II, Tứ Diện Trực Giao (tứ Diện Trực Tâm) - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Khoa Học Tự Nhiên >
3. Toán học >

II, Tứ diện trực giao (tứ diện trực tâm)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (433 KB, 47 trang )

Cho A.BCD là tứ diện trực tâm (AB^^CD, AC^BD, ADBC).- Các đường cao của tứ diện đồng quy.- Mỗi đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáytương ứng.- Các đoạn nối trung điểm các cạnh đối bằng nhau.- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau- Các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồngquy.- Trung điểm của các cạnh và các chân đường vuông gócchung của các cặp cạnh đối diện nằm trên một mặt cầu.- Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau22222AB + CD = AC + BD = AD + BC2- Với mọi điểm M nằm trong tứ diện ta có:MA.S BCD + MB.S ACD + MC.S ABD ≥ 9Vvới V là thể tíchcủa tứ diện (dấu “=” xảy ra kh M trùng với trực tâm của tứdiện).3, Ví dụ1, Chứng minh rằng trong một tứ diện nếu có hai cặp cạnhđối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.GiảiCho tứ diện A.BCD. giả sử ta có: AC ^ BD AB ^ CDTa sẽ chứng minh BCVẽ AH^^(BCD). Ta có:AD. AH ^ CD⇒ CD ^ ( ABH ) ⇒ CD ^ BHAB^CD AH ^ BD⇒ CD ^ ( ACH ) ⇒ CD ^ CHAC^BDDo đó H là trực tâm tam giác BCD nên ta có:BC ^ DH⇒ BC ^ ( ADH ) ⇒ BC ^ ADBC^AH(đpcm).AjBDHC2, Chứng minh rằng một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉnếu hình chiếu của mỗi đỉnh lên mặt đối diện là trực tâm củamặt đó.GiảiThuận:Cho tứ diện trực tâm A.BCD. Gọi A’, B’, C’, D’ là hình chiếu củaA, B, C, D lên các mặt đối diện. Ta chứng minh A’ là trực tâmcủa BCD rồi suy ra ba kết quả còn lại.CD ^ AB⇒ CD ^ ( ABA ') ⇒ CD ^ A 'B.CD^AA'Tương tự ta cóBD ^ A'CVậy A’ là trực tâm của tam giác BCD.Đảo:Gọi A’ là trực tâm của tam giác BCD trong tứ diện trực giaoA.BCD. ta chứng minh A’ là hình chiếu của A xuống (BCD).Ta có:CD ^ AB⇒ CD ^ ( ABA ' ) ⇒ CD ^ AA 'CD^A'BTương tự ta cóTừ (1) (2) ta cóBD ^ AA'(2).( BCD ) ^(1)AA '.Vậy A’ là hình chiếu của A lên (BCD).Đối với các điểm B, C, D hoàn toàn tương tự.ADC'BA'B'D'C3, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉnếu tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôimột.GiảiThuận:Cho tứ diện trực tâm ABCD. Vẽ BITa có:CD ^ AB⇒ CD ^CD ^ BI( ABI ) ⇒ CD ^^CDAI.Gọi M là trung điểm của CD.Ta có:22AC − AD = 2CD.MI2;2BC − BD = 2CD.MITừ đó ta có:222AC − AD = BC − BD2222AC + BD = BC + AD2hay(1)Ta chỉ mới sử dụng một cặp cạnh đối vuông góc nhau, đó làCD^AB , mà ta đã dược (1). Nếu ta sử dụng thêm một cặpđối khác vuông góc nhau, chẳng hạn như BCđược:222AB + CD = AC + BD^AD thì ta2(2)Từ (1) và (2) ta có :22222AC + BD = BC + AD = AB + CD2(3) (đpcm)Đảo:Cho tứ diện A.BCD sao cho các cạnh thõa mãn (3).Ta chứng minh tứ diện ấy là tứ diện trực tâm.Vẽ đường cao BI trong tam giác BCD, đường cao AJ trong tamgiác ACD.Vẫn gọi M là trung điểm BC ta có:22BC − BD = 2CD.MI2(I)2AC − AD = 2CD.MI(II)Theo giả thiết (3) ta có:22222222AC + BD = BC + AD = AC − AD = BC − BD .Từ (I) và (II) suy ra:MI = MJ ⇒ I = JLúc đó: CD ^ AI⇒ CD ^ AB.CD^BINếu như ta sử dụng (2) ta sẽ được BCđể kết luận A.BCD là tứ diện trực tâm.^AD. Như vậy cũng đủ4, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ nếucác đường cao của nó đồng quy.GiảiThuận:Cho A.BCD là tứ diện trực giao, AA’, BB’, CC’, DD’ là cácđường cao của tứ diện. Để chứng minh chúng đồng quy tachứng minh chúng cắt nhau từng đôi một. Chẳng hạn ta chứngminh AA’ và BB’ cắt nhau.Ta có:CD ^ AB⇒ CD ^ ( ABA ') ≡ ( ABI )CD ^ AA'(I là giao điểm của B’A với CD)⇒ ( ABI ) ^( ACD )Nhưng BB’^(ACD) nên:B ∈ AIVậy AA’ và BB’ chính là 2 đường cao của tam giác ABI nên cắtnhau. Tương tự chứng minh các cặp đường thẳng còn lại cắtnhau.Giao điểm H của 4 đường cao trong tứ diện gọi là trực tâm củatứ diện.Đảo:Cho tứ diện A.BCD có 4 đường cao là AA’, BB’, CC’, DD’ đồngquy. Ta chứng minh tứ diện ấy là tứ diện trực tâmXét 2 đường cao AA’ và BB’, cắt nhau ở H. Ta có:AA ' ^( BCD ) ⇒ AA' ^CDBB' ^( ACD ) ⇒ BB' ^CDDo vậy CD^ABChứng minh tương tự với các cặp cạnh còn lại.Suy ra điều cần chứng minh.5, Chứng minh trong một tứ diện trực tâm, các điểm chínhgiữa của các cạnh và chân các đoạn vuông góc chung của cáccặp cạnh đối diện đều nằm trên một mặt cầu.GiảiGọi M, N, P, Q, S lần lượt là điểm chính giữa của AB, BC, CD,AC, BD. Sẽ thấy rằng MP, NQ, RS cắt nhau tại trung diểm mỗiđoạn. Gọi điểm này là điểm O, đó chính là trọng tâm của tứdiện.Ngoài ra do AC^BD nên MN^MQ và tương tự.Suy ra MNPQ, MSPR, .... là những hình chữ nhật nên:MN = NQ = RS ⇒ OM = ON = OP = OQ = OR = OSNhư vậy 6 điểm M, N, P, Q, S, R cùng nằm trên một mặt cầutâm O.Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.Gọi KL là đoạn vuông góc chung của BC và AD.Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AC và BD.Ta chứng minh 6 điểm I, J, K, L, E, F cùng nằm trên một mặtcầu tâm O nói trên.Trước hết ta có:CD ^ AB⇒ CD ^ BJCD^IJTa chứng minh tương tự cũng có CFGọi G, H,ω1^BD, DK^BC.lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường trònngoại tiếp tam giác BCD.O1 là hình chiếu của O lên (BCD).Ta biết rằng AH^(BCD) vàO ∈ AGnênO 1 ∈ GH.Ta có:GO 1 GO 1==O 1 H OA 3GO1 GP 1==GH GB 3Do đóVậyO1 H=O1ω 1O1là tâm đường tròn Euler của đường tròn đi qua I, J, K,L, E, F tức là:O1 N = O1 K = O1 J = O1 P = O 1 S = O1 FSuy ra:ON = OK = OJ = OP = OS = OF .Nói cách khác K, J, F thuộc mặt cầu (O)Chứng minh tương tự cho L,E, I.III, Tứ diện đều1, Khái niệmTứ diện đều là tứ diện có 6 cạnh bằng nhau, do đó có 4 mặt làcác tam giác đều bằng nhau.2, Tính chất- Các mặt là các tam giác đều bằng nhau.- Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau và đềubằng 60o- Các mặt bên nghiêng đều với đáy.- Chân đường cao hạ từ một đỉnh bất kì trùng với trực tâm,trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường trònngoại tiếp cảu mặt đó.- Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm củatứ diện trùng nhau.- Đường cao của tứ diện bằnga3212a 63và thể tích bằng.R=- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệna 64và bán kínha 6.12mặt cầu nội tiếp tứ diệ là- Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc vớinhau.- Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bấtkì là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứahai cạnh ấy.a 22- Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kì bằng- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều A.BCD cạnh a là hình lậpphương có cạnh bằnga 2.23, Ví dụ1, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a.a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.b, Tính chiều cao, thể tích, bán kính hình cầu ngoại tiếp củatứ diện ấy.Giải

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• Các bài tập dạng tứ diện và hình hộp
  • 47
  • 5,852
  • 17
• Chương 7 Các dòng tập tin (Stream) Đọc dữ liệu từ tệp
  • 6
  • 421
  • 0
• Chương 7 Các dòng tập tin (Stream) Đọc ghi đồng thời trên tệp
  • 5
  • 338
  • 0
• Chương 10 Một số chương trình hướng đối tượng trên C++ Các lớp ngăn xếp và hàng đợi
  • 9
  • 850
  • 3
• Chương 10 Một số chương trình hướng đối tượng trên C++ Các lớp sắp xếp
  • 5
  • 574
  • 5
• Chương 10 Một số chương trình hướng đối tượng trên C++ Lớp cửa sổ
  • 7
  • 325
  • 0
• Chương 10 Một số chương trình hướng đối tượng trên C++ Lớp hình học
  • 6
  • 434
  • 0

Tải bản đầy đủ (.docx) (47 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(749.98 KB) - Các bài tập dạng tứ diện và hình hộp-47 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×