Khái Niệm Về ánh Xạ, Hàm Và Dãy - The Numbers Of 2H

Cuộc sống, được chúng ta nhận thức qua sự hiện hữu và vận động của các thành tố trong nó. Khi tồn tại để vận động và phát triển, các đối tượng tương tác với nhau theo những quy luật được xác định, để rồi có những ảnh hưởng đến giá trị về lượng và chất tương ứng. Chính sự tương tác ảnh hưởng qua lại giữa các đối tượng của cuộc sống, giúp chúng ta nhận thức được bản chất các đối tượng đó theo nhiều góc nhìn.

Thực tế là với nhiều hoàn cảnh, người ta đang làm việc trên chính đối tượng mà người ta muốn nhưng lại phải thông qua cái ảnh của đối tượng đó tức là một đối tượng khác có liên quan đến đối tượng chính kia. Giống như một cô gái, cần nhìn vào hình ảnh gương mặt mình trong gương để trang điểm. Trong Toán học nói riêng hay Khoa Học nói chung, có rất nhiều đối tượng rất khó để nghiên cứu trực tiếp chúng. Vì thế người ta cần nghiên cứu ảnh của chúng thông qua một quy tắc tác động tương ứng nào đấy. Sẽ là tuyệt vời nếu như ảnh của chúng lại giữ lại được những tính chất (mà ta đang quan tâm) giống như chính chúng. Lúc ấy thì rõ ràng là chỉ cần nghiên cứu cái ảnh, sẽ thu được những thông tin về đối tượng ban đầu mà ta mong muốn.

Toán học, với nghĩa vụ giúp con người chiêm bái và nghiệm xét đời sống, vì thế mà cần đến một khái niệm về các quy luật tác động tương ứng giữa các đối tượng trong đời sống. Nó ắt hẳn, là một khái niệm quan trọng số 1 trong toán học.

Định nghĩa 1 [Định nghĩa về Ánh Xạ]. Một quy tắc cho tương ứng các phần tử giữa hai tập hợp khác rỗng, gọi là một ánh xạ.

Như vậy, với hai tập khác rỗng $A,\,B$ thì một ánh xạ $M$ chẳng qua là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử $a\in A$ với một phần tử $b\in B$ nào đó. Lúc đó, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu \begin{align*}M:\,A&\to B\\ a\in A &\mapsto b\in B. \end{align*} Tập $A$ ở định nghĩa trên, là tập hợp chứa những phần tử $a$ khởi nguồn (gây gổ) nên quy tắc tương ứng của ánh xạ. Và vì thế, chúng ta gọi nó là “tập nguồn” như đúng bản chất của nó. Còn tất nhiên, $B$ sẽ được gọi là “tập đích”. Nếu $a\in A$ được cho ứng với $b\in B$ qua quy tắc $M$ ta gọi $b$ là “ảnh” của $a$ qua $M$, còn vì $a$ tạo nên $b$ qua $M$ nên ta gọi $a$ là “tạo ảnh” của $b$.

Định nghĩa về ánh xạ đã nêu ở trên, là định nghĩa tổng quát chấp nhận cả những ánh xạ có tính “đa trị“, tức là những ánh xạ mà một phần tử $a$ có thể ứng với hai phần tử khác nhau $b,\,b’$ của $B$. Tuy nhiên, từ lúc này trở đi trong bài giảng này chúng ta sẽ chỉ xét đến các ánh xạ “đơn trị”, tức là các ánh xạ mà một phần tử $a\in A$ cho trước sẽ chỉ tương ứng với duy nhất một phần tử $b\in B$ là ảnh của $a$. Với $M$ là ánh xạ đơn trị và $b$ là ảnh của $a$, ta viết $b=M(a)$. Ở một số trường hợp rất quan trọng về sau, khi tập đích $B$ là một tập hợp số (các phiếm hàm, hàm số và dãy số) thì $b$ còn được gọi là giá trị của $a$ qua $f$. Từ “giá trị”, nó ám chỉ về yếu tố định lượng tương ứng được đánh giá qua quy tắc.

Khái niệm về ánh xạ có vẻ rất trừu tượng như đã trình bày ở trên, nhưng như ý tứ đã nói ở phần mở đầu, ánh xạ là đối tượng Toán Học hiện hữu khắp nơi trong cuộc sống. Từ việc bé ti như đi gửi xe để vào rạp cine xem phim, khi đó mỗi chiếc xe đem gửi được cho tương ứng một cái vé xe. Hạnh kiểm của một học sinh, được đánh giá tương ứng với những điều thầy cô ghi về nó trong sổ đầu bài. Đến cả những chuyện to tát của các chính khách, như tư tưởng Hồ Chí Minh hay sự dư thừa của thịt lợn sẽ ảnh hưởng ra sao tới thị trường chứng khoán và nền kinh tế vĩ mô của đất nước.. Còn sau đây, là vài ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1.  Xét $\mathcal M$ là tập hợp tất cả đàn ông, còn $\mathcal W$ là tập hợp tất cả phụ nữ. Khi đó xét quy tắc $\mathfrak{M}:\,\mathcal M\to \mathcal W$ cho ứng mỗi người đàn ông $m\in\mathcal M$ với người mẹ $w\in\mathcal W$ của anh ta. Lúc đó, nếu hai chàng trai Hồng Lân và Hồng Sơn có mẹ là Mrs Thanh thế thì\[\mathfrak{M}\left(\text{Hồng Sơn}\right)=\mathfrak{M}\left(\text{Hồng Lân}\right)=\text{Mrs Thanh}.\]

Ở ví dụ vừa rồi, ta có thể thấy tính đơn trị thể hiện ở chỗ mỗi một đứa con trai (tạo ảnh) chỉ duy nhất có một người mẹ (ảnh) mà thôi. Cho dù, hoàn toàn có thể xảy đến chuyện hai đứa con trai (hai tạo ảnh khác nhau) lại có cùng một ảnh (cùng một mẹ).

Cũng là với các tập $\mathcal M$ và $\mathcal W$ như ở ví dụ ngay trên ta lại không thể lập ánh xạ $\mathfrak{S}:\,\mathcal W\to \mathcal M$ cho tương ứng mỗi người phụ nữ với con trai của họ. Lý do đơn giản là, không phải người phụ nữ nào cũng có con trai. Muốn xây dựng được ánh xạ đó, ta buộc phải thay thế tập nguồn $\mathcal W$ bởi “cái thu hẹp” của nó là $\mathcal W^+$ nghĩa là tập tất cả những người phụ nữ có con trai. Khi ấy, ta có ánh xạ $\mathfrak{S}:\,\mathcal W^+\to \mathcal M$ cho ứng mỗi một người phụ nữ có con trai với con trai của họ. Rõ ràng, ánh xạ $\mathfrak{S}$ này là ánh xạ đa trị bởi phần tử Mrs Thanh của $\mathcal W^+$ có thể cho ứng với hoặc là phần tử Hồng Sơn, hoặc là Hồng Lân của $\mathcal M$.

Ví dụ 2.  Với $S$ là một tập khác rỗng bất kỳ, xét $S^2=\{(a,\,b):\;a,\,b\in S\}$, khi đó với mỗi cặp $(a,\,b)\in S^2$ ta cho ứng với một phần tử của $S$ nào đó mà ta ký hiệu là $a\circ b$. Lúc đó, $(\circ)$ được gọi là một “phép toán hai ngôi” trên $S$. Và ta thấy rằng về bản chất, mỗi phép toán hai ngôi đó thực ra là một ánh xạ $m_{\circ}:\,S^2\to S$ cho tương ứng mỗi cặp $(a,\,b)\in S^2$ với một phần tử $a\circ b\in S$ và ta có thể viết\[m_{\circ}\left(a,\,b\right)=a\circ b.\] Phép toán hai ngôi là một khái niệm nền tảng cho các cấu trúc của đại số trừu tượng sau này, như nửa nhóm, nhóm.. Ví dụ tiếp sau đây, cho ta một phép toán hai ngôi cụ thể.

Ví dụ 3. Với $\mathcal R_7=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$, xét ánh xạ $\mathfrak{r}:\,\mathcal R_7^2\to \mathcal R_7$ xác định bởi quy tắc\[\mathfrak{r}(a;\,b)=r_7(ab).\] Trong đó, $r_7(ab)$ là số dư khi chia $ab$ cho 7. Nhờ ánh xạ $\mathfrak{r}$ chúng ta có phép toán hai ngôi $(\circ)$ được xác định như sau\[a\circ b=\mathfrak{r}(a;\,b)\]Phép toán hai ngôi đó, còn gọi là phép nhân theo mod 7, và ta có thể thấy\[2\circ 5=3;\,3\circ 6=4;\,6\circ 6=1.\]

Phép toán hai ngôi tức ánh xạ $\mathfrak{r}:\,\mathcal R_7^2\to \mathcal R_7$ ở ví dụ trên, là phép toán có tính kết hợp và giao hoán tức là ta có thể kiểm tra thấy rằng với $a;\,b;\,c\in\mathcal R_7$ tuỳ ý thì \[\begin{array}{l} a \circ b = b \circ a = {r_7}\left( {a;{\mkern 1mu} b} \right)\\ \left( {a \circ b} \right) \circ c = a \circ \left( {b \circ c} \right)=r_7(abc). \end{array}\] Tuy nhiên, không phải phép toán hai ngôi nào cũng có tính chất dễ chịu như vậy, ta xét ví dụ sau.

Ví dụ 4.  Xét ánh xạ $\mathcal E:\,\left(\mathbb Z^+\right)^2\to \mathbb Z^+$, xác định bởi\[\mathcal E(a;\,b)=a^b\;\forall\,a;\,b\in\mathbb Z^+\] Bởi vì giá trị của $a^b$ là một số nguyên dương nếu $a;\,b$ là các số nguyên dương, nên rõ ràng ánh xạ $\mathcal E$ tạo thành phép toán hai ngôi $(*)$ trên $\mathbb Z^+$ bởi quy tắc\[a*b=\mathcal E(a;\,b)=a^b\;\forall\,a;\,b\in\mathbb Z^+.\] Nhưng vì $2^3\ne 3^2$ nên $2*3\ne 3*2$, vậy ta không có được tính giao hoán. Và vì $(2*3)*2=8*2=8^2=2^6$ còn $2*(3*2)=2*9=2^9$, nên $(2*3)*2\ne 2*(3*2)$ tức là ta cũng chẳng có tính kết hợp.

Muốn xây dựng một ánh xạ, chúng ta cần chú ý đến 3 đối tượng là tập nguồn, tập đích và quy tắc cho tương ứng. Đôi khi ta mải chú ý vào sự quái dị của quy tắc mà không để ý đến hai tập nguồn-đích, thì chưa chắc đã thành hình được ánh xạ.

Ví dụ 5.  Với tập nguồn $\mathcal R_7^2$ và tập đích $\mathcal R_7$ như ở ví dụ 3 còn phép toán $(*)$ như ở ví dụ 4, ta lại không xây dựng được phép toán hai ngôi $(*)$ trên $\mathcal R_7$, bởi vì không thể hình thành ánh xạ $\mathcal E:\,\mathcal R_7^2\to \mathcal R_7$, xác định bởi\[\mathcal E(a;\,b)=a^b\;\forall\,a;\,b\in\mathcal R_7.\] Nguyên nhân đơn giản là vì $2;\,3\in \mathcal R_7$ nhưng $2*3=8\notin \mathcal R_7$.

Ta tạm dừng nói về các phép toán hai ngôi rắc rối, để nói về một ví dụ có tính chất đời thường hơn như sau.

Ví dụ 6.  Với $\mathcal H$ là tập tất cả con người, ta xét ánh xạ “giới tính” $$S:\;\mathcal H\to\{-1;\,0;\,1\},$$ xác định bởi quy tắc cho ứng mỗi con người $h$ với $S(h)$ được xác định theo quy tắc\[S\left( h \right) = \left\{ \begin{array}{l} – 1\;\text{nếu}\;h\;\text{là đàn bà}\\ 0\;\text{nếu}\;h\;\text{pê đê}\\ 1\;\text{nếu}\;h\;\text{là đàn ông}. \end{array} \right.\] Như thế, ta sẽ có $S\left(\text{Trump}\right)=1$ và $S\left(\text{Ngọc Trinh}\right)=-1$. Còn danh ca Elton John, người sáng tác và thể hiện ca khúc “Goodbye Yellow Brick Road”, người tự nhận rằng mình chẳng phải đàn ông cũng không là đàn bà cho nên tất nhiên là có $S\left(\text{Elton John}\right)=0$.

Cái ví dụ nhắng nhít ở trên, là ví dụ cho khái niệm về “phiếm hàm” trong Toán Học, tổng quát lên ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 2 [Định nghĩa về Phiếm Hàm].  Một ánh xạ $M:\,A\to B$ gọi là một phiếm hàm nếu tập đích $B$ là một tập hợp các số (tập số).

Ở ví dụ tiếp sau đây, ta có một phiếm hàm khá giống với ví dụ trước, nhưng cả tập nguồn và tập đích đều là các tập số.

Ví dụ 7.  Xét ánh xạ $\chi_{\mathbb N}:\;\mathbb Q\to\{0;\,1\}$ bởi quy tắc cho ứng mỗi số hữu tỷ $r$ với số $0$ hoặc số $1$ được xác định theo quy tắc\[\chi_{\mathbb N}\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{nếu}\;r\notin \mathbb N\\ 1\;\text{nếu}\;r\in \mathbb N. \end{array} \right.\] Như thế, ta sẽ có $\chi_{\mathbb N}(2017)=1$ và $\chi_{\mathbb N}\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$. Ánh xạ này, còn gọi là hàm đặc trưng của tập $\mathbb N$ trên $\mathbb Q$. Chúng ta hoàn toàn có thể mở rộng ra để có phiếm hàm đặc trưng của $S$ trên $U$, trong đó $S\subset U$. Tức là ánh xạ $\chi_{S}:\;U\to\{0;\,1\}$ được xác định nhờ quy tắc tương ứng sau. \[\chi_{S}\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{nếu}\;r\in U\setminus S\\ 1\;\text{nếu}\;r\in S. \end{array} \right.\]

Những ánh xạ mà tập nguồn và tập đích đều là các tập số, là đối tượng được khảo cứu điên cuồng trong đại số và giải tích sơ cấp. Đến nỗi, kỳ thi THPT hàng năm còn có tên gọi là cuộc “Khảo sát hàm số tập thể”. Chúng ta có một tên gọi riêng cho đối tượng này, như sau.

Định nghĩa 3 [Định nghĩa về Hàm Số]. Một ánh xạ $f:\,X\to Y$ trong đó cả tập nguồn $x$ và tập đích $Y$ đều là các tập số được gọi là một hàm số.

Như vậy, để thành hình một hàm số, ta cần có hai tập số $X$ và $Y$ đồng thời xác đinh được quy tắc cho tương ứng $f$. Quy tắc này, có thể được cho là một cách “đặc biệt” nào đó. Nhưng trong chương trình phổ thông, chúng thường là một công thức gồm tổ hợp các quy tắc cơ bản (các phép toán sơ cấp) như ví dụ ngay dưới đây.

Ví dụ 8.  Hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ được xác đinh bởi quy tắc cho tương ứng mỗi số thực $x$ với số thực $y=f(x)$ trong đó \[f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}.\] Ta có một vài giá trị hàm như $f(0)=-1;\,f(1)=\dfrac{1}{2}$ và $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$.

Ở ví dụ 7 (hàm đặc trưng của $\mathbb N$ trên $\mathbb Q$), chúng ta đã có một ví dụ về việc xác định quy tắc hàm không theo một công thức nào. Ta xét thêm một ví dụ gần giống như thế, đó là các dãy truy hồi.

Ví dụ 9 [Dãy Fibonaci]. Hàm số $f:\,\mathbb N\to\mathbb N$ được xác đinh bởi quy tắc cho tương ứng mỗi số tự nhiên $n$ với một số tự nhiên $F_n=f(n)$ trong đó $F_0=F_1=1$ còn với số tự nhiên $n>1$ thì\[F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.\] Với cách xác định quy tắc hàm được cho kiểu này, để biết ảnh của $10$ là $f(10)=F_{10}$ theo quy tắc được cho ta sẽ phải biết hai giá trị trước đó là $F_9$ và $F_8$. Thuật ngữ “truy hồi”, ám chỉ việc xác định kết quả của đối tượng sinh sau được xác định qua các đối tượng đã có trước. Một dãy số như dãy Fibonaci, có thể hiểu nôm na là một dãy các số mà mỗi số trong dãy được cho tương ứng với một số tự nhiên (là vị trí của nó trong dãy). Đấy là nôm na, còn định nghĩa Toán Học chặt chẽ là như sau.

Định nghĩa 4 [Định nghĩa về Dãy Số]. Một ánh xạ $f:\,X\to Y$ trong đó $X,\,Y$ là các tập số và $X\subset \mathbb N$ được gọi là một dãy số.

Để ý rằng trong khái niệm dãy số nếu $X\subset\mathbb N$ và là tập hữu hạn thì ta có một dãy số hữu hạn. Trường hợp ngược lại, cho ta một dãy vô hạn. Cũng lưu ý về từ “vô hạn” rất cao siêu ở đây có ý nghĩa là số các phần tử của dãy, các phần tử này không nhất thiết phải khác nhau. Ta xét ví dụ dưới đây.

Ví dụ 10. Hàm số $f:\,\mathbb N\to\mathbb N$ được xác đinh bởi quy tắc cho tương ứng mỗi số tự nhiên $n$ với chữ số tận cùng (viết theo hệ thập phân) của $2^n$. Chúng ta không khó khăn gì để thấy $f(0)=1$ và với số nguyên dương $k$ bất kỳ thì\[f(4k)=6;\;f(4k-1)=8;\,f(4k-2)=4;\,f(4k-3)=2.\] Nói nôm na, thì dãy trên là một dãy vô hạn các số được liệt kê dưới đây\[1;\,2;\,4;\,8;\,6;\,2;\,4;\,8;\,6;\ldots\] Do tập nguồn của dãy là $\mathbb N$ nên dãy trên là một dãy vô hạn, tuy nhiên ta có thể thấy là các giá trị của dãy chỉ thuộc tập $\{1;\,2;\,4;\,6;\,8\}$.

Vấn đề về dãy số trong bài giảng này, tạm dừng ở khái niệm tổng quan đó chứ những yếu tố có tính chất Giải Tích như đơn điêu, bị chặn hay giới hạn tôi không vội đề cập đến ở đây. Điều đó cũng giống như khi xem xét về các hàm số, thì bài toán cơ bản và quan trọng nhất với một hàm số, đó là bài toán về quy luật thay đổi giá trị tương ứng giữa biến $x$ và giá trị hàm $f(x)$. Nhưng việc trình bày về những vấn đề đó không phải mục đích của bài viết này. Chúng ta sẽ nói đến những vấn đề quan trọng hơn, ở những mục tiếp theo của bài giảng. Và để kết thúc mục này, tôi muốn đưa ra một tiên đề rất quan trọng sau đây.

Tiên đề chọn. Với $A,\,B$ là các tập hợp khác rỗng, ký hiệu $\mathcal{F}(B)$ là tập hợp chứa tất cả các tập con của $B$. Giả sử $\mathcal M:\;A\to\mathcal{F}(B)$ là ánh xạ thoả mãn $$\mathcal M(a)\ne\emptyset\;\forall\,a\in A.$$ Khi đó tồn tại ánh xạ $M:\;A\to B$ sao cho $$M(a)\in\mathcal C\;\forall\,a\in A.$$