Tính Chất Trực Tâm Trong Tam Giác

Tính chất trực tâm trong tam giác bao gồm lý thuyết kèm theo nhiều dạng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận khác nhau có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tự luyện. Qua đó các bạn học sinh lớp 7 củng cố và mở rộng kiến thức giải toán trực tâm tam giác.

Trực tâm trong tam giác là một trong những dạng bài tập quan trọng nằm trong chương trình SGK Toán 7 chương trình mới. Chính vì thế qua tài liệu mà Download.vn đăng tải dưới đây sẽ giúp các em tự tin kiểm tra và nắm vững kiến thức mình đã học về tính chất trực tâm tam giác. Vậy sau đây là trọn bộ kiến thức về tính chất trực tâm tam giác mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu: tam giác vuông cân, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tính chất trực tâm trong tam giác

• 1. Trực tâm là gì?
• 2. Khái niệm đường cao của một tam giác 
• 3. Tính chất trực tâm trong tam giác
• 4. Cách xác định trực tâm của tam giác
• 5. Bài tập thực hành có đáp án
• 6. Bài tập tự luyện

1. Trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác.

Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.

Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

2. Khái niệm đường cao của một tam giác

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.

3. Tính chất trực tâm trong tam giác

Trực tâm của tam giác là một điểm đặc biệt trong tam giác và có một số tính chất như sau:

- Tính chất 1: Trực tâm là điểm trùng điểm giao của ba đường thẳng đồng trung và đồng quy trong tam giác, bao gồm:

+ Đường trung trực: Đường thẳng đi qua trực tâm và đỉnh tương ứng của cạnh.

+ Đường phân giác: Đường thẳng chia một góc trong tam giác thành hai phần bằng nhau, kết hợp với trực tâm.

+ Đường cao: Đường thẳng từ một đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện, cắt nhau tại trực tâm.

- Tính chất 2: Trực tâm cắt đường trung trực của hai cạnh thành hai đoạn có độ dài bằng nhau. Điều này có nghĩa là trực tâm cách các đỉnh của tam giác một khoảng bằng nhau.

- Tính chất 3: Trực tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, nghĩa là nếu ta vẽ một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, trực tâm sẽ nằm trên đường tròn đó và là tâm của nó.

- Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn nằm bên trong tam giác, trong khi trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.

- Tính chất 5: Trực tâm của tam giác vuông nằm trên cạnh huyền và chính giữa hai đỉnh vuông góc của tam giác.

- Tính chất 6: Trực tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà nếu ta vẽ các đường từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác, tổng độ dài các đường đó là nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là trực tâm nằm gần nhất với các đỉnh của tam giác so với bất kỳ điểm nào khác.

- Tính chất 7: Trực tâm cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tức là đường tròn lớn nhất mà có thể vẽ được qua ba đỉnh của tam giác.

=> Trực tâm của tam giác có vai trò quan trọng trong việc xác định các đường thẳng và đường tròn liên quan đến tam giác, cũng như các tính chất đặc biệt của tam giác. Nó được sử dụng trong các bằng chứng và bài toán liên quan đến tam giác và hình học tam giác.

4. Cách xác định trực tâm của tam giác

a. Trực tâm của tam giác nhọn

 Đầu tiên, kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện. Đường cao là đoạn thẳng vuông góc với cạnh tương ứng và đi qua đỉnh không nằm trên cạnh đó. Hai đường cao này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, đó chính là trực tâm của tam giác. Trực tâm nằm trong miền của tam giác nhọn và có vị trí gần trung điểm của các cạnh.

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

b. Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông. Điều này xuất phát từ việc hai cạnh tạo thành góc vuông cũng chính là đường cao của tam giác. Do đó, ta không cần kẻ thêm đường cao hay tìm giao điểm nào khác, trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

c. Trực tâm của tam giác tù

 Tương tự như tam giác nhọn, ta kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện. Tuy nhiên, trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác. Để xác định trực tâm, ta cần vẽ thêm một đường cao từ điểm đỉnh góc tù xuống cạnh đối diện. Đường cao này cắt đường cao khác tại một điểm, đó chính là trực tâm của tam giác tù. Trực tâm nằm ở ngoài miền tam giác và nằm gần trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm chân của hai đường cao cắt nhau.

Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác

5. Bài tập thực hành có đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc \(\widehat {AEB}\)

A. 300B. 450C. 600D. 900

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cânB. Tam giác vuông cânC. Tam giác vuôngD. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho \(\widehat {ABD}\) = \(\widehat {DBE}\) = \(\widehat {EBC}\). Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại FB. Tam giác vuông tại DC. Tam giác cân tại DD. Tam giác cân tại C

Đáp án: A

Bài 3: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MCB. ME = MDC. DM = MBD. M không thuộc đường trung trực của DE

Giải

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra BM = MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A.

Xét ΔBCE có M là trung điểm của BC (gt) suy ra EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Xét ΔBCD có M là trung điểm của BC (gt) suy ra DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOEB. ΔBOA = ΔCOEC. ΔAOB = ΔCOED. ΔABO = ΔCEO

Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có

+ OA = OC (vì O thuộc đường trung trực của AC )

+ OB = OE (vì O thuộc đường trung trực của BE )

+ AB = CE (giả thiết)

Do đó ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)

Chọn đáp án C

B, Tự luận

Bài 1

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

\(\begin{aligned} &\widehat{\mathrm{CAE}} \equiv \widehat{\mathrm{CAB}} \text { là góc tù. }\\ &\text { Trong } \triangle \mathrm{ACE} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{CAE}}+\widehat{\mathrm{ACE}}+\widehat{\mathrm{CEA}}>90^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}+90^{\circ}\\ &=180^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}>180^{\circ} \end{aligned}\)

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 2: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

GIẢI

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

\(\begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông tại } \mathrm{P} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}\)

Bài 3:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

GIẢI 

Vẽ hình minh họa:

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 4:

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Gợi ý đáp án 

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

\(\begin{aligned} &\widehat{\mathrm{CAE}} \equiv \widehat{\mathrm{CAB}} \text { là góc tù. }\\ &\text { Trong } \triangle \mathrm{ACE} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{CAE}}+\widehat{\mathrm{ACE}}+\widehat{\mathrm{CEA}}>90^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}+90^{\circ}\\ &=180^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}>180^{\circ} \end{aligned}\)

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 5: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

\(\begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông tại } \mathrm{P} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}\)

Bài 7:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Gợi ý đáp án

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 8: 

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

a) ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)

Bài 9 

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án:

BE là đường cao của \(∆ ABC \Rightarrow ∆ ABE\) vuông tại E.

CF là đường cao của \(∆ ABC \Rightarrow ∆ AFC\) vuông tại F.

AD là đường cao của \(∆ ABC \Rightarrow ∆ ADC\) vuông tại D.

+ Xét ∆ ABE vuông tại E và ∆ AFC vuông tại F có:

BE = CF

\(\widehat{EAF}\) chung

\(\Rightarrow ∆ ABE = ∆ AFC\) (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

\(\Rightarrow AB = AC (1)\)

+ Xét ∆CDA vuông tại D và ∆ AFC vuông tại F có:

AC chung

AD = CF

\(\Rightarrow ∆CDA = ∆AFC\) (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

\(\Rightarrow \widehat{CAF}= \widehat{ACD}\)

\(\Rightarrow ∆ ABC\) cân tại B

=> AB = BC (2)

Từ (1), (2) ta có: AB = AC = BC

\(\Rightarrow ∆ ABC\) đều.

Bài 10 

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Gợi ý đáp án:

a) Gọi F là giao điểm của DE và BC

+ AD = AE => ∆ADE cân tại A

∆ABC vuông cân tại A => BA ⊥ AC hay EA ⊥ AD

=> ∆ ADE vuông cân tại A

\(=> \widehat{AED} = \widehat{ADE} = 45°\)

+ ∆ ABC vuông cân tại A

\(=> \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°\)

+ Xét ∆EFC có: \(\widehat{FEC} + \widehat{FCE} + \widehat{EFC} = 180°\)

\(=> 45° + 45° + \widehat{EFC} = 180°\)

\(=> \widehat{EFC} = 180° - 90° = 90°\)

=> EF ⊥ BC hay DE ⊥ BC.

b) Xét tam giác BCD có: CA ⊥ BD => CA là đường cao của ∆ BCD

DE ⊥ BC => DE là đường cao của ∆ BCD

Mà DE giao với CA tại E

=> E là trực tâm của ∆ BCD

=> BE ⊥ CD.

Bài 11 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Gợi ý đáp án:

Gọi MH giao với BC tại điểm I.

+ Xét ∆MBH và ∆CBH có:

MB = MC

\(\widehat{MBH} = \widehat{CBH}\)

BH chung

=> ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)

\(=> \widehat{BMH} = \widehat{BCH}\)

+ Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^{o}\)

+ Ta có: \(\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^{o}\)

+ Xét tam giác BMI có: \(\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = 90^{o}\)

\(=> \widehat{BIM} = 90^{o}\).

=> MI ⊥ BC hay MH vuông góc với BC.

Bài 12

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài tập 13:

Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Giải

a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Vậy IJ là đường trung trực của EF

b)

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng

Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).

Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và MA = MB = MC. Tìm trực tâm của tam giác ABC.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có góc A bằng 700, AB < AC, đường phân giác góc A cắt BC tại D, BF ⊥ AC tại E, F thuộc AC sao cho AE = AB. Xác định trực tâm tam giác ABE và tính số đo góc DHF.

Bài tập 10 

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Bài tập 11

Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.