Ánh Xạ Và Nội Dụng Dạy Học ánh Xạ ở Phổ Thông - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (69 trang)

Trang chủ

Khoa Học Tự Nhiên

Toán học

Ánh xạ và nội dụng dạy học ánh xạ ở phổ thông

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.48 KB, 69 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁNLa Thị PhượngÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌCÁNH XẠ Ở PHỔ THÔNGChuyên ngành: Đại sốKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCGIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:Dương Thị LuyếnHà Nội – Năm 20171LỜI CẢM ƠNEm xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Tổ đại số, cácthầy cô trong khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạnsinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô ThS. DươngThị Luyến - Giảng viên khoa Toán người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quátrình hoàn thiện khóa luận này.Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏinhững thiếu sót. Em xin kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô vàcác bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụngtrong thực tế.Em xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017Sinh viênLa Thị PhượngKhóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị PhượngLỜI CAM ĐOANEm xin khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của em do bảnthân em đã nghiên cứu và hoàn thiện trên cơ sở những kiến thức đã đọc và đọc thêmtài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của cô ThS. Dương Thị Luyến. Nókhông trùng lặp với kết quả của bất cứ người nào khác.Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017Sinh viênLa Thị PhượngiMục lụcLời mở đầu11 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ TẬP HỢP, ÁNHXẠ1.11.21.31.43Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.1Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.2Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . .41.1.3Một số tính chất thông thường . . . . . . . . .41.1.4Bản số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.1Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.2Đồ thị của ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . . .91.2.3Hai ánh xạ bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . .111.2.4Thu hẹp và mở rộng ánh xạ . . . . . . . . . . .12Ảnh và tạo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.3.1Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.3.2Các tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . .15Các ánh xạ đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.4.115Đơn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iiKhóa luận tốt nghiệp Đại học1.51.61.7La Thị Phượng1.4.2Toàn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.4.3Song ánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Tích các ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.5.1Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.5.2Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .21Ánh xạ ngược. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.6.1Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.6.2Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.6.3Điều kiện có ánh xạ ngược. . . . . . . . . . . .221.6.4Quy tắc tìm ánh xạ ngược. . . . . . . . . . . . .23Phép toán hai ngôi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.7.1Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.7.2Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi272 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG TOÁNỞ PHỔ THÔNG.282.1Ánh xạ trong toán tiểu học . . . . . . . . . . . . . . .282.1.1Hình thành số tự nhiên . . . . . . . . . . . . .282.1.2So sánh hai số tự nhiên . . . . . . . . . . . . .302.1.3Biểu thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .33Ánh xạ và nội dung dạy học Toán ở phổ thông. . . . .342.22.2.1Ánh xạ và nội dung dạy học hàm số ở phổ thông 342.2.2Ánh xạ và nội dung dạy học dãy số ở phổ thông2.2.3Ánh xạ và nội dung dạy học đại số tổ hợp ở phổ2.2.442thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Các phép toán nhìn theo quan điểm ánh xạ. . .54iiiKhóa luận tốt nghiệp Đại học2.2.5La Thị PhượngÁnh xạ với nội dung dạy học đạo hàm của hàmsố, tích phân của hàm số . . . . . . . . . . . . .2.2.656Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình ởphổ thông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tài liệu tham khảo5763ivKhóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị PhượngLời mở đầu1. Lý do chọn đề tàiNhìn lại lịch sử toán học ta có thể thấy có nhiều tri thức toán phổthông chính là mô hình ( hình ảnh) của toán học cao cấp, toán họchiện đại. Sự liên hệ đó thể hiện nhiều trong các chủ đề như: Lý thuyếttập hợp, quan hệ, ánh xạ, ...Song do sự hạn chế về tri thức của họcsinh phổ thông nên việc trình bày của sách giáo khoa phổ thông cónhiều khi phải tránh đi mối liên hệ đó. Điều này đã làm cho không ítsinh viên khoa Toán ở các trường sư phạm khi tiếp xúc với toán caocấp đều cho rằng toán học cao cấp là một thế giới tách biệt với toánhọc phổ thông mà họ từng học ở bậc phổ thông.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp sinh viên khoa toán ở cáctrường sư phạm khi học toán cao cấp có thể tự mình nhận ra mốiliên hệ giữa toán học cao cấp và môn toán ở trường phổ thông, giúphọ những người giáo viên tương lai ở các trường phổ thông có thể tựmình tìm thấy và khai thác khả năng vận dụng toán học cao cấp tronggiảng dạy sau này để từ đó nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụcho họ. Điều này có ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập của sinhviên? Việc tìm lới đáp cho câu hỏi này thực sự rất cần thiết và cấpbách cho việc cải tiến phương pháp dạy học toán ở đại học cũng nhưlà ở phổ thông.Với ý tưởng trên, đề tài này quan tâm đặc biệt tới đối tượng “ánhxạ và nội dung dạy học ánh xạ ở phổ thông”.Ánh xạ là một khái niệmquan trọng, xuyên suốt trong chương trình học của các cấp từ tiểu1Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượnghọc, THPT cho đến đại học. . . do đó việc dạy học ánh xạ ở các trườngđại học có tầm quan trọng đặc biệt. Việc làm rõ được các mối liênhệ toán phổ thông trong quá trình dạy học toán cao cấp ở đại học sẽgiúp giáo viên nhận thức đúng đắn tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ vàphương pháp của toán cao cấp trong việc dạy học toán ở phổ thông.Với tất cả những lí do trên em xin chọn đề tài “ánh xạ và nội dungdạy học ánh xạ ở phổ thông”.2. Mục đích nghiên cứu.Nghiên cứu mối liên hệ giữa ánh xạ và nội dung dạy học Toán ởphổ thông.3. Nhiệm vụ nghiên cứu.Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chương trình toán ở phổthông, tìm mối liên hệ giữa ánh xạ với nội dung dạy học toán ở phổthông.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.Ánh xạ, tập hợp, bộ SGK Toán 1,2,3,4,5, Đại số và giải tích lớp10,11,125. Phương pháp nghiên cứu.Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lí thuyết , hệ thống hóa vakhái quát hóa.6. Bố cục của khóa luận.Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương:Chương 1: Những kiến thức cơ sở về tập hợp, ánh xạ.Chương 2: Mối liên hệ giữa ánh xạ và nội dung Toán ở phổ thông.2Chương 1NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀTẬP HỢP, ÁNH XẠ1.11.1.1Tập hợpCác khái niệm- Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa.Nó đồngnghĩa với các cụm từ: Toàn thể, bộ phận, nhóm, họ,...ví dụ:Họ nghiệm của hệ phương trìnhTập nghiệm của hệ phương trình- Để kí hiệu các tập hợp ta dùng các chữ in hoa: A, B, ..., C, ...X, Y, ..- Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A và B.Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói A là bộ phậncủa B. Kí hiệu A ⊂ B, đọc là A được bao hàm trong B và viết ∀a ∈ Athì a ∈ B.- Quan hệ bằng nhau giữa các tập hợp. Cho hai tập A và B.Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói A bằng B và viết A=B.3Khóa luận tốt nghiệp Đại học1.1.2La Thị PhượngCác phép toán trên tập hợp1. Phép hợpCho hai tập hợp A và B. Ta gọi tập hợp gồm những phần tử hoặcthuộc A, hoặc thuộc B là hợp của hai tập A,B. Kí hiệu A ∪ B.Như vậy A ∪ B = { x ∈ A hoặc x ∈ B}2. Phép giaoCho hai tập A và B. Ta gọi tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A,vừa thuộc B là tập giao của hai tập A và B. Kí hiệu: A ∩ BNhư vậy A ∩ B = x|x ∈ A, x ∈ B3. Phép toán hiệu.Cho hai tập A và B, ta gọi tập gồm các phần tử thuộc A nhưng khôngthuộc B là tập hiệu của A cho B. Kí hiệu: A \ BNhư vậy A \ B = x|x ∈ A, x ∈/B4. Tích đề cácCho hai tập hợp A và B. Ta gọi tập hợp gồm các phần tử là một cặpgồm hai thành phần, thành phần thứ nhất là phần tử của A,thànhphần thứ hai là phần tử của B là tích đề các của A với B. Kí hiệu:A×BNhư vậy A × B = (a, b)|a ∈ A, b ∈ B1.1.3Một số tính chất thông thường1. Giao hoánA ∪ B = B ∪ A, A ∪ B = B ∪ A, A \ B = B \ A, A × B = B × A2. Tính kết hợp4Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượng(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).Phép toán hiệu và tích đề các không có tính chất kết hợp.3. Luật phân phốiCác phép toán trên tập hợp đều có tính chất phân phối chẳng hạnnhư:A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)4. Luật lũy đẳngA ∩ A = A, A ∪ A = A5. Luật đối ngẫuCho A, B ⊂ X, X \ A = A . Khi đó(A ∩ B) = A ∪ B ; (A ∪ B) = A ∩ B1.1.4Bản số .Định nghĩa: Khi các tập hợp A và B tương đương với nhau thì tanói rằng chúng có cùng một lực lượng hay cùng một bản số.Mỗi tập hợp có một bản số, sao cho hai tập hợp tương đương có cùngmột bản số.Bản số của tập hợp A kí hiệu là Card(A).Vậy theo định nghĩa: Card(A) = Card(B) ⇔ A ∼ B1.21.2.1Ánh xạĐịnh nghĩa và ví dụa) Định nghĩaCho hai tập hợp X và Y tùy ý khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y là5Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượngmột quy tắc f cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ mộtphần tử y thuộc Y .Ví dụX là tập hợp các lớp học của một trường đại, Y là tập hợp các cố vấnhọc tập của trường đại học đó và f là một quy tắc đặt tương ứng mỗilớp với một cố vấn học tập lớp đó. Ta có ánh xạ f : X → Y .Ta thường kí hiệu ánh xạ f như sau:f : X −→ Yx −→ y = f (x)X được gọi là tập xác định hay tập nguồn của ánh xạ f ,kí hiệu Df .Y được gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ f , kí hiệu Rf .x gọi là tạo ảnh (nghịch ảnh) của y qua ánh xạ f .y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và viết y = f (x).Từ định nghĩa ta thấy để quy tắc :f : X −→ Yx −→ y = f (x)là một ánh xạ thì phải thỏa mãn hai điều kiện sau:Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa là với mỗi x ∈ Xphải có ảnh y tương ứng thuộc Y hoặc với ∀x ∈ X thì y = f (x) ∈ Y .Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa là với mỗi x ∈ X chỉ có tươngứng một phần tử duy nhất y thuộc Y hoặc với ∀x1 , x2 ∈ X sao chox1 = x2 thì f (x1 ) = f (x2 ).Như vậy để xét xem một quy tắc có là ánh xạ hay không ta kiểm traxem nó có thỏa mãn hai điều kiện trên hay không?- Hình ảnh sau đây không phải là ánh xạ vì quy tắc f không xác địnhkhắp nơi.6Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượng- Hình ảnh sau đây không phải là ánh xạ vì quy tắc f không đơntrị.b) Các ví dụVí dụ 1. Giả sử X = {1, 2, 3} và Y = {a, b, c} Tương ứng1→a2→b3→cXác định một ánh xạ từ X đến Y . 1 2 3Ngoài cách viết trên ta thường viết dưới dạng bảng như sau: .a b c7Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị PhượngVí dụ 2 .Một hàm số xác định trên tập X ⊂ R là một ánh xạ từX đến R. Chẳng hạn:Hàm số y = x + 5 là ánh xạf : R −→ Rx −→ y = x + 5Là ánh xạ vì:- Với mọi x ∈ R luôn tồn tại y = x + 5 ∈ R.- Với mọi x1 , x2 ∈ X sao cho x1 = x2thì x1 + 5 = x2 + 5 hay f (x1 ) = f (x2 ).Ví dụ 3. Quy tắc:f : X −→ Y = Xx −→ y = xlà một ánh xạ vì:- Với mọi x ∈ X luôn tồn tại y = x ∈ Y- Với mỗi y ∈ Y sẽ có tương ứng một phần tử x = y ∈ XTa gọi những ánh xạ đi từ tập X vào chính nó sao cho với mọi phầntử x trong X ta có f (x) = x là ánh xạ đồng nhất và kí hiệu là 1X .Ví dụ 4. Cho A ⊂ X, khi đó quy tắc :f : A −→ Xa −→ y = alà một ánh xạ vì:- Với mọi a ∈ A luôn tồn tại y = a ∈ X (vì A ⊂ X )- Với mọi a1 , a2 ∈ A sao cho a1 = a2 thì f (a1 ) = f (a2 )Ánh xạ f như trên được gọi là ánh xạ bao hàm.Ví dụ 5. Quy tắc:8Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượngf : R −→ R1xkhông là ánh xạ vì với x = 0 thì quy tắc f không xác định.x −→ y =Ví dụ 6. Giả xử X = {1, 2, 3, 4} và Y = {a, b, c, d}. Các tương ứngsau đây không phải là ánh xạ từ X đến Y .1.2.2Đồ thị của ánh xạ.Định nghĩa.Cho ánh xạ:9Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượngf : X −→ Yx −→ y = f (x)Khi đó ta gọi tậpGf = {(x, f (x))|x ∈ X} ⊂ X × Y là đồ thị của ánh xạ f .Từ định nghĩa ánh xạ suy ra : Với mọi x ∈ X tồn tại duy nhấty ∈ Y để (x, y) ∈ Gf .Ví dụ 1. Cho ánh xạf : R −→ Rx −→ x − 2Đồ thị của f là tập hợp G = {(x − 2)|x ∈ R}. Khi biểu diễn G lênmặt phẳng tọa độ oxy ta được đồ thị là một đường thẳng như hình vẽVí dụ 2. Cho ánh xạ:f : R −→ Rx −→ y = x2 − 4x + 4Đồ thị của f là tập G = {(x, x2 − 4x + 4)|x ∈ R}. Khi biểu diễn G lên10Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượngmặt phẳng tọa độ oxy ta được một parabol như hình vẽ:Ví dụ 3. Cho X = {a, b, c}, Y = {1, 2, 3}, f : X → Y là ánhxạ xác định bởi f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3 thì đồ thị của f làGf = (a, 1), (b, 2), (c, 3).1.2.3Hai ánh xạ bằng nhau.Định nghĩa.Cho hai ánh xạ.f : X −→ Yvàg : X −→ Yx −→ f (x)x −→ g(x)ta nói ánh xạ f bằng ánh xạ g nếu: X = X ,Y = YKí hiệu f = g ∀x ∈ X, f (x) = g(x)Ví dụ 1. Cho hai ánh xạ.11Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị Phượngf : R −→ Rx −→ f (x) = x3 − 1Khi đó ta có f = gvàg : R −→ Rx −→ g(x) = (x − 1)(x2 − x + 1)Ví dụ 2. Cho hai ánh xạ:f : R −→ Rvàg : R −→ [0; +∞)x −→ x2x −→ x2Khi đó hai ánh xạ f và g không bằng nhau vì chúng có tập đíchkhác nhau.Nhận xét. Hai ánh xạ f và g được gọi là bằng nhau nếu chúng cócùng nguồn,cùng đích và cùng quy tắc đặt tương ứng (các xác địnhảnh).1.2.4Thu hẹp và mở rộng ánh xạĐịnh nghĩa. Giả sử:f : X −→ Yx −→ y = f (x)là một ánh xạ và A là một bộ phận của X. Ta gọi ánh xạg : A −→ Yx −→ g(x) = f (x)Gọi là ánh xạ thu hẹp (hay ánh xạ cảm sinh) của f vào bộ phậnA, kí hiệu là g = f |A ,còn ánh xạ f gọi là một mở rộng của g trên tậpX.Ví dụ: Cho các ánh xạf : R −→ Rx −→ f (x) = cos x12Khóa luận tốt nghiệp Đại họcg :π π− ;2 2La Thị Phượng−→ Rx −→ g(x) = cos xh : R −→ [−1, 1]x −→ h(x) = cos xπ π−→ [−1, 1]k : − ;2 2x −→ k(x) = cos xBốn ánh xạ này không bằng nhau vì các tập nguồn và các tậpπ πđích của chúng khác nhau. Chúng trùng nhau trên X = − ;và2 2Y = [−1, 1]. Ta không đồng nhất chúng, nhưng kí hiệu giá trị chungcủa chúng tại x là cosxπ πg là thu hẹp của f vào − ;2 2π πk là thu hẹp của h vào − ;2 2h được cảm sinh bởi f bằng cách thu hẹp đích vào [−1, 1]k được cảm sinh bởi g bằng cách thu hẹp đích vào [−1, 1]Nhận xét: Cho ánh xạ :f : X −→ Yx −→ y = f (x)Khi đó có duy nhất một ánh xạ thu hẹp của f trên A là ánh xạ:g : A −→ Yx −→ g(x) = f (x)Song có rất nhiều mở rộng của f chẳng hạn như:g : A ∪ {α} −→ Y a −→ f (a), α −→ b13.Khóa luận tốt nghiệp Đại học1.31.3.1La Thị PhượngẢnh và tạo ảnhĐịnh nghĩaCho ánh xạf : X −→ YA ⊂ X, B ⊂ Y .x −→ y = f (x)Tập hợp f (A) = {y ∈ Y | tồn tại x ∈ A sao cho f (x) = y} được gọilà ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f .- Nếu A = X thì f (A) = f (X) gọi là ảnh của ánh xạ f .Tập hợp f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} được gọi là tạo ảnh toàn phầncủa tập hợp B qua ánh xạ f .- Nếu B = Y thì f − 1(Y ) = X- Nếu B = {b}, thì f − 1(B) = f − 1({b}) := f − 1(b) = x ∈ X|f (x) = b .Tập hợp f (X) ⊂ Y gọi là ảnh của ánh xạ f , kí hiệu Imf .Ví dụ.1) Giả sử A =(0, a)|a ∈ Rvà f : R2 → R là ánh xạ f (x, y) =y, ∀x, y ∈ R. Khi đó f (A) = a|∀a ∈ R hay f (A) = R.2) Với f : R → R, f (x) = x2 , thì mỗi phần tử a ∈ A sẽ có phần tạoảnh tương ứng như sau:- Nếu a < 0 thì f − 1(a) = φ- Nếu a = 0 thì f − 1(0) = {0}√ √- Nếu a>0 thì f − 1(a) = − a, a14Khóa luận tốt nghiệp Đại học1.3.2La Thị PhượngCác tính chất cơ bản.Cho ánh xạ f : X → Y . A, B là các tập hợp con của X; C, D là cáctập hợp con của Y . Khi đó :A = ∅ ⇔ thì f (A) = ∅A ⊂ B ⇒ f (A) ⊆ f (B)f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B)f (A ∪ B) = f (A) ∩ f (B)f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D)f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)1.41.4.1Các ánh xạ đặc biệt.Đơn ánhÁnh xạ:f : X −→ Yđược gọi là một đơn ánh nếu thỏa mãn:x −→ y = f (x)Với ∀x1 , x2 ∈ X : x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )Hoặc ∀x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa đơn ánh như sau:Ánh xạ f là đơn ánh nếu mọi y = f (x) có không quá một tạo ảnhx thuộc X, hay phương trình ẩn x: f (x) = y vô nghiệm hoặc có mộtnghiệm duy nhất với mọi y thuộc YHình ảnh dưới đây cho ta một đơn ánh15Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị PhượngHình ảnh dưới đây không là đơn ánhNgười ta gọi ánh xạ đơn ánh là ánh xạ một- một ( 1-1 ).1.4.2Toàn ánhÁnh xạ:f : X −→ Yđược gọi là toàn ánh nếu thỏa mãn:x −→ y = f (x)Mỗi y ∈ Y đều tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x)hay f (X) = YMột cách tương đương ta có định nghĩa toàn ánh như sau:16Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị PhượngÁnh xạ f là toàn ánh nếu mọi y thuộc Y đều có ít nhất một tạo ảnhx thuộc X hay phương trình ẩn x, f (x) = y luôn có nghiệm với mọi ythuộc Y .Người ta còn gọi một toàn ánhf : X → Y là một ánh xạ từ X lên YHình ảnh dưới đây cho ta một toàn ánhHình ảnh dưới đây không cho ta một toàn ánh17Khóa luận tốt nghiệp Đại học1.4.3La Thị PhượngSong ánhÁnh xạ :f : X −→ Yđược gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánhx −→ y = f (x)vừa là toàn ánh. Nói một cách khácf : X −→ Ylà một song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ Yx −→ y = f (x)tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x).Một cách tương đương ta có thể định nghĩa song ánh như sau:Ánh xạ f là song ánh nếu mọi y thuộc Y có một và chỉ một tạo ảnhx thuộc X, Hay phương trình ẩn x, f (x) = y luôn có một nghiệm duynhất với mọi y thuộc YMột ánh xạ song ánh gọi là ánh xạ một-một lên hay một đối một.Hình ảnh dưới đây cho ta một song ánhHình ảnh dưới đây không là một song ánh18Khóa luận tốt nghiệp Đại họcLa Thị PhượngVí dụ Xét tính đơn ánh, toàn ánh, xong ánh của các ánh xạ sau:1.f : R −→ Rx −→ 2x + 12.f : R −→ Rx −→ y = x2 − 5x + 4Giải1. ∀x1 , x2 ∈ R, x1 = x2 ⇒ 2x1 + 1 = 2x2 + 1 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ). Vậy flà đơn ánh.∀y ∈ R, ∃x =y−12để f (x) = y. Vậy f là toàn ánh.Do đó f là song ánh.2.Ta có f (1) = f (4) = 0. Vậy f không là đơn ánhf − 1(−4) = φ. Vậy f không toàn ánh.Nhận xét1. Các hàm số bậc nhất y = ax + b, a = 0, vừa là đơn ánh vừa là toànánh tức là song ánh.2. Các hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, a = 0 không là đơn ánh, khônglà toàn ánh ( ta có thể thu hẹp ánh xạ để hàm số trở thành song ánh.)19

Tài liệu liên quan

Điều chỉnh một số nội dung dạy học các môn ở tiểu học (Dự thảo)
- 35
- 445
- 0
Sử dụng phần mềm maple hỗ trợ thiết kế bài giảng một số nội dung dạy học hàm số ở trường THPT
- 94
- 1
- 4
Kiểm tra, đánh giá trong dạy - học tiếng Nga ở phổ thông.PDF
- 5
- 415
- 0
Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học môn toán ở phổ thông
- 53
- 963
- 1
Phát triển kỹ năng dạy học toán cho sinh viên sư phạm theo chuẩn nghề nghiệp giáo viên thông qua nội dung “dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông
- 24
- 335
- 0
Phát triển kỹ năng dạy học toán cho sinh viên sư phạm theo chuẩn nghề nghiệp giáo viên thông qua nội dung “dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông (Tóm tắt LA tiến sĩ)
- 24
- 306
- 0
Phát triển kỹ năng dạy học toán cho sinh viên sư phạm theo chuẩn nghề nghiệp giáo viên thông qua nội dung “dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông (LA tiến sĩ)
- 244
- 330
- 0
luận án PHÁT TRIỂN kỹ NĂNG dạy học TOÁN CHO SINH VIÊN sư PHẠM THEO CHUẨN NGHỀ NGHIỆP GIÁO VIÊN THÔNG QUA nội DUNG “dạy học hàm số ở TRƯỜNG TRUNG học PHỔ THÔNG
- 244
- 289
- 0
Ánh xạ và nội dụng dạy học ánh xạ ở phổ thông
- 69
- 984
- 10
Hàm số và nội dung dạy học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11 (2018)
- 75
- 167
- 0