B. Mọi Chữ Số Có Nghĩa đều đáng Tin - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo Dục - Đào Tạo >
3. Cao đẳng - Đại học >

b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.18 MB, 122 trang )

Chương 1: Số xấp xỉ và sai số1.4. CÁC QUY TẮC TÍNH SAI SỐ1.4.1. Mở đầuTa xét bài toán tổng quát hơn như sau:Xét hàm số u của 2 biến số x và y:u = f(x,y)Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉcủa giá trị đúng U = f (X,Y).Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u.Cho biến x ta sẽ ký hiệu Δx = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của x.Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | Δx | ≤ Δ xTheo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:du =∂u∂udx +dy∂x∂yTừ đâyΔu ≈∂u∂uΔx +Δy∂x∂ySuy raΔu = |∂u∂u| Δx +|| Δy∂x∂y(1.9)1.4.2. Sai số của tổngCho u = x + yTa có∂u ∂u==1∂x ∂yTừ (1.9) suy raΔu = Δx + Δy(1.10)Ta có quy tắc sau:Sai số tuyệt đối giới hạn của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối giới hạn của các số hạng.Ghi chú. Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu. Lúc đó ta cóδu = Δ u/|u| = ( Δ x + Δ y)/ |x-y|Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối giới hạn rất lớn. Do đó trong tính toánngười ta tìm cách tránh trừ những số gần nhau.1.4.3. Sai số của tíchCho u = xy8Chương 1: Số xấp xỉ và sai sốTa có∂u∂u= y,=x∂y∂xTừ (1.9) suy raΔ u = |y| Δ x + |x| Δ yDo đó δu = Δ u/|u| = Δ x/|x| + Δ y/|y| = δx + δyVậyδu = δx + δy(1.11)Ta có quy tắc sau:Sai số tương đối giới hạn của một tích bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các sốhạng của tích.Xét trường hợp đặc biệt u = xn ta cóδxn = n δx(1.12)1.4.4. Sai số của thươngCho u = x/yTa cóx∂u 1 ∂u= ,= − 2∂x y ∂yyTừ (1.9) suy raΔu = |x1|Δx + | 2 |ΔyyyTa cóΔ u / |u| = Δ u . |xyy111| = | | ( | | Δ x + | 2 | Δ y) = | | Δ x + | | Δ y =xxyxyySuy ra:δxy = δx + δy(1.13)Ta có quy tắc sau:Sai số tương đối giới hạn của một thương bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của cácsố hạng của thương.1.4.5. Sai số của hàm bất kỳCho u = f(x1, x2,..., xn)Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:du =∂u∂u∂udx1 +dx2 + ... +dxn∂x1∂x 2∂x n9Chương 1: Số xấp xỉ và sai sốTừ đây ta cóΔu ≈∂u∂u∂uΔx1 +Δx2 + ... +Δxn∂x1∂x 2∂x nSuy raΔu = |∂u| Δ∂x1x1+|∂u| Δ∂x 2x2+ ... + |∂u| Δ∂x nxn(1.14)Ví dụ. Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu:V = (1/6)πd3nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016.Giải.Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1.12) và (1.13) ta cóδV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối)δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005δd = 0.05/3.7 = 0.0135Suy ra δV = 0.0005 + 3 * 0.0135 = 0.04Mặt khác V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3Ta có Δ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3V = 26.5 ± 1.1 cm31.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁPNhư chúng tôi đã nhắc đến ở trên, khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đóbằng bài toán đơn giản hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bàitoán phức tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng.Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạngđơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên máy tính, nhưng trong quá trình tính toán tathường xuyên phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn nhưvậy được gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tínhtoán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện. Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp vàsai số tính toán ta xét ví dụ sau:Ta biết rằng với số x bất kỳ ta cóx2xnx++ ... ++...1!2!n!Công thức này có thể dùng để tính giá trị ex . Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên trong thựcx2xnxtế ta chỉ tính được tổng Sn = 1+++ ... +, nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần1!2!n!đúng. Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi tính toán Sn .Việc đưa ra một đánh giá về sai số tổng hợp của cả hai loại sai số trên là bài toán rất phức tạp.ex = 1+10Chương 1: Số xấp xỉ và sai số1.6. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT QUÁ TRÌNH TÍNH TOÁNXét một quá trình tính toán về lý thuyết có vô hạn bước để tính ra một đại lượng nào đó. Tanói rằng quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là sai số quy tròn tích lũy lại không tăngvô hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là không ổn định.Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì không có hy vọng tính được đại lượng cầntính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép.Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình tính toán thường người ta giả sử sai số chỉ xảyra tại một bước, các bước sau đó coi như không có sai số khác phát sinh. Nếu cuối cùng sai số tínhtoán không tăng vô hạn thì coi như quá trình tính là ổn định.1.7. MỘT VÀI ĐIỀU VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA THỰC TẾ VÀ MÔ HÌNHTheo những điều vừa nói trên đây thì chúng ta luôn hiểu thực tế là tuyệt đối đúng, sai số chỉxảy ra khi ta muốn mô hình hóa thực tế và tiến hành tính toán mô hình đó. Thực vậy, chúng ta cócảm giác rằng giới tự nhiên đang hoạt động một cách chính xác: hệ mặt trời đã có khoảng 5 tỷnăm tuổi, nhưng sự vận hành của nó có vẻ vẫn hoàn hảo: hàng ngày mặt trời mọc, mặt trời lặn đềutheo quy luật. Cứ sau 365 ngày + 1/4 ngày thì quả đất quay đủ một vòng quanh mặt trời và hầuhết các vùng trên trái đất đều trải qua bốn mùa. Chúng ta có thể hình dung rằng chỉ cần mỗi nămsự vận hành của các hành tinh sai lệch đi chút ít thì trong hàng tỷ năm sai số tích lũy có thể sẽ gâynên những biến cố khôn lường! Tuy nhiên theo các nhà thiên văn thì sự vận hành của các hànhtinh không tuyệt đối hoàn hảo như ta tưởng. Xét vị trí của mặt trời và trái đất chẳng hạn, theo lýthuyết thì nếu ngày hôm nay mặt trời đứng ở vị trí giữa bầu trời tính từ đông sang tây thì sau 24giờ nữa nó cũng ở vị trí giữa bầu trời (tất nhiên là có thể chếch về phía nam nếu ta đang ở Việtnam). Nhưng trong thực tế không phải như vậy. Các nhà thiên văn đã không thể xây dựng đượcmúi giờ một cách chính xác và nhất quán nếu dựa vào vị trí của mặt trời. Nói cụ thể hơn, nếu dựavào vị trí mặt trời của năm nay làm múi giờ cho các vùng trên trái đất thì năm sau thời gian đókhông còn thích hợp cho quỹ đạo của mặt trời nữa, mà có khác đi chút ít. Chính vì sự "đỏng đảnh"của mặt trời như vậy nên các nhà thiên văn đã đưa ra khái niệm mặt trời trung bình và thời giantrung bình. So với mặt trời trung bình và thời gian trung bình thì hàng năm mặt trời thật đi lệchtrong khoảng thời gian từ -14,3 đến +16,3 phút. Tuy nhiên sở dĩ các sai số này không tích lũy từnăm này sang năm khác là vì các sai số giao động quanh vị trí trung bình và triệt tiêu lẫn nhautheo thời gian.Nghĩa là, không chỉ mô hình của chúng ta, mà ngay cả giới tự nhiên cũng có những sai số. Tuynhiên các sai số trong giới tự nhiên đều có quy luật và thường triệt tiêu lẫn nhau, do đó không làmảnh hưởng đến sự vận hành của các vật thể.BÀI TẬPBài 1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị sau:a= 21o37’3”;b=1o10’Hãy xác định sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đolà 1”.11Chương 1: Số xấp xỉ và sai sốBài 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối củachúng:a) a= 13267 ;δa=0,1%b) b=2,32;δb=0,7%Bài 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số a,b với sai số như sau:a) a= 0,3941;Δ a=0,25.10-2b) b=38,2543;Δ a= 0,27.10-2Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau:a) a=1,8921;δa=0,1.10-2b) a=22,351;δa=0,1Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác định saisố tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng:a) a= 2,514; b) 0,16152c) 0,01204; d) –0,0015281Bài 6. Hãy xác định giá trị của các hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đốiứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin.a) u=ln(x+y2); x=0,97; y=1,132b) u=(x+y)2z; x=3,28; y=0,932; z=1,13212Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tínhCHƯƠNG 2CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHMỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên:1. Hiểu và nắm được các phương pháp tìm nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ của hệ phươngtrình tuyến tính.2. Biết cách ứng dụng các phương pháp trên vào việc tính định thức của ma trận, tìm matrận nghịch đảo, giải quyết các bài toán thực tế.3. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp2.1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC2.1.1. Ma trậnCho ma trận chữ nhật A cấp m x n:a11...a1na21a22...a2n......am1A=a12am2...amnở đây aij là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi m = n ta có ma trận cấp nxnvà được gọi tắt là ma trận vuông cấp n.Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij = aji = 0với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận đường chéo có aii = 1 thì ta gọi A là ma trậnđơn vị và ta thường ký hiệu là E hoặc I.Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạnga11...a1n0A=a12a22...a2n......00...ann13Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tínhTương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng:a11...0a21a22...0......an1A=0an2...annMa trận chữ nhật AT cấp n x m được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A cấp m x n nếu:a11...am1a12a22...am2......a1nAT =a21a2n...amn2.1.2. Định thức của ma trậnTrước khi đưa ra định nghĩa định thức của ma trận, chúng tôi giới thiệu khái niệm hoán vịchẵn, hoán vị lẻ của một tập hợp n số nguyên {1, 2, ... , n}.Cho α = (i1, i2,..., in) là một hoán vị của tập {1,2,...,n}. Ta xét tất cả các cặp (ik, ih), trong đók < h. Nếu ik > ih thì ta gọi cặp (ik, ih) là cặp ngược, tức là các giá trị ik, ih được sắp xếp ngược vớik,h. Nếu trong α số cặp ngược là chẵn thì ta gọi α là hoán vị chẵn, ngược lại thì ta gọi α là hoánvị lẻ.Với mỗi ma trận vuông A cấp n:a11...a1na21a22...a2n......an1A=a12an2...anntồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận A, ký hiệu là det A, được xác địnhbởi công thức:det A =∑ s(i1, i2,..., in) aα1i1a 2i2 ...a nin(2.0)với α = (i1, i2,..., in) chạy trong tập tất cả các hoán vị của tập {1,2,...,n}, vàs(i1, i2,..., in) =141 nếu α là hoán vị chẵn-1 nếu α là hoán vị lẻChương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tínhĐịnh thức của ma trận còn được ký hiệu làa11...a1na21a22...a2n......an1A=a12an2...annVới mỗi ma trận chữ nhật A cấp m x n bất kỳ ta có thể tính định thức của tất cả các matrận con vuông cấp k, với k ≤ min (m, n). Nếu tồn tại một số r sao cho có một ma trận con cấp rcó định thức khác 0, còn mọi ma trận con vuông cấp lớn hơn r đều bằng 0 thì ta nói rằng r là hạngcủa ma trận A.Các phép biến đổi sơ cấp sau đây không làm biến đổi hạng của ma trận:•Đổi chỗ 2 hàng hoặc 2 cột bất kỳ.•Nhân một hàng hay một cột bất kỳ với một số khác không.•Cộng các thành phần tương ứng của 2 hàng hoặc hai cột bất kỳ.Các phép biến đổi sơ cấp sẽ được sử dụng để tính định thức của ma trận và tìm nghiệm củahệ phương trình tuyến tính.Ma trận E được gọi là ma trận đơn vị cấp n nếu E là ma trận vuông cấp n và E có dạng1...001...0......0E=00...12.1.3. Các phương pháp tính định thứca. Tính định thức dựa trực tiếp vào định nghĩaTa có thể dùng (2.0) để tính định thức của một ma trận trên máy tính. Tuy nhiên cách tínhnày đòi hỏi khoảng c*n! phép tính. Đây là con số khổng lồ với n không lớn lắm. Ví dụ với máytính hiện đại nhất hiện nay cũng cần hàng triệu năm để tính định thức của ma trận cấp n = 25.b. Tính định thức dựa vào công thức khai triển theo hàngCho A là ma trận vuông cấp n và aij là một phần tử bất kỳ của nó. Định thức của ma trậncon cấp n-1 sau khi “xóa” hàng thứ i và cột thứ j đi và không thay đổi vị trí các thành phần cònlại, được gọi là minor của phần tử aij , và được ký hiệu là Mij. Giá trị Aij = (-1)i+j Mij được gọi làphần bù đại số của phần tử aij. Ta có các công thức sau để tính định thức ma trận vuông cấp nthông qua việc tính định thức của các ma trận con cấp bé hơn:Khai triển định thức theo hàng thứ i:ndet A =∑ aij Aijj=115Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tínhKhai triển định thức theo cột thứ j:ndet A =∑ aij Aiji=1Áp dụng các công thức trên đây ta có thể dùng thuật toán đệ quy sau đây để tính định thứccủa ma trận vuông cấp n :Nếun = 1 : A11 = 1; det A = a11 A11n∑ a1j A1jn > 1: det A =j=1Tuy nhiên, cũng như cách tính trực tiếp, cách tính này cần khoảng c*n! phép tính, và nhưvậy không thể thực hiện được trên máy tính hiện đại nhất hiện nay dù chỉ với n không lớn lắm. Rõràng việc phân tính thuật toán giúp chúng ta đánh giá được thời gian tính toán trên máy tính vànếu thời gian đó là quá lớn thì chúng ta khỏi phải tốn công vô ích viết chương trình và chạy thử.c. Tính định thức bằng cách chuyển ma trận về dạng tam giác trênTa sẽ biến đổi để đưa ma trận A về dạng ma trận tam giác trênb11...b1n0b22...B2n......0B=b120...bmnBVậy det A=det B = b11 b22...bnn2.1.4. Ma trận nghịch đảoMa trận nghịch đảo của một ma trận vuông A cấp n là ma trận được ký hiệu là A-1, thoảmãn điều kiệnA-1A = A A-1 = ETrong đó E là ma trận đơn vị. Có thể chứng minh rằng để thỏa mãn điều kiện trên thì bắtbuộc A-1 phải là ma trận vuông, và ma trận đảo nếu tồn tại là duy nhất.Điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo: Ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảokhi và chỉ khi det A ≠ 0.Cách tính ma trận nghịch đảo:Gọi Aij là phần bù đại số của phần tử aij , khi đó ta có:A1116An1A22...An2......A1n1det A...A12A-1 =A21A2n...Ann

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• Tài liệu BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP SỐ pdf
  • 122
  • 2,667
  • 38
• Thống kê nguyên vật liệu trong doanh nghiệp
  • 16
  • 1
  • 15
• Một số công thức phần xác suất
  • 11
  • 2
  • 9
• Công thức xác suất thống kê
  • 9
  • 37
  • 1,091
• Đề Cương Xác Suất Thống Kê tiếp.doc
  • 7
  • 2
  • 45
• Phát triển cùng Bee Việt Nam
  • 47
  • 402
  • 0
• DE TAI TINH TINH LAM PHAT VIÊT NAM 2008 VA HUONG DEN MUC TIEU QUOC GIA 2015.doc
  • 27
  • 1
  • 18
• De Thi Ly Thuyet Xac Suat Thong Ke Toan_Nganh QTKD.pdf
  • 1
  • 2
  • 15
• Bộ đề thi và lời giải xác suất thống kê
  • 32
  • 23
  • 205
• Bộ đề thi và lời giải xác suất thống kê
  • 32
  • 2
  • 33
• Những định lý cơ bản trong lý thuyết xác suất
  • 17
  • 798
  • 5

Tải bản đầy đủ (.pdf) (122 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(3.18 MB) - Tài liệu BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP SỐ pdf-122 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×