính cả bội tương ứng) bình phương các giá trịriêng của A.Với đa thức f ( x ) = x p :Giá trị riêng của ma trận A p bằng (tính cả bội tương ứng) lũy thừa bậc p các giátrị riêng của A.Định thức của đa thức ma trận:Với λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng của A, f ( λ ) là một đa thức bất kỳ. Khi đóđịnh thức của ma trận f ( A ) được tính bởi công thức:f ( A ) = f ( λ1 ) f ( λ 2 )…f ( λ n )Chứng minh:mnj=1i =1Giả sử f ( λ ) = a 0 ∏ ( µ j − λ ) và ϕ ( λ ) = λE − A = ∏ ( λ − λ i ) . Thay λ = A vàof ( λ ) ta được:mf ( A ) = a 0 ∏ ( µ jE − A )j=1Lấy định thức hai vế đẳng thức trên ta được:Đa thức đặc trưng & Giá trị riêng của ma trận51ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂNTài liệu hướng dẫn đội tuyển OLP 2011mmmnj=1j=1j=1 i =1f ( A ) = a 0 ∏ ( µ jE − A ) = a 0n ∏ ϕ ( µ j ) = a 0n ∏∏ ( µ j − λ i ) s n= ∏ a 0 ∏ ( µ j − λ i )  = ∏ f ( λ i )i =1 j=1 i =1nSuy ra điều phải chứng minh.Giá trị riêng của đa thức ma trận:Nếu λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng của ma trận A và với f ( x ) là một đa thức bấtkỳ thì f ( λ1 ) ,f ( λ 2 ) ,…,f ( λ n ) là các giá trị riêng của ma trận f ( A ) .Chứng minh:Xét đa thức g ( x ) = λ − f ( x ) , với λ là số bất kỳ và áp dụng bài số 8 ta được:g ( A ) = g ( λ1 ) g ( λ 2 )… g ( λ n )Nghĩa là:λE − f ( A ) = ( λ − f ( λ1 ) ) ( λ − f ( λ 2 ) )…( λ − f ( λ n ) )Chú ý rằng λE − f ( A ) là đa thức đặc trưng của f ( A ) , do đó các giá trị riêng củaf ( A ) là f ( λ1 ) ,f ( λ 2 ) ,…,f ( λ n ) .Giá trị riêng của phân thức ma trận:Nếu λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng của ma trận A và f ( x ) =g(x)là một phânh(x)thức bất kỳ sao cho nó xác định tại x = A (nghĩa là hàm h ( x ) thỏa mãn điều kiệnh ( A ) ≠ 0 ) thì f ( A ) = f ( λ1 ) f ( λ 2 )… f ( λ n ) và các số f ( λ1 ) ,f ( λ 2 ) ,…,f ( λ n ) là cácgiá trị riêng của ma trận f ( A ) .Đa thức đặc trưng & Giá trị riêng của ma trận52ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂNTài liệu hướng dẫn đội tuyển OLP 2011BÀI TẬPBài tập 1: Tìm giá trị riêng của ma trận A′A với A = ( a1 a 2 ⋯ a n )1×n .Bài tập 2: Chứng minh rằng tất cả các giá trị riêng của A đều khác không khi và chỉkhi A không suy biến.Bài tập 3: Cho A là ma trận không suy biến, chứng minh rằng λ 0 là giá trị riêng củaA khi và chỉ khi λ 0−1 là giá trị riêng của A −1 .Bài tập 4: Cho ma trận vuông A, B cấp n bất kỳ. Chứng minh rằng đa thức đặc trưngcủa AB và BA trùng nhau.Bài tập 5: Cho A là ma trận cấp m × n và B là ma trận cấp n × m . Tìm liên hệ giữađa thức đặc trưng của AB và BA bằng cách xét hệ thức sau: λE m − AB A  E m B0λE n 0   Em=E n   B0  λE m 0E n AλE n − BA Bài tập 6: Chứng minh rằng:a) Mọi ma trận vuông cấp n, đối xứng với các phần tử là các số thực đều có đủ ngiá trị riêng là các số thực;b) Mọi ma trận vuông cấp n, phản đối xứng với các phần tử là các số thực đều cóđủ n giá trị riêng là các số thuần ảo. Từ đó suy ra định thức của ma trận phảnđối xứng thực là các số không âm.Bài tập 7: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho AB = BA , và tồn tạip ∈ ℕ sao cho A p = 0 thì:A 2 + AB + B2 = B2Bài tập 8: Tìm giá trị riêng của các ma trận: a1 a 2a n a1A =  a n −1 a n⋯ ⋯a 2 a3a3 ⋯a2 ⋯a1 ⋯⋯ ⋯a4 ⋯an a n −1 a n−2 ⋯a1  0 −1 0 0 1 0 −1 0B =  0 1 0 −1⋯ ⋯ ⋯ ⋯0 0 0 0Đa thức đặc trưng & Giá trị riêng của ma trận00 ⋯ 0 0⋯ ⋯ ⋯⋯ 1 0 ⋯⋯0053

Tài liệu liên quan

• Bai 6 Da thuc
  • 8
  • 262
  • 0
• sử DỤNG ĐẲNG THỨC đặc TRƯNG để GIẢI TOÁN
  • 3
  • 694
  • 5
• Kiem tra trac nghiem So hoc 6-Tim mot so biet gia tri phan so cua no
  • 3
  • 723
  • 5
• TẦN SỐ THỰC HIỆN VÀ GIÁ TRỊ CỦA PHẾT TẾ BÀO TRONG TRUY TẦM UNG THƯ CTC ppt
  • 4
  • 333
  • 0
• CHƯƠNG 1 TÍNH CHẤT VÀ ĐẶC TRƯNG GIA CÔNG pot
  • 3
  • 272
  • 0
• Giáo án môn Toán lớp 3 :Tên bài dạy : Luyện tập thực hiện tính giá trị của BT. Xếp hình theo mẫu. ppsx
  • 4
  • 616
  • 1
• SỬ DỤNG ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI TOÁN
  • 2
  • 345
  • 4
• bai 6 - da thuc
  • 11
  • 174
  • 0
• PHẨM CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA TRÍ THỨC VIỆT NAM TIÊU BIỂU
  • 6
  • 245
  • 2
• Tiết 17 vectơ riêng và giá trị riêng đa thức đặc trưng
  • 7
  • 500
  • 2

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(121.49 KB - 3 trang) - 6 da thuc dac trung gia tri rieng Tải bản đầy đủ ngay ×