A. Cho Tứ Diện ABCD Có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng Minh Rằng AD ...
Có thể bạn quan tâm
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :
i. ABCD là tứ diện trực tâm.
ii. Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii. \(A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\)
c. Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
a. Kẻ AH ⊥ (BCD), H ϵ (BCD)
Ta có \(\left\{ {\matrix{ {CD \bot AH} \cr {CD \bot AB} \cr } } \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)
Mà BH ⊂ (ABH) nên CD ⊥ BH (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Tương tự \(\left\{ {\matrix{ {BD \bot AH} \cr {BD \bot AC} \cr } } \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow BD \bot CH\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm tam giác BCD.
Ta có: \(\left\{ {\matrix{ {BC \bot AH} \cr {BC \bot DH} \cr } } \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)
b. Theo chứng minh câu a ta có i ⇔ ii
Mặt khác ta có
\(\eqalign{ & A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} \cr & \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} \cr & \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow AD \bot BC \cr} \)
Tương tự AB ⊥ CD và AC ⊥ BD
Vậy i ⇔ iii
c. Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng thuộc mp(ABI)
tương tự bốn đường cao của tứ diện trực tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.
Từ khóa » Tính Chất Của Tứ Diện Trực Tâm
-
Tứ Diện Trực Tâm Là Gì? - Toán Học Việt Nam - MathVn.Com
-
[PDF] TỨ DIỆN TRỰC TÂM
-
Tứ Diện Trực Tâm - Chuyên đề Hình Học 11 - Tài Liệu Học Tập
-
Tứ Diện Trực Tâm - Hình Học Không Gian - Diễn đàn Toán Học
-
[PDF] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC YẾU ...
-
II, Tứ Diện Trực Giao (tứ Diện Trực Tâm) - Tài Liệu Text - 123doc
-
Tính Chất Trực Tâm Trong Tam Giác
-
Tứ Diện Trực Tâm | Cộng đồng Học Sinh Việt Nam - HOCMAI Forum
-
Tính Chất Trực Tâm Của Tam Giác - TopLoigiai
-
Lí Thuyết Tứ Diện Vuông Và ứng Dụng
-
Trọng Tâm Của Tứ Diện Là Gì? Cách Xác định Trọng Tâm Của Tứ Diện
-
Lý Thuyết Giản Lược Về Tứ Diện (A Brief Theory Of Tetrahedron)
-
Trực Tâm Là Gì? Định Nghĩa, Tính Chất Và Cách Xác định Trực Tâm Tam ...