Bài 1: Phương Trình Vi Phân Cấp I - Hoc247

ii) Nếu \(q(x) \ne0\) ta giải bàng phương pháp “biến thiên hằng số”.

Khi đó nghiệm của (6) có dạng (tương tự 6’):

\(y = C(x).{e^{ - \int {p(x)dx} }}\) (7)

trong đó C(x) là hàm cần tìm.

Ta có: \(y' = C(x){e^{ - \int {p(x)dx} }} - p(x)C(x){e^{ - \int {p(x)dx} }}\) (8).

Thế (7) vào (8) ta được: \(y' = C'(x){e^{ - \int {p(x)dx} }} - p(x).y\)

Suy ra: \(y' + p(x).y = C'(x).{e^{ - \int {p(x)dx} }}\) (9).

(6) và (9) \(\Rightarrow q(x) = C'(x).{e^{ - \int {p(x)dx} }} \Rightarrow C'(x) = q(x).{e^{\int {p(x)dx} }}\)

\(\Rightarrow C(x) = \int {\left[ {q(x).{e^{\int {p(x)dx} }}} \right]} dx\)

Vậy nghiệm của (6) là: \(y = \left[ {\int {q(x).{e^{\int {p(x)dx} }}} dx} \right].{e^{ - \int {p(x)dx} }}\)

Ví dụ 1: Giải phương trình: \(y' + 2xy = 2x{e^{ - {x^2}}}\)

Giải: nghiệm của phương trình thuần nhất \(y'+ 2xy= 0\) là \(y = C.{e^{ - {x^2}}}\)

⇒ nghiệm của phương trình có dạng: \(y = C(x).{e^{ - {x^2}}}\)

\( \Rightarrow y' = C'(x).{e^{ - {x^2}}} - 2xC(x).{e^{ - {x^2}}} = C'(x){e^{ - {x^2}}} - 2xy\)

\(\Rightarrow 2x.{e^{ - {x^2}}} = C'(x){e^{ - {x^2}}} \Rightarrow C'(x) = 2x \Rightarrow C(x) = {x^2} + {C_1}\)

\(\Rightarrow y = ({x^2} + {C_1}).{e^{ - {x^2}}}\)

Ví dụ 2:

\(a)\,\,(1 + {y^2})dx + (1 + {x^2})dy = 0\)

\(b)\,\,(1 + {y^2})dx + yxdy = 0\)

\(c)\,\,\left\{ \begin{array}{l} y'{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - ycosx = 0\\ y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \end{array} \right. \)

\(d)\,\,x\sqrt {1 + {y^2}} + yy'\sqrt {1 + {x^2}} = 0\)

\(e)\,{e^x}{\sin ^3}y + y'(1 + {e^{2x}}){\mathop{\rm cosy}\nolimits} = 0\)

\(f)xyy' = {y^2} + 3{x^2}\)

\(g)\,\,xy + {y^2} = (2{x^2} + xy).y'\)

\(h)\,\,2{x^2}y' = {x^2} + {y^2}\)

\(i)\,\,(y - x)dx + (y + x)dy = 0\)

\(j)\,xy' + y = {x^3}{y^4}\)

Giải Dành cho bạn đọc

2.4 Phương trình Bernoulli:

là phương trình vi phân có dạng \(y' + p(x).y = q(x).{y^\alpha },\,\,0 \ne \alpha \ne 1\)

Nếu \(\alpha >0\) thì y = 0 là nghiệm, nếu \(\alpha <0\) thì \(y \ne 0\)

Khi \(y \ne 0\), chia \(y^{\alpha}\) ta có \(y'.{y^{ - \alpha }} + {y^{1 - \alpha }}p(x) = q(x)\)

Khi đó phương trình thành: \(v' + (1 - \alpha )p(x).v = (1 - \alpha )q(x)\)đây là phương trình tuyến tính

Ví dụ: Giải phương trình \(y' - x.y = {y^5}{e^{ - 2{x^2}}}\)

Hiển nhiên y = 0 là nghiệm

Khi \(y \ne 0\) phương trình thành \(y'y^{-5} - x.y^{-4} ={e^{ - 2{x^2}}}\)

Đặt \(v = {y^{ - 4}} \Rightarrow v' = - 4y'{y^{ - 5}}\)

Khi đó phương trình thành:

\(- \frac{1}{4}v' - xv = {e^{ - 2{x^2}}} \Leftrightarrow v' + 4xv = - 4{e^{ - 2{x^2}}}\)(*)

Nghiệm của phương trình thuần nhất \(v'+4xv=0\)là \(v = C.{e^{ - \int\limits_0^x {4xdx} }} = C.{e^{ - 2{x^2}}}\)

Nghiệm của (*) có dạng: \(v = C(x).{e^{ - 2{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow v' = C'(x).{e^{ - 2{x^2}}} - 4xC(x).{e^{ - 2{x^2}}}\\ \Rightarrow v' + 4x.v = C'.{e^{ - 2{x^2}}}\\ \Rightarrow C' = - 4 \Rightarrow C = - 4x + {C_1}\\ \Rightarrow v = ( - 4x + {C_1}).{e^{ - 2{x^2}}} \Rightarrow {y^{ - 4}} = ( - 4x + {C_1}).{e^{ - 2{x^2}}} \end{array} \)

Vậy nghiệm là y = 0 là \({y^4} = \frac{{{e^{2{x^2}}}}}{{ - 4x + {C_1}}},\,\forall {C_1} \in R\)

3. Sơ lược về số phức

Định nghĩa: Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C, được định nghĩa: \(C = \left\{ {a + bi/a,b \in R\,\,voi\,\,{i^2} = - 1} \right\}\)

Với số phức \(z = a + bi\) ta nói \(a = Re z\) là phần thực, \(b = Im z\) là phần ảo.

\(\forall a \in R \Rightarrow a = a + 0.i \in C\)

Vậy \(R \subset C\). Hai số phức \(z = a + ib\) và \(\overline z {\rm{ }} = {\rm{ }}a{\rm{ - }}ib\) gọi là 2 số phức liên hợp.

Các phép tính

Cho \({z_1} = {a_1} + i{b_1},{z_2} = {a_2} + i{b_2}\). Ta có:

\(i)\,{z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = {a_2}\\ {b_1} = {b_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow ({a_1},{b_1}) = ({a_2},{b_2}) \)

\(ii)\,{z_1} \pm {z_2} = ({a_1} + i{b_1}) \pm ({a_2} + i{b_2}) = ({a_1} \pm {a_2}) + i({b_1} \pm {b_2})\)

\(iii)\,{z_1}.{z_2} = ({a_1} + i{b_1})({a_2} + i{b_2}) = ({a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}) + i({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)

\(iv)\,\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{a_1} + i{b_1}}}{{{a_2} + i{b_2}}} = \frac{{({a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}) + i({b_1}{a_2} - {b_2}{a_1})}}{{a_2^2 + b_2^2}}\)

Dạng \(z = a + ib\) gọi là dạng đại số của số phức.

Khai căn cho số phức: Căn bậc n của số phức \(c \in C\) , ký hiệu \(\sqrt[n]{c}\) , là những số phức z sao cho: \(z^n=z.z....z=c\)